精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

塘沽一中2024—2025学年度第一学期 高一年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页.卷Ⅰ答案用2B铅笔填涂在答题纸上对应区域，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔答在答题纸规定区域内. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数既是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 9. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为2 D. 最小值为2 11. 对任意的函数，都有，，且当时，，若关于x的方程；在区间内恰有10个不等实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，则下列说法中正确的个数为（） ① ②函数在上单调递增 ③ ④满足不等式的x的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每小题5分，双空题答对一个给3分，共30分） 13. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 14. ____________. 15. 若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 16. 已知函数的图象恒过点，则____________，函数的单调递增区间为________________________. 17. 设函数，若，则实数的取值范围是____________. 18. 已知函数的定义域为，，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为____________. 三、解答题（共60分，规范书写解题过程） 19. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 20. 设函数，. （1）若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 21. 已知是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为， （1）求函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在实数s，t，，使得成立，求正实数m的取值范围； （3）若，求x的取值范围. 22. 已知函数. （1）当，时，求函数的值域； （2）当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2024—2025学年度第一学期 高一年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页.卷Ⅰ答案用2B铅笔填涂在答题纸上对应区域，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔答在答题纸规定区域内. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，利用交集的定义可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法可判断ABD，利用不等式性质可判断C. 【详解】对于A，若，此时，故A错误； 对于B，若，，，此时，故B错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确； 对于D，若，，可得，故D错误. 故选：C. 4. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方关系以及指数运算法则即可判断得出结论. 【详解】由可得或，当时不一定推不出， 比如，即充分性不成立； 当时，可得，可以推出，即必要性成立， 即可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 下列函数既是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知函数的性质即可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，由幂函数的性质可知是偶函数，且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可. 【详解】因为，，，所以. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 8. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可． 【详解】定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵，， 即，所以在上存在唯一零点． 故选：B． 9. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：A． 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为2 D. 最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 11. 对任意的函数，都有，，且当时，，若关于x的方程；在区间内恰有10个不等实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有10个不同的交点，由图可得，解之即可求解. 【详解】由，知函数为偶函数， 由，知函数为周期函数，且. 又当时，， 则当时，，， 由，得， 所以， 若方程在上有10个不等实根， 则函数与图象在上有10个不同的交点， 由对称性可得函数与图象在上有5个不同的交点 若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故， 如图， 由图可知，， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B 12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，则下列说法中正确的个数为（） ① ②函数在上单调递增 ③ ④满足不等式的x的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，用赋值法即可求解；对于②，根据单调性的定义证明即可，注意利用已知条件；对于③，根据题目所给条件即可化简求值；对于④，将2换成，利用已知条件及②的结论列出不等式求解即可. 【详解】对于①，因为，令，得，所以，故①正确; 对于②，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是增函数，故②正确; 对于③， ，故③正确; 对于④，因为，所以， 又因为，所以， 由得即， 因为在上是增函数，所以，解得， 所以不等式的解集为，故④正确. 故选:D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每小题5分，双空题答对一个给3分，共30分） 13. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于0，偶次根式非负以及分母不为0列式求解. 【详解】函数的定义需满足，得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. ____________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数和对数的运算求得结果. 【详解】 故答案为： 15. 若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法可判断增长的快慢，也可求得不等关系下对应的范围. 【详解】作出函数，，的图象的示意图如下： 从增长速度看，的增长是由快变慢，是均匀增长，是由慢变快， 故增长较快的一个是； 由图形可得成立的的取值范围是. 故答案为：；. 16. 已知函数的图象恒过点，则____________，函数的单调递增区间为________________________. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 17. 设函数，若，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式画出函数图象，再由不等式解集可得解出的解集即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知当可得； 当时，，此时恒成立，即； 当时，，即，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 18. 已知函数的定义域为，，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】化简式子得到，构造函数， 并得到是减函数.然后解不等式，得出实数的取值范围. 【详解】∵，， ∴，则 令，∴， 即当时，，即函数在上单调递减， ∵，当时，不成立， 当时，，则，即，即， ∴，则， ∴ 当时，，则，即，即， ∴，则，无解. 综上所述： 故答案为： 三、解答题（共60分，规范书写解题过程） 19. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 20. 设函数，. （1）若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【小问1详解】 法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则， 令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. 【小问2详解】 ①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 21. 已知是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为， （1）求函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在实数s，t，，使得成立，求正实数m的取值范围； （3）若，求x的取值范围. 【答案】（1），在上单调递减；证明如下： ，，且， 则， 由可得，，，， 则，即， 所以在上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，并结合单调性的定义证明单调性； （2）由题意分析可知：，结合单调性分析求解； （3）根据单调性分析可得，进而运算求解. 【小问1详解】 当时，，则， 由是R上的奇函数可得，且； 综上：； 在上单调递减，证明略. 【小问2详解】 因为存在实数s，t，，使得成立可得， 则， 由（1）可知在上单调递减，即在上单调递减， 则， 可得， 由于m为正实数，即， 则有，可得，，即， 综上所述，正实数m的取值范围. 【小问3详解】 因为，且在上单调递减， 由，可得，即， 即，整理可得，解得， 所以实数x的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于（2）根据存在性问题分析可知，结合单调性分析最值，即可得解. 22. 已知函数. （1）当，时，求函数的值域； （2）当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②由①可知，所以，， 且满足，，即. 又， 所以 ， 因为，所以，， 故.即证出 【解析】 【分析】（1）利用换元法可求值域； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论. 【小问1详解】 当，时，，令，则， 则，即，故函数的值域为； 【小问2详解】 当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知； ②略 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $