精品解析：河北省保定市第十三中学2024—2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024−2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试题 考生注意：1、本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题 2、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 一、选择题（本大题共16个小题，1~10题，每小题3分；1116题，每小题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个完全相同的长方体，按下面如图方式摆放，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A. 0.83 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.90 4. 已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 5. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 两个实数根 7. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 9. 如图，是的中线，，交于点，则(　　) A. B. C. D. 10. 若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 13 B. 18 C. 15 D. 16 11. 下列四个命题中是真命题的有（　　） ①对角线相等的平行四边形是矩形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四角相等且两边相等的四边形是正方形； ④对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控利，第三轮将又有（ ）人被传染． A. 98 B. 440 C. 448 D. 128 13. 如图，点E是矩形的边上的中点，将折叠得到，点F在矩形内部，的延长线交于点G，若，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 14. 如图，四边形为菱形，，交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F．已知，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 15. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 16. 如图，四边形是正方形，是中点，连接的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④的周长是12． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 卷Ⅱ（非选择题，共78分） 二、填空题（本大题共3个小题，17、18每题3分，19题每空2分；共10分．把答案写在题中横线上） 17. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则的值为_____． 18. 已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm 19. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝12，BC＝5． ①BD＝_____； ②在整个的运动过程中，点D到点O的最大距离为 _____． 三、解答题（本大题共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 21. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个布袋内只装上两种颜色的球，其中有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若第一次摸到的一个球是黑球，则摸到第二个球仍是黑球的概率是_______； （2）若规定：两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定公平吗？请通过树状图或列表的方式来说明． 22. 如图，以原点O为位似中心，相似比为．将△ABC缩小后得到新的三角形．已知A（6，3），B（3，6），C（6，6）． （1）请画出缩小后的新三角形； （2）请写出与点A对应的点的坐标为_________； （3）若点P（x，y）是△ABC内一点，则与点P对应的点的坐标为__________ ． 23. 如图，已知在△ABC中，AC＝2AB，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE． （1）求证：△ADB∽△AEC； （2）若S△ACE＝8，求S△ABD的值． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 25. 阿里巴巴电商扶贫，对某贫困地区的一种特色农产品是行网上销售，如果按原价每件400元出售，那么一个月可卖出100件，通过市场调查发现，每件农产品的售价每降低10元，月销售件数增加20件． （1）当标价为350元时，月销售量为多少件？ （2）已知该农产品的成本是每件200元，若月销售利润为3万元，并要尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ 26. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm，AD＝11cm，点P以2cm/s的速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动，而且当其中一点停止运动时另一点也停止运动．设运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示下面线段的长度． ①CQ＝　 　cm；②PD＝　 　cm；③BQ＝　 　cm；④AP＝　 　cm； （2）如图1，当t为 　 　s时，PQ∥AB． （3）如图2，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试题 考生注意：1、本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题 2、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 一、选择题（本大题共16个小题，1~10题，每小题3分；1116题，每小题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，有2个未知数，不符合题意； B、，展开之后抵消了，没有二次项，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意． 2. 有两个完全相同的长方体，按下面如图方式摆放，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的几何体的形状选择即可． 【详解】其主视图是C 故选：C 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，根据几何体正确判断三视图是解题关键，注意：几何体中实际存在但看不到的轮廓线要用虚线画出来． 3. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A. 0.83 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.90 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83． 故选：A． 4. 已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件写出，，，代入化简得到，结合，求出的值为． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握比例的基本性质，运用比例的基本性质把比例式变形，代入所求式子，提公因式化简． 5. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 6. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 两个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得出，再化简得出即可得出根的情况. 【详解】 关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根. 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：时有两个相等的实数根；时有两个不相等的实数根；时没有实数根. 7. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．结合相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而即可选择． 【详解】解：添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，故A不符合题意； 添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，故B不符合题意； 添加C选项后，两边对应成比例，夹角不一定相等，不能证明； 添加D选项后，∵， ∴，即， ∴两个三角形的两个对应角相等，可证明． 故选：C． 8. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到．把代数式变形得到αβ-3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得． 则， 故选 B 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 9. 如图，是的中线，，交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质得出，是中位线，设，则，，得出，即可求解． 【详解】解：是的中线， 点是中点， ， 点是中点， 是中位线， ，， ， 是中位线， ， 设，则，， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 13 B. 18 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法可求出第三边，然后根据三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣3）（x﹣7）＝0， ∴x＝3或x＝7， 当x＝3时， ∵4+3＝7， ∴4、3、7不能组成三角形， 当x＝7时， ∵4+7＞7， ∴4、7、7能够组成三角形， ∴这个三角形的周长为4+7+7＝18， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及三角形三边关系，本题属于基础题型． 11. 下列四个命题中是真命题的有（　　） ①对角线相等的平行四边形是矩形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四角相等且两边相等的四边形是正方形； ④对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，所以①为真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以②为真命题； 四角相等且邻边相等的四边形是正方形，所以③为假命题； 对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形，所以④为真命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理． 12. 一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控利，第三轮将又有（ ）人被传染． A. 98 B. 440 C. 448 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】设一个患者一轮传染人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感．即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再取其正值即可得出结论． 【详解】解：设一个患者一轮传染人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 第三轮将传染（人． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 如图，点E是矩形的边上的中点，将折叠得到，点F在矩形内部，的延长线交于点G，若，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质、已知条件和折叠的性质可得，连接，证明，得出，设，根据勾股定理构建方程求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵将折叠得到， ∴，， ∴， 连接，∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得：，即； 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、得到关于x的方程是解题的关键. 14. 如图，四边形为菱形，，交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F．已知，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，交的延长线于点，连接；根据菱形的性质构造出进而得出四边形是矩形；最后根据似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：作，交的延长线于点，连接； ∵四边形为菱形 ∴ ， ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练运用似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 【答案】A 【解析】 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断． 【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，， ，， ， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：，，则，， ，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键． 16. 如图，四边形是正方形，是中点，连接的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④的周长是12． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由，即可证得，即可判断①正确；根据三角形面积公式即可判断②正确；求得，即可得到，即可判断③错误；根据勾股定理求得，即可求的周长是12，即可判断④正确；即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ， ， 又， ， ，故①正确； 四边形是正方形，，是中点， ，， ， 垂直平分， ，， 设，则，， ， ，解得， ， 连接，如图， ， ，即， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ， ，故③错误； ，， ， 的周长，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共78分） 二、填空题（本大题共3个小题，17、18每题3分，19题每空2分；共10分．把答案写在题中横线上） 17. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入解方程，且注意即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 18. 已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm 【答案】(-1)或(3-) 【解析】 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】当AC＞BC时，AC== 当AC＜BC时，AC=AB-AB=， ∴线段AC的值为：-1（cm）或3-（cm）． 故答案为：-1（cm）或3-（cm）． 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键． 19. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝12，BC＝5． ①BD＝_____； ②在整个的运动过程中，点D到点O的最大距离为 _____． 【答案】 ①. 13 ②. +6 【解析】 【分析】①根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论； ②取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝12， ∴； 故答案为：13； ②如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝12，BC＝5， ∴OE＝AE＝AB＝6， ∴， ∴OD的最大值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的三边关系，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 三、解答题（本大题共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）方程无实数根 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）运用公式法求解； （2）运用公式法求解； （3）因式分解法求解； （4）因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴原方程无实数根； 【小问3详解】 解： 或 ∴； 【小问4详解】 解： 或 ∴． 21. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个布袋内只装上两种颜色的球，其中有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若第一次摸到的一个球是黑球，则摸到第二个球仍是黑球的概率是_______； （2）若规定：两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定公平吗？请通过树状图或列表的方式来说明． 【答案】（1） （2）根据题意画图如下： 共有20中等可能的情况数，其中两次摸出的球的颜色一样的有8种，颜色不一样的有12种，则小明胜的概率是， 小颖胜的概率是， ∵， ∴这个规定不公平． 【解析】 【分析】(1)根据概率公式进行解答即可； (2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵布袋内只装上两种颜色的球，其中有2个黑球和3个白球，共5个球， ∴第一次摸到的一个球是黑球，则摸到第二个球仍是黑球的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，以原点O为位似中心，相似比为．将△ABC缩小后得到新的三角形．已知A（6，3），B（3，6），C（6，6）． （1）请画出缩小后的新三角形； （2）请写出与点A对应的点的坐标为_________； （3）若点P（x，y）是△ABC内一点，则与点P对应的点的坐标为__________ ． 【答案】（1） 如图，△A′B′C′或△A″B″C″即为所求； （2）（2，1）或（﹣2，﹣1） （3）（x，y）或（﹣x，﹣y） 【解析】 【分析】（1）利用位似变换的性质作出三角形即可，注意一题多解； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）探究规律解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 A′（2，1），A″（﹣2，﹣1）； 故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）； 【小问3详解】 点P对应的点的坐标为（x，y）或（﹣x，﹣y）． 故答案为：（x，y）或（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，正确作出图形． 23. 如图，已知在△ABC中，AC＝2AB，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE． （1）求证：△ADB∽△AEC； （2）若S△ACE＝8，求S△ABD的值． 【答案】（1） 证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD， ∴＝， ∴△ADB∽△AEC； （2）2 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，可证＝，利用两边对应成比例且夹角相等即可证； (2)根据相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AC＝2AB， ∴＝2， 由（1）知△ADB∽△AEC； ∴＝＝4， ∵S△ACE＝8， ∴S△ABD＝2． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，旋转性质的应用是解题的关键． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CE＝BC， ∴四边形AECD是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）过A作AH⊥BC于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝， ∵， ∴AH＝， ∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE＝5， ∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH＝． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答． 25. 阿里巴巴电商扶贫，对某贫困地区的一种特色农产品是行网上销售，如果按原价每件400元出售，那么一个月可卖出100件，通过市场调查发现，每件农产品的售价每降低10元，月销售件数增加20件． （1）当标价为350元时，月销售量为多少件？ （2）已知该农产品的成本是每件200元，若月销售利润为3万元，并要尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ 【答案】（1）当标价为350元时，月销售量为200件 （2）售价应定为300元 【解析】 【分析】（1）利用月销售量=100+20×降低的价格÷10，即可求出当标价为350元时的月销售量； （2）设售价应定为x元，则每件的销售利润为（x-200）元，月销售量为（900-2x）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快销售完毕，即可得出售价应定为300元． 【小问1详解】 ， ＝100+20× ＝100+100 ＝200（件）． 答：当标价为350元时，月销售量为200件． 【小问2详解】 设售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣200）元，月销售量为100+20×＝（900﹣2x）件， 依题意得：（x﹣200）（900﹣2x）＝30000， 整理得：x2﹣650x+105000＝0， 解得：x1＝300，x2＝350． 又∵要尽快销售完毕， ∴x＝300． 答：售价应定为300元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm，AD＝11cm，点P以2cm/s的速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动，而且当其中一点停止运动时另一点也停止运动．设运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示下面线段的长度． ①CQ＝　 　cm；②PD＝　 　cm；③BQ＝　 　cm；④AP＝　 　cm； （2）如图1，当t为 　 　s时，PQ∥AB． （3）如图2，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t；2t；（8﹣t）；（11﹣2t） （2）3 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由路程=速度×时间，可求QC，PD的长，即可求解； （2）由题意可证四边形ABQP是平行四边形，可得BQ=AP，列出方程可求解； （3）通过证明△OBQ∽△CBD，可得，可求BO=（8-t），通过证明△BQO∽△DPO，可得，可求解． 【小问1详解】 ∵点P以2cm/s的速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动， ∴QC＝tcm，PD＝2tcm， ∵BC＝8cm，AD＝11cm， ∴BQ＝（8﹣t）cm，AP＝（11﹣2t）cm， 故答案为：t；2t；（8﹣t）；（11﹣2t）； 【小问2详解】 ∵PQ∥AB，BC∥AD， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∴BQ＝AP， ∴8﹣t＝11﹣2t， ∴t＝3， 故答案为：3； 【小问3详解】 存在， ∵∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm， ∴， ∵PQ⊥BD， ∴∠BOQ＝90°＝∠C， 又∵∠DBC＝∠QBO， ∴△OBQ∽△CBD， ∴， ∴， ∴BO＝（8﹣t）， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BQO∽△DPO， ∴， ∴ ∴t1＝，t2＝8（不合题意舍去）， ∴当t＝时，使得PQ⊥BD． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $