四川省盐亭中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

1 盐亭中学 2023级 2024年秋第二次月考数学试题 命题人：赵军 邓定钟 审题人：刘桂霞 （本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 第 I卷（选择题，共 58分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．直线 13y  x 的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 45° D. 120° 2．若随机事件 A，B 满足   2 3 P A  ，   1 2 P B  ，   5 6 P A B  ，则  P AB （ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 3．直线 1 : 2 0l x y n   ， 2 : 4 4 0l x my   平行，且 1 2,l l 的距离为 3 5 5 ，则m n （ ） A. 3 或 3 B． 2 或 4 C． 1 或 5 D． 2 或 2 4．下列命题中正确的是（ ） A．点  3, 2,1M 关于平面 Oyz 对称的点的坐标是  3,2, 1  B．若直线 l的方向向量为  1, 1,2e   ，平面 的法向量为  6,4, 1m   ，则 l  C．若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120°，则直线 l与 所成角为 30° D．若 A，B，C，P 四点共面，已知 O 为空间任意一点，且 1 2 OP mOA OB OC       ，则 1 2 m   5．“ 1a  ”是“直线 1 0ax y   与直线  2 2 1 0x a y    垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 的底面 ABCD是边长为 2 的正方形， 且 1 1 60A AD A AB    ， 1 3AA  ，M 为 1 1AC 与 1 1B D的交点，则线段 BM 的长为（ ） A．3 B． 10 C． 11 D． 2 3 7．《古从军行》中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之 后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角 2 坐标系中，已知军营所在的位置为  2,0B  ，若将军从山脚下的点 1 ,0 3 A     处出发，河岸线所 在直线方程为 2 3x y  ，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． 145 3 B. 5 C. 135 3 D. 16 3 8．在长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 2AB  ， 1 1AD AA  ．动点 P 从 1A出发，在棱 1 1A B 上匀速运 动；动点 Q 同时从 B 出发，在棱 BC 上匀速运动，P 的运动速度是 Q的两倍，各自运动到另一端点 停止．它们在运动过程中，设直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 tan 的取值范围是（ ） A．     1 2 1 ， B．     5 5 2 2 1 ， C．     15 5 2 ， D．       2 5 2 1 ， 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 某中学三个年级学生共 2000 人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以按 比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有 32 人，则下列说法正确的有（ ） A．该学校高一学生共 800 人 B．志愿服务小组共有学生 96 人 C．志愿服务小组中高三学生共有 20 人 D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 25 2 10.下列说法正确的是（ ） A. 直线 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           B. 若      2,12 , 1,3 , 4,A B C m 三点在一条直线上，则 2m  C. 过点  1,2 ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l的方程为 1 0x y   D. 直线 l的方向向量为  1, 3 ，则该直线的斜率为 3 11．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作 为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科 3 和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件 E “选择生物学科”， F “选择一门理科学科”， G “选择政治学科”， H “选择一门文科学科”， 则下列说法正确的是（ ） A．G和 H是互斥事件但不是对立事件 B． F 和H 是互斥事件也是对立事件 C．     1P F P G  D．      P E H P E P H   第 II卷（非选择题，共 92分） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知圆 C 的圆心坐标为（2， − 3），且点（ − 1， − 1）在圆 C 上，则圆 C 的一般方程 为 ． 13．已知一组数据 1x ， 2x ，…， nx 的平均数为 10，方差为 2，若这组数据 12 1 x ， 12 2 x ，…， 12 nx 的平均数为a，方差为b，则 a , b ． 14．两条异面直线 ,a b所成的角为60，在直线 a上取点 ,A E ，在直线b上取点 ,B F，使 AB a ， 且 AB b ．已知 6, 8, 14AE BF EF   ，则线段 AB的长为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共 4个，从中任取一球，得到红球或黄球的 概率是 3 4 ，得到黄球或蓝球的概率是 1 2 ． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个 球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 16．（15分） 已知直线  : 1 2 0l kx y k k R     ． （1）若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； （2）若直线 l交 x轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B,求△OAB 的面积S的最小值及此时 直线 l的一般式方程． 17．（15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD， / /AB CD，且 2CD  ， 1AB  ， 2 2BC  ， 1PA  ，AB BC ， N 为PD的中点． （1）求证： / /AN 平面 PBC ； （2）求点 N到平面 PBC 的距离． 4 18．（17分） 某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取 n人进行了一次生活习惯 是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得 到如下人数统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中 “低碳族” 人数 “低碳族”人 数在本组所 占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6  55,50 15 0.3 （一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图 （1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出 n、 p、 a的值； （2）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用按比例分配的分层抽样方法抽取 6人参加户外低 碳体验活动．若将这 6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的 人恰好又分在同一组的概率． 19．（17分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A BC- 中， AB AC ，顶点在 1A底面 ABC上的射影恰为点 B，且 1 2AB AC A B   . （1）求证： 1 1AC 平面 1 1ABA B ； （2）求棱 1AA 与 BC所成的角的大小； （3）在线段 11CB 上确定一点 P，使 14AP ，并求出 平面 PAB 与平面 1ABA 夹角的余弦值． 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题,必须用2B铅笔填涂,修改时用橡 皮擦干净 正确 填涂 错误 填涂 贴码区 （正面朝上，切勿贴出方框） 条码尺寸：50×20毫米 条码编码：code128 缺考标记 扫描二维码 查询成绩 盐亭中学2023级2024年秋第二次月考 数 学 答 题 卡 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 A B C D A B C D A B C D 三、填空题：（本题共3小题，每题5分共15分） 12. 13. 14. 四、解答题：(共77分） 第1页 共6页 15. (13分) 第2页 共6页 16. (15分) 第3页 共6页 17. (15分) 第4页 共6页 盐亭中学2023级2024年秋第二次月考数 学 答 题 卡【背面】 18. (17分) 第5页 共6页 19. (17分) 第6页 共6页 4 3 4 4 1 4 2 x y z x y y z            高二数学半期考试参考答案 1-5 BBACA 6-8 CAD 9. AC 10. AD 11. BD 12. 06422  yxyx 13. 19 ， 8 14 . 3412或 13．解:（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为 x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄 球为事件 A，得到黄球或蓝球为事件 B 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 2，1，1. ...........................6分 （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为 2个，1个，1个， 用 1r ， 2r 表示红球的编号，用 a表示黄球的编号，用b表示蓝球的编号， 用m表示第一次取出的球的编号，用 n表示第二次取出的球的编号，用 ( , )m n 表示试验的样 本点， 则样本空间 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2{( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )r r r r r a r b r r r r r a r b a r a r  ， 1 2( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}ra a a b b b b a b br ． 可得 ( ) 16n   ，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色不相同”为事件 N ， 则 ( ) 6n M  ，所以 6 3( ) 16 8 P M   ,所以 3 5( ) 1 ( ) 1 8 8 P N P M     ， 因为 5 3 8 8  ，所以此游戏不公平． ...........................13分 16. ( ) , ( ) 4 4 x y y zP A P B   2 1 1 x y z      17.（1）过A作 AE CD ，垂足为 E，则 1DE  ， AEPAADPA ABCDAEABCDADABCDPA   , ,, 平面平面平面 如图，以A为坐标原点，分别以 , ,AE AB AP为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 则            0,0,0 , 0,1,0 , 2 2,0,0 , 2 2, 1,0 , 2 2,1,0 , 0,0,1A B E D C P ， ∵N为 PD中点, ) 2 1, 2 1,2( N    0, 1,1 2 2,0,0BP BC   ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为  , ,m x y z ， 则 0 2 2 0 m BP y z m BC x             ，令 1y  ，解得  0,1,1m   ， 0 2 1 2 1 mAN 即 AN m  ，又 AN 平面 PBC ， 所以 / /AN 平面 PBC ； ...........................7分 . 2 2 2 2 2 2 1 2 1 )1,1,0(1), 2 1, 2 1,2(2 的距离为到平面故点 的法向量）知平面由（）又（ PBCN m mNP d mPBCNP       ...........................15分 1 12, , 2 2 AN        18.(本小题满分 17分) （1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为  1 0.04 0.04 0.03 0.02 0.01 5 0.3       ， 所以第二组高为 0.3 0.06 5  ． 故补全频率分布直方图如下： 第一组的人数为 120 200 0.6  ，频率为0 04 5 0 2. .  ，所以 200 1000 0.2 n   ； 因为第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为1000 0.3 300  ，所以 195 0.65 300 p   ； 因为第四组的频率为0.03 5 0.15  ，所以第四组的人数为1000 0.15 150  ， 所以 150 0.4 60a    ． ..........................10分 （2）因为  40,45 岁年龄段的“低碳族”与 45,50 岁年龄段的“低碳族”的比为60 : 30 2 :1 ， 按比例分配的分层抽样法抽取 6人，则在  40,45 岁中抽取 4人，在  45,50 岁中抽取 2人． 设年龄在  40,45 中被抽取的 4个人分别为： 1 2 3 4, , ,A A A A ； 年龄在 45,50 岁中被抽取的 2个人分别为： 1 2,B B ； 表示试验的样本点用组的人分别表示分到甲组、乙用 ),(,, yxyx 20)( ),),,),,),,),, ),,,),,),,),,),, ),,),,),,),,),, ),,),,),,),,),, 321214421213121243221143431212 131242231142141232241132211432 432211132241232141142231242131 212431143221243121213421214321                 n AAABBAAAABBABAABAABAABAAAAABBA BAABAABAABAABAABAABAABAABBAAAA AAABBABAABAABAABAABAABAABAABAA BBAAAABAABAABAABAABBAAAABBAAAA （（（（（ （（（（（ （（（（（ （（（（（ 则该试验的样本空间 记“ 45,50 岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件 C， 8)( ),),,),,),, ),,),,),,),, 321214421213431212211432 432211212431213421214321         Cn AAABBAAAABBAAAABBABBAAAA AAABBABBAAAABBAAAABBAAAA C （（（（ （（（（ 则 所以   8 2 20 5 P C   ..........................17分 19.（1）因为三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， AB AC ，所以 1 1 1 1AC AB ， 因为顶点在 1A 底面 ABC 上的射影恰为点 B ， AC 平面 ABC ，所以 1AB AC ，所以 1 1 1AB AC ， 又 1 1 1 1AB AB A  ， 1A B平面 1 1ABA B ， 1 1A B 平面 1 1ABA B ，所以 1 1AC 平面 1 1ABA B . （2）以 A 为原点，射线 AC， AB， Az分别为 x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如 图， 则  2,0,0C ，  0,2,0B ，  1 0,2,2A ，  1 0,4,2B ，所以  1 0,2,2AA   ，  1 1 2, 2,0BC BC     ， 设棱 1AA与 BC 所成的角为 ， 所以 1 1 1 4 1cos = cos , 22 2 2 2 AA BC AA BC AA BC              ， 又 π0 2   ，所以 π 3   ，故棱 1AA与 BC 所成的角为 π 3 . （3）设    1 1 1 2 , 2 ,0 0 1B P BC          ，则  2 ,4 2 ,2P   . 于是    2 22 4 2 4 14AP       ，解得 1 2   ，则 P 为棱 1 1BC 的中点，其坐标为  1,3,2P . 设平面 PAB的一个法向量  , ,n x y z  ，则 2 0 3 2 0 n AB y n AP x y z             ， 令 1z   ，得  2,0, 1n    ， 而平面 1ABA的一个法向量  1,0,0m   ，则 2 2 5cos , 55 n mn m n m          ， 故平面 PAB 与平面 1ABA 夹角的余弦值为 5 52 ． ..........................17分