第10章 整式的加减 压轴题-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第10章 整式的加减 压轴题 一、单选题 1．对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先将一次“绝对操作”化简为，对经过两次“绝对操作”可以得到，故①正确，再经过不同的一次“绝对操作”得到4种化简结果，故②错误，经过和的“绝对操作”不可能可能得到原式的相反数，故③错误． 【详解】解： 将原式一次“绝对操作”： 再把第一个结果二次“绝对操作”：当时，， 故①正确； 把原式一次“绝对操作”还可以为：； ； ∴进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有，，，，4种，故②错误． 其中， ， 不管几次“绝对操作”，得到的结果中不存在与原式互为相反数，故③错误． 故选B 【点睛】本题考查了新定义的理解，绝对值的意义，其中对新定义的理解是解题的关键． 2．若，对代数式任意添加绝对值（不可添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作”，例如：等，下列结论中正确的个数是（    ） ①至少存在一种“绝对操作”，使化简后结果与原代数式相等； ②共有5种操作，可能得到； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义的含义，分类添加绝对值，再进行计算即可. 【详解】解：①∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴（第1种）， （第2种）， （第3种）， ， ， （第4种）， ， ， （第5种）或（第6种）， 或（第7种）， 列举法得到化简后的结果为：共七种，故③错误， 综上，正确的有①②，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，去括号，合并同类项，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 3．已知恒等式，其中为正整数，，，为整数，下列说法：①当为奇数时，一定为；②无论为何值，；③当时，．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对x进行赋值，即对其取1，0，，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果． ①当时，则，即可判断；②取，代入恒等式中求出代数式的值即可判断．③取、和，分别代入各式中求出代数式的值，并作混合运算即可判断． 【详解】解：①当时，则，那么，为奇数时，一定为，故①正确； ②当时，则，那么，无论为何值，成立，故②正确； ③当时， 若时，则， 若时，则， 若时，则， 那么，，得， 则，故③正确； 故选：D． 4．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 5．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以，故④错误． 故选B． 6．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 7．已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查同类项的定义，合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 根据题意可得或，进而求出与的值； 【详解】解：∵三个单项式，，的和仍然是单项式， ∴或， ∴，，或，， ∴或， 即或3， 故答案为：2或3． 8．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 31 乙 19 丙 15 由此推断的值为 ． 【答案】7 【分析】该题主要考查了推理的能力，解题的关键是表示出表格中数据． 根据题意得出，根据表格中甲5次的和与乙5次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 b b a 31 乙 b c b 19 丙 c c b 15 ∴，即， ， ∴，解得：， ∴， 故答案为：7． 9．化简关于x的代数式，当k为 时，代数式的值是常数． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的加减运算．熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，是解题的关键． 代数式去括号合并得到最简结果，根据结果为常数，得关于x的项的系数为零，即可求出k的值． 【详解】 ， ∴当时，代数式的值是常数，解得． 故答案为：5． 10．若实数x满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式化简求值，掌握整体代入的思想，根据已知代数式的值将所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 将恒等变形为，然后将根据变形为，代值求解后进一步变形为，代值求解即可． 【详解】解：实数x满足， ， ， 故答案为：． 11．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，所以，第行，第列的数是． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是， ∴第行，第列的数是第一个数是， 下一个数出现在第行，第列为 ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 12．观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 【答案】 【分析】先根据；；；；得出，再将变形成题目中的形式，化简即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真阅读题目中数字变化的规律，得出，难点在于将变形为符合题目的形式． 三、解答题 13．某花圃基地计划将如图所示的大长方形空地，划分成一个正方形区域和四个小长方形区域．其中正方形区域为育苗区，另外四个区域设有一个活动区和三个种植区，在种植区分别种植三种花卉．活动区、花卉区租花卉区的宽与育苗区的边长相等，活动区的长是，花卉区的长是，花卉区的长是．设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)大长方形空地的长为________，宽为________； (2)分别求花卉区和区的种植面积； (3)当时，求三个区域种植花卉的总面积． 【答案】(1)； (2)C区为；B区为 (3) 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，大长方形空地的长是三个图形的长相加，宽为育苗区的边长； （2）根据题意，分别求出区和区的长与宽，再计算其种植面积即可； （3）根据题意，求出区的长与宽，再加上区和区的面积，再计算其种植面积即可． 【详解】（1）解：根据题意，育苗区为正方形边长为 大长方形空地的长：，宽为： ， 故答案为：；； （2）区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， （3）区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 三个区域种植花卉的总面积= 当时 14．“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 【答案】（1），，过程见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，代数式求值． （1）令，则原式化为，然后合并同类项，再将代入，最后将，代入计算即可； （2）①令，则，再计算即可； ②将变形为，然后将整体代入求值即可． 【详解】解：（1）令，则 ， 当，时，原式； （2）①令，则 ， 故答案为：； ②∵ ∴ ， 故答案为：． 15．把看作一个整体，对下面的式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)①已知，则 ； ②已知，求的值， (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2025；② (3) 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：①， ， 故答案为：2025； ②， ； （3）解：，， ． 16．图是一块长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米；种花的面积为______平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1平方米） 【答案】(1)， (2)长方形场地上种草的面积为平方米 (3)该长方形场地上种草的面积约为32平方米 【分析】本题主要考查了利用长方形和扇形的面积公式列出代数式，然后利用代数式求值解决实际问题，熟练准确的求出结果是本题的关键． （1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）解：该长方形场地上种草的面积为： 平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）解：当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为32平方米． 17．学校计划在一块长为，宽为的长方形空地上设置劳动实践基地，现面向全校师生征集设计方案． (1)图为小敏的设计方案，长方形的劳动实践基地在空地中央，在基地外围铺设宽度均为的小路，劳动实践基地四周用栅栏围挡，请计算所需栅栏的长度； (2)图为小亮的设计方案，将劳动实践基地分为两个长方形部分，区种植蔬菜，区种植花卉，两个基地的四周都用栅栏围挡，其他区域铺设为石子路供人们通过，请计算所需栅栏的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据图形列出算式即可求解； （）根据图形列出算式即可求解； 本题考查了整式加减的实际应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：所需栅栏的长度为； （2）解：， 答：所需栅栏的长度为． 18．根据以下材料摊上完成任务． 设计被子采购方案 每年“双11”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双11”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠销售，活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减80元；（例如：购买2条被子需支付元） 素材4 C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：每条立减160元（购买10条以内，不包括10条）； 每条立减180元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的购物款．（注：银行一年定期的年利率为） 问题解决 任务 1 付款方式1 若在A店铺5条被子作一单购买，需支付____元： 付款方式2 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付____元； 付款方式3 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清购物款．考虑银行利息因素，该种付款方式一年后实际共用去____元． 任务2 确定方案 若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，可用含a的代数式表示在这三家店铺的购买实际费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买，在C店铺采用分期付款方式，考虑银行利息因素） 方案解决 运用列代数式有关知识，可以得到含a的代数式表示张阿姨在这三家店铺购买的实际费用 【答案】任务1：3200；3170；3176；任务2：A店铺：元 ；B店铺 ：元 ；C店铺：当时，元，当时， 【分析】任务一：根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用； 任务二：根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当时和当时两种情况求出． 【详解】解：任务一：若在A店铺5条被子作一单购买，需支付： （元）； 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付： （元）； 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清购物款．考虑银行利息因素，该种付款方式一年后实际共用去： （元）； 任务二：在A店铺购买a条同款被子，需支付： （元）； 在B店铺购买a条同款被子，需支付： （元）； 在C店铺购买a条同款被子，当时，需支付： （元）， 当时，需支付： （元）． 【点睛】本题主要考出来有理数四则混合运算的应用，整式加减运算的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． 19．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款_____元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款元，当大于或等于500元时，他实际付款_____元；（用含的式子表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1)530 (2) (3)两次购物王老师实际付款元 【分析】此题考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）按照优惠方案计算即可； （2）等量关系为：折超过500的购物款折； （3）两次购物王老师实际付款第一次购物款折折（总购物款第一次购物款第二次购物款折，把相关数值代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（元； 故答案为：530； （2）解：若顾客在该超市一次性购物元， 当大于或等于500元时， 他实际付款（元； 故答案为： ； （3）解：因为，所以， 元． 答：两次购物王老师实际付款元． 20．为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表： 用气类别 年用气量 单价（元/） 备注 第一档 年用气量 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加、 第二档 年用气量 第三档 年用气量 小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气500m3，则收费元，小明恍然大悟．聪明的同学请跟小明一起解决下列问题吧！ (1)填空：若某三口之家1年用燃气，则应收费_____元；若另一三口之家该年用燃气，则应收费_____元； (2)若某三口之家该年用燃气（其中），则应收费多少元？（结果用含的代数式表示） (3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为（其中），则这两户人家燃气费用相差多少元？（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)780；1096； (2)应收费元； (3)这两户人家燃气费用相差元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，整式加减的应用，熟练掌握相关运算法则，注意价目表备注内容是解题关键． （1）根据价目表计算即可； （2）根据价目表列代数式即可； （3）根据价目表，分别求出三口之家和五口之家的费用，再作差即可． 【详解】（1）解：若某三口之家1年用燃气，则应收费元， 若另一三口之家该年用燃气，则应收费元； 故答案为：780；1096； （2）解：若某三口之家该年用燃气（其中）， 则应收费元， 即应收费元； （3）解：若某三口之家该年用气量均为（其中），用气量达到第三档， 则应收费元； 若某五口之家该年用气量均为（其中），用气量达到第二档，未达到第三档， 则应收费， ， 即这两户人家燃气费用相差元． 21．[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． [发现]若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为． [例如]若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 解决问题： (1)求的值； (2)请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的； 小明同学说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则．（请你继续完成小明同学的说理过程） (3)若，都是“异数”，，（其中，均为小于10的正整数），若恒为正整数，求的最大值，并写出此时，的值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)最大值为，或9， 【分析】本题考查新定义题型，解题的关键是掌握整式的加减运算法则 （1）根据题目中的定义，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为即可得解． （2）根据题意，，交换个位与百位后得数为：，，商为正整数，即可得出结果； （3）根据“异数”的定义，易得，，由恒为正，得，结合均为小于10的正整数，当时最大，继而得解； 【详解】（1）， （2）， 交换个位与百位后得数为： ，均为整数 必为整数 （3）， ， 恒为正整数 ，即或9 当取最大值时，取最大值 为小于10的正整数 此时，取得最大值为 22．【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)|x－2|表示数轴上的数x与______（填数字）之间的距离；x与之间的距离表示为______； (2)若，则根据绝对值的几何意义可得______； (3)点A、B在数轴上分别表示、5，点P以每秒1个单位长度的速度从原点出发向右运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说理理由；若不会，请求出它的值． 【答案】(1)2， (2)或4 (3)的值为定值11 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的性质，整式的加减，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求解即可得出答案； （2）分，，三种情况讨论，根据绝对值的性质即可求解； （3）设运动时间为t秒，则t秒后，A点的值为，P点的值为t，B点的值为，则即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：表示数轴上数x与2之间的距离， x与之间的距离表示为， 故答案为：2，； （2）解：， ∴，即数轴上表示x的点到表示的点的距离与到表示2的点的距离和等于9， 当时，，∴， 当时，，∴此种情况不存在， 当时，，∴， 故答案为：或4； （3）解：在运动过程中，的值为定值11，不会随着时间的变化而变化， 理由如下： 设运动时间为t秒，则t秒后，A点的值为，P点的值为t，B点的值为， ∴ ， ∴在运动过程中，的值为定值11，不会随着时间的变化而变化． 23．定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)，； (2)1或3或0 【分析】（1）根据平衡数的定义即可求出； （2）根据，，且与是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到结果； 本题考查整式的加减、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． 【详解】（1）解： 根据平衡数的定义，， 与是关于2的平衡数； ， 与是关于2的平衡数； 故答案为：，； （2），，且与是关于2的平衡数， ， 即：， ， 为正整数，为非负整数， 当时，，或时，，或时，， 或或， 综上所述，故非负整数的值为1或3或0． 24．已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则． （1）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简后，再代入计算即可； （2）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简即可． 【详解】（1）解：， ； （2） ． 25．如图，已知数轴上点表示的数为4，点表示的数为1，是数轴上一点，在原点左侧，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数为______，并用含的代数式表示点所表示的数为______． (2)设是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若、、三点同时出发，在运动过程中，到的距离、到的距离中，何时这两段距离相等，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)不变；5 (3)或5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据，求出点所表示的数即可，求出点的移动距离，进而表示出点所表示的数即可； （2）分别表示出点表示的数，点表示的数，利用两点间的距离公式进行求解即可； （3）根据两段距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 点表示的数为：； 故答案为：； （2）不变； ∵点表示的数为，点表示的数为：； ∴点表示的数为： ①当点在点右侧时： 点表示的数为：， ∴； ②当点在点左侧时： 点表示的数为：， ∴； 综上：的值不变，为5； （3）由题意，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴，， ∴， 解得：或． 26．已知有理数， 且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：。 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值， （1）根据，且，即可求解； （2）先判断的正负号，即可化简． 【详解】（1）解：，， ， 在数轴上将三个数表示如下： （2）解：， ， ． 27．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为． (1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明与其“友谊数”的差能被15整除； (2)若一个三位正整数，它的三个数位上的数字之和为11，求的“团结数”． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，正确理解“友谊数”和“团结数”的定义是解题的关键： （1）根据题意表示出M和M的“友谊数”，再根据整式的加减计算法则求出与其“友谊数”的差，据此可证明结论； （2）设N的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，求出N的“团结数”，再根据题意得到的值，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：，M的“友谊数”为， ， ， ， ∵a、b都是正整数， ∴是整数， 能被整除， 即M与其“友谊数”的差能被整除； （2）解：设N的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z， ∴的“团结数”为 ， ∵一个三位正整数的三个数位上的数字之和为11， ∴， ∴， ∴的“团结数”为． 28．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)_____________，_____________，_____________． (2)点，，同时在数轴上移动，点以每秒3个单位长度的速度向右移动，点以每秒2个单位长度的速度向左移动，点以每秒2个单位长度的速度向右移动．移动秒后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①经过秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_________，_________．（用含的式子表示） ②当时，嘉嘉说的值与无关，请你验证嘉嘉的说法是否正确． 【答案】(1)，，3 (2)①，，；②正确 【分析】本题考查了多项式的次数，数轴上两点间的距离，整式的加减，掌握数轴上两点间的距离表示法是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法可求出a，根据有理数的分类可求出b，根据多项式的次数可求出c； （2）①根据左减右加可表示出点B、点C表示的数，根据两点间的距离可求出的长； ②表示出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，是最大的负整数，是多项式的次数 ∴． 故答案为：；；3； （2）解：①由题意，得 点表示的数为；点表示的数为； ∴． 故答案为：，，；               ②点表示的数为．                      此时点在点的右侧，，          点在点的右侧，，               点在点的右侧，，                ， 所以，嘉嘉的说法是正确的，的值为定值0，与无关． 29．已知两个整式 A 和B ，． (1)求A与B的和； (2)先化简，再求值：若 ，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值；熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到答案； （2）先求出，把，代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵，， ∴． 30．下面是小华同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……① ……② ……③ (1)以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请写出该整式化简的正确过程． 【答案】(1)②，去括号时没变号 (2)见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确去括号、合并同类项是解题关键． （1）直接去括号，进而合并同类项，即可得出答案； （2）利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：化简步骤中，第②步开始出现错误， 错误的原因是：去括号时没变号； 故答案为：②，去括号时没变号； （2）解： ． 31．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1) 判断正负， 用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了利用数轴比较理数大小、绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由，，结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， ，，， 故答案为：；；； （2）， ． 32．已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）根据代入计算即可； （2）由的值与无关得，得出y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得：， 的值与x无关， ， 解得：， ． 33．阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是___________． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． （1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，把整体代入求解即可； （3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ， ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ， ， ； （3），，， ， ， ， ， ． 34．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元 【分析】（）根据收费标准计算即可求解； （）根据收费标准列出算式即可； （）先判断甲户的用水量大致范围，再分、和三种情况列式表示即可； 本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴， ①当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ②当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ③当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； 答：当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元． 35．已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，30 (2) (3)0或或 【分析】（1）根据绝对值方程和点A的位置即可求出a的值，根据数轴上两点间距离可求b的值； （2）设点M表示的数为m，根据数轴上两点间距离，并结合已知可求出点C、D表示的数，然后数轴上两点间距离求解即可； （3）先求出t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，则，设在上剪切处为Q，在剪切处为，则，然后分①，②，③三种情况讨论，结合已知可求出，，再根据数轴上两点间距离即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 又A在原点左边， ∴， ∵点对应的数为5， ∴， ∵点为，中点， ∴， ∴， 故答案为：，30； （2）解：∵， ∴点B表示的数是b， 设点M表示的数为m， ∴， ∵， ∴点N表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点D表示的数为， ∵， ∴， ∴点C表示的数为， ∴； （3）解：根据题意，得t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 设在上剪切处为Q，在剪切处为，如图， 则， ①当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ②当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ③当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上，点P表示的数为0或或． 【点睛】本题考查了绝对值方程，数轴上两点间距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 36．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 37．材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________； (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 【答案】(1)6，32，； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了规律型一数字的变化类，数学常识，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中， ，，由展开式得，从而即可得解； （2）总结规律得，，代入求解即可； （3）总结规律得，再由，，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 令中， ， 由展开式得； 故答案为：6，32，； （2）解：， ， ， ，， ， ； 故答案为： ． （3）解：， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即． 38．已知，且有，，求的值． 【答案】 【分析】根据关系式，求得，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，，，， ，，，…… ∴，，，，…… ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值、数字类规律探究，找到规律是解题的关键． 39．已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积比的面积大，大 【分析】（1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据计算出，再与作差即可． 【详解】（1）解：根据和都是等腰直角三角形，可知，， 由矩形的性质可知，． ； （2）解：如图， 由题意知，， 故 ； （3）解：如果点P是线段的中点，则， 故 ， ， 因此的面积比的面积大，大． 【点睛】本题考查整式加减的应用，列代数式表示出相应图形的面积是解题的关键． 40．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足，那么就可以交换b、c的位置，这称为一次操作． (1)如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请说明理由．    (2)若圆周上从小到大按顺时针依次放着2021个正整数1、2、3、…、2021，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意交换位置，经过变换得出结论； （2）设这2021个数的相邻两数乘积之和为P，经过次操作后，这2021个数字相邻两数乘积之和为，根据题意，设圆周上依次相连的四个数满足其不等式大于0，即，交换b、c的位置后的情况分析得出矛盾． 【详解】（1）解：∵， ∴交换2，3，如图，   ， ∵， ∴交换2，4，如图，    ∵， ∴交换3，4，如图，    ∵， ∴交换2，5，如图，    此时，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有； （2）解：能； 设这2021个数的相邻两数乘积之和为P， 则， 经过次操作后，这2021个数字相邻两数乘积之和为， 若圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有， 即，交换b、c的位置后这2021个数字相邻两数乘积之和为， 则， ∴， 即每次操作，相邻两数的乘积和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0， 故经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有； 【点睛】本题考查有理数的运算，涉及有理数大小比较， 解题的关键在于理解题意， 寻找出变换的一般规律，考查学生的观察与运算能力． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减 压轴题 一、单选题 1．对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 2．若，对代数式任意添加绝对值（不可添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作”，例如：等，下列结论中正确的个数是（    ） ①至少存在一种“绝对操作”，使化简后结果与原代数式相等； ②共有5种操作，可能得到； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知恒等式，其中为正整数，，，为整数，下列说法：①当为奇数时，一定为；②无论为何值，；③当时，．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 5．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 8．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 31 乙 19 丙 15 由此推断的值为 ． 9．化简关于x的代数式，当k为 时，代数式的值是常数． 10．若实数x满足，则的值为 ． 11．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 12．观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 三、解答题 13．某花圃基地计划将如图所示的大长方形空地，划分成一个正方形区域和四个小长方形区域．其中正方形区域为育苗区，另外四个区域设有一个活动区和三个种植区，在种植区分别种植三种花卉．活动区、花卉区租花卉区的宽与育苗区的边长相等，活动区的长是，花卉区的长是，花卉区的长是．设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)大长方形空地的长为________，宽为________； (2)分别求花卉区和区的种植面积； (3)当时，求三个区域种植花卉的总面积． 14．“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 15．把看作一个整体，对下面的式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)①已知，则 ； ②已知，求的值， (3)已知，求代数式的值． 16．图是一块长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米；种花的面积为______平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1平方米） 17．学校计划在一块长为，宽为的长方形空地上设置劳动实践基地，现面向全校师生征集设计方案． (1)图为小敏的设计方案，长方形的劳动实践基地在空地中央，在基地外围铺设宽度均为的小路，劳动实践基地四周用栅栏围挡，请计算所需栅栏的长度； (2)图为小亮的设计方案，将劳动实践基地分为两个长方形部分，区种植蔬菜，区种植花卉，两个基地的四周都用栅栏围挡，其他区域铺设为石子路供人们通过，请计算所需栅栏的长度． 18．根据以下材料摊上完成任务． 设计被子采购方案 每年“双11”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双11”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠销售，活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减80元；（例如：购买2条被子需支付元） 素材4 C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：每条立减160元（购买10条以内，不包括10条）； 每条立减180元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的购物款．（注：银行一年定期的年利率为） 问题解决 任务 1 付款方式1 若在A店铺5条被子作一单购买，需支付____元： 付款方式2 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付____元； 付款方式3 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清购物款．考虑银行利息因素，该种付款方式一年后实际共用去____元． 任务2 确定方案 若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，可用含a的代数式表示在这三家店铺的购买实际费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买，在C店铺采用分期付款方式，考虑银行利息因素） 方案解决 运用列代数式有关知识，可以得到含a的代数式表示张阿姨在这三家店铺购买的实际费用 19．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款_____元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款元，当大于或等于500元时，他实际付款_____元；（用含的式子表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 20．为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表： 用气类别 年用气量 单价（元/） 备注 第一档 年用气量 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加、 第二档 年用气量 第三档 年用气量 小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气500m3，则收费元，小明恍然大悟．聪明的同学请跟小明一起解决下列问题吧！ (1)填空：若某三口之家1年用燃气，则应收费_____元；若另一三口之家该年用燃气，则应收费_____元； (2)若某三口之家该年用燃气（其中），则应收费多少元？（结果用含的代数式表示） (3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为（其中），则这两户人家燃气费用相差多少元？（结果用含的代数式表示） 21．[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． [发现]若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为． [例如]若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 解决问题： (1)求的值； (2)请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的； 小明同学说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则．（请你继续完成小明同学的说理过程） (3)若，都是“异数”，，（其中，均为小于10的正整数），若恒为正整数，求的最大值，并写出此时，的值． 22．【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)|x－2|表示数轴上的数x与______（填数字）之间的距离；x与之间的距离表示为______； (2)若，则根据绝对值的几何意义可得______； (3)点A、B在数轴上分别表示、5，点P以每秒1个单位长度的速度从原点出发向右运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说理理由；若不会，请求出它的值． 23．定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 24．已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 25．如图，已知数轴上点表示的数为4，点表示的数为1，是数轴上一点，在原点左侧，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数为______，并用含的代数式表示点所表示的数为______． (2)设是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若、、三点同时出发，在运动过程中，到的距离、到的距离中，何时这两段距离相等，请直接写出此时的值． 26．已知有理数， 且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：。 27．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为． (1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明与其“友谊数”的差能被15整除； (2)若一个三位正整数，它的三个数位上的数字之和为11，求的“团结数”． 28．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)_____________，_____________，_____________． (2)点，，同时在数轴上移动，点以每秒3个单位长度的速度向右移动，点以每秒2个单位长度的速度向左移动，点以每秒2个单位长度的速度向右移动．移动秒后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①经过秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_________，_________．（用含的式子表示） ②当时，嘉嘉说的值与无关，请你验证嘉嘉的说法是否正确． 29．已知两个整式 A 和B ，． (1)求A与B的和； (2)先化简，再求值：若 ，求的值． 30．下面是小华同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……① ……② ……③ (1)以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请写出该整式化简的正确过程． 31．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1) 判断正负， 用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 32．已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 33．阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是___________． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，．求的值． 34．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 35．已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 36．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 37．材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________； (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 38．已知，且有，，求的值． 39．已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 40．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足，那么就可以交换b、c的位置，这称为一次操作． (1)如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请说明理由．    (2)若圆周上从小到大按顺时针依次放着2021个正整数1、2、3、…、2021，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有？请说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$