精品解析：浙江省湖州市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试卷

2024学年八上期中练习（数学） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，3 C. 3，4，9 D. 15，12，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 根据三角形三边之间的关系逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，能够组成三角形，故选项符合题意； B. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； C. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； D. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟记不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加上，不等式号方向不变，即，故A不符合题意； B、在不等式的两边同时减去，不等式号方向不变，即，故B不符合题意； C、在不等式的两边同时乘以，不等式号方向不变，即，故C符合题意； D、在不等式的两边同时乘以，不等式号方向改变，即，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键．分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选：C． 6. 如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（ ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 连接，则不是等腰三角形 D. 作 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键． 根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：连结, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝( ) A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答即可． 【详解】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记相关性质是解题的关键． 8. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（　　） A. 7cm B. 4cm C. 5cm D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：作PD⊥OB于D， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA， ∴PD＝PC＝6cm， 则PD的最小值是6cm， 故选A． 【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 9. 如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得是解题的关键．先由平行线的性质与角平分线的定义证得，再由等腰三角形的判定即可得出，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：平分平分， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故选：． 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 12. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的______（填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，深刻理解三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性． 利用三角形稳定性的概念即可直接得出答案． 【详解】解：根据三角形稳定性的概念可知，这样的设计利用的数学原理是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 13. “a 与2的和是非负数”用不等式表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数即正数或0，也就是≥0列式即可． 【详解】解：∵a 与2的和是非负数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是掌握要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，然后根据∠C＝60°得出△BCD为等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，点D为边AC的中点， ∴， ∵∠C＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得出△BCD为等边三角形，是解题的关键． 15. 在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为_____． 【答案】6或14 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分两种情况讨论求解； 【详解】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD＋AE＝BD＋CE， ∵BC＝10，DE＝4， 当BD与CE无重合时，如图1， AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6， 当BD与CE有重合时，如图2， AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14， 综上所述，AD＋AE＝6或14； 故填：6或14； 【点睛】本题考查等腰三角形、垂直平分线的性质，关键在利用数形结合的方法； 16. 如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则______； （2）若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动______秒钟后是直角三角形． 【答案】 ①. ②. 6或 【解析】 【分析】（1）过点作于，利用角平分线的性质得，再根据面积法可得答案； （2）分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，由勾股定理得， ， ，，是的角平分线， ， 设， 则， 解得， 即， 故答案为：； （2）如图，当时， 则， ， ， ， 设秒后是直角三角形， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 当时，由（1）得， ， ， ， ， 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 18. 小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，．求证：．”，请你帮他完成题目的梳理过程． 题目来源 第一章书本例题 图形呈现 关键已知 ①②③ 解题过程 【答案】 ， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是找出证三角形全等的条件． 19. 如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明． 【详解】证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）的面积是 ； （3）若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 个； （4）在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）4 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出三顶点A、B、C关于l的对称点、、，再依次连接即可； （2）利用割补法结合网格的特点即可求解； （3）根据网格特点作出线段的垂直平分线后，即可确定点P的个数； （4）连接交直线l于点Q，则点Q满足条件要求． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：； 故答案为：5； 【小问3详解】 解：作出线段的垂直平分线，如图， 则满足条件的格点有4个； 故答案为：4； 【小问4详解】 解：如图，连接交直线l于点Q，则点Q满足的值最小． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，作线段垂直平分线，两点间线段最短，割补法求图形面积等知识． 21. 如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，F为的中点，求EF的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ，， ， 又， ， 是等腰三角形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键． （1）根据，得，再利用进行角之间的转换，得出即可得出结论； （2）先证，然后根据勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 F为的中点， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 答：的长为12． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）当AD＝CF时，求∠ABD的度数． 【答案】（1）证明 , ,  , 在与中，  ,  ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明 与全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】（1） 略 （2）由（1）知 ,又, ,, , , , , , , 又 , , 由（1）知 , 【点睛】此题考查全等三角形，关键是根据证明三角形全等。再利用全等三角形的性质解答． 23. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】（1）， （2） 证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 （3）16或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是智慧三角形． ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，是智慧三角形． 设， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 综上所述，满条件的的面积为16或． 【点睛】本题考查了智慧三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 24. 如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点． （1）若，，是边上的高线． ①求线段的长； ②当，求线段的长； （2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；②根据对称性，结合①中，得到即可得到； （2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图，过点作， 在中，，， ， 是边上的高线， ， 即， 解得：； ②根据题意，如图所示： 点关于对称点为， ， 由①知， 则， ； 【小问2详解】 如图所示： 由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③； ①当时， 点关于对称点为， ， 在中，， '是的一个外角， ， 即； ②当时， 点关于对称点为， ， 在中，， 是的一个外角， ， 即； ③当时， 点关于对称点为， ， 是的一个外角， ， 即（舍弃）， 综上所述，在的情况下，或． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等面积法求高、对称性质、等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握三角形相关性质，作出辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年八上期中练习（数学） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，3 C. 3，4，9 D. 15，12，2 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 6. 如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（ ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 连接，则不是等腰三角形 D. 作 7. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝( ) A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 8. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（　　） A. 7cm B. 4cm C. 5cm D. 3cm 9. 如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 12. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的______（填“稳定性”或“不稳定性”）． 13. “a 与2的和是非负数”用不等式表示为___________ 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为______． 15. 在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为_____． 16. 如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则______； （2）若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动______秒钟后是直角三角形． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，．求证：．”，请你帮他完成题目的梳理过程． 题目来源 第一章书本例题 图形呈现 关键已知 ①②③ 解题过程 19. 如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）的面积是 ； （3）若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 个； （4）在直线l上找一点Q，使的值最小． 21. 如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，F为的中点，求EF的长． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）当AD＝CF时，求∠ABD的度数． 23. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 24. 如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点． （1）若，，是边上的高线． ①求线段的长； ②当，求线段的长； （2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $