专题21图形的相似（精选54题）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题21图形的相似（精选54题） 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 6．（2023·江苏南京·中考真题）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（  ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 8．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 9．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 11．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（    ） A．2 B． C． D． 12．（2022·江苏盐城·中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法 步骤： 第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直； 第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上； 第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度； 第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值． 如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 13．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 14．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 15．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（    ） A．54 B．36 C．27 D．21 二、填空题 16．（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ． 17．（2023·江苏南通·中考真题）中，，分别是，的中点，连接，则 ． 18．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 19．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 20．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．    21．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍． 22．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 23．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 24．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 25．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    26．（2023·江苏无锡·中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ． 27．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ． 28．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 29．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 30．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 31．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 32．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ． 33．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 ． 34．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为 ． 35．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 三、解答题 36．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 37．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 38．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 39．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为4，求的面积． 40．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 41．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 42．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 43．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 44．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 45．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 46．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 47．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    48．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式． 49．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 50．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．    (1)若，，则的值为________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围． 51．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上． (1)如图1，当四边形是正方形时，求证：； (2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形； (3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 52．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 53．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点. (1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长； (2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由. 54．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 试卷第4页，共26页 22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21图形的相似（精选54题） 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 6．（2023·江苏南京·中考真题）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由得：，解得， 故选：A． 7．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 8．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 9．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； ①正确    ②当，如图时最大，， ，，， ， ， ②错误；    ③如图5，若，， ∴，，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴③错误； ④如图6，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 当时，最大为5， ∴④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键． 10．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴=2， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 11．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长． 【详解】解： AD=，AB=2，CD=3， ∵AB∥DC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴设AO=2x，则OD=3x， ∵AO+OD=AD， ∴2x+3x=5． 解得：x=1， ∴AO=2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 12．（2022·江苏盐城·中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法 步骤： 第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直； 第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上； 第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度； 第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值． 如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 【答案】C 【分析】参照题目中所给的“跳眼法”的方法估测出距离即可． 【详解】由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍． 观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米， 所以汽车到观测点的距离约为80米， 故选C． 【点睛】本题主要考查了测量距离，正确理解“跳眼法”测物距是解答本题的关键． 13．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE， ∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°， 同理∠GEC=90°， ∴∠FGE+∠GEC=180° ∴GF∥EC；故①正确； 根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO， ∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点， 同理可得点E为AB的中点， 设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b， ∴GC=3a， 在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2， 即(3a)2=a2+(2b)2， ∴b=， ∴AB=2=AD，故②不正确； 设DF=FO=x，则FC=2b-x， 在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2， 即(2b-x)2=x2+(2a)2， ∴x==，即DF=FO=， GE=a， ∴， ∴GE=DF；故③正确； ∴， ∴OC=2OF；故④正确； ∵∠FCO与∠GCE不一定相等， ∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确； 综上，正确的有①③④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 15．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（    ） A．54 B．36 C．27 D．21 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12， ∴两个相似三角形的相似比为1:3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1， ∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键． 二、填空题 16．（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ． 【答案】 【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：两个相似图形，其周长之比为， 其相似比为， 其面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键． 17．（2023·江苏南通·中考真题）中，，分别是，的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，先由三角形中位线定理得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 19．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 20．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．    【答案】18 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值． 21．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍． 【答案】1.2 【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解． 【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得， ， 解得， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键． 22．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 23．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 整理得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 24．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 25．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    【答案】6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 26．（2023·江苏无锡·中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ． 【答案】6 【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接， 为等边三角形且，则， ， 如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点， ，， ， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 27．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，根据的面积是2，求出点到的距离为，根据的面积，求出点到的距离为，即可得出点到的距离为，根据相似三角形的判定与性质，得出，求出，，根据等角对等边求出，即可求出，即可得出最后结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵的面积是2， ∴点到的距离为， 在中，点到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点到的距离为，点到的距离为． 28．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 为的中点， 中， ，， ， ， 四边形AECF的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 29．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 30．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 31．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 32．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线 ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线 ，⑥如图6，直线 ，同理可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：由，令，解得：，令，解得：， ∴，，， 设直线解析式为， ∴ 解得： ∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于， ∵， ∴， ∴点必在内部． 1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为 ①如图1，直线过中点，， 中点坐标为，代入直线求得，不成立；    ②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得； ③如图3，直线过中点，中点坐标为， 直线与轴平行，必不成立； 2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为． ④如图4，直线 ， ∴ ∴， ∴， 解得；    ⑤如图5，直线 ，，则 ∴，又， ∴， ∵， ∴不成立； ⑥如图6，直线 ，同理可得， ∴，，， ∴，解得； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键． 33．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 ． 【答案】21 【分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图： ，，， ， 在中，，，． ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得：，   ， ， ，   ， ， ， 同理可证：，   ， ， ， 的外部被染色的区域面积为， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积． 34．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为 ． 【答案】 【分析】在矩形ABCD中，设，运动时间为，得到，利用翻折及中点性质，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根据判定的 得到，从而代值求解即可． 【详解】解：如图所示： 在矩形ABCD中，设，运动时间为， ， 在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形， ， 若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合， ， 在中，，则， ， , , , , ， ， ，则， ，即， 在和中， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键． 35．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， 连接MN，则四边形ABNM是矩形， ∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4， 根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴ ∴ ∴ 当点E与点A重合时，则NF=， ∴BF=BN+NF=4+2=6， ∴AB=BF=6 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵BP⊥AF， ∴ 由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO， ∴∠PON=90°， 又 ∴， ∴， ∴的长为= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键． 三、解答题 36．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 37．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 38．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 39．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证； （2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，    ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键． 40．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论； （2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可； （3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；    ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，   ， ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：如图， 1）分别在和上截取，， 2）连接，在上截取， 3）连接并延长交于P，则点即为所求；    （3）证明：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 41．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)4，2 (2)点的坐标为、 【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案； 对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得 ， 解得， 一次函数的关系式为； 将点A（1，4）代入反比例函数，得 ， 反比例函数的关系式为． 故答案为：4，2； （2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）． 当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴OB=2． 根据勾股定理可知． 当点落在轴的正半轴上，则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， 则. ∵， ∴， ∴； 若，则． ∵，， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为、． 【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等． 42．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 43．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 【答案】（1）①见解析，②见解析； （2）见解析； （3）见解析 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点． 【详解】解：[实践操作] （1）①如图， 点即为所求作的点； ②如图， 点即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点即为所求的点． 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键． 44．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解； [深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而，  则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 45．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 46．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【详解】（1）． 正方形， ， ， ， ． （2）解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ．    ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ．    综上，的度数为45°或135°． （3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 47．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展] 【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； [活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案； [应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：[问题背景]如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； [活动探究]如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ； [应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， 由题意得：， ， ，， 设，，则，， ， ， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， 同【问题背景】得：， ， ， 解得：， ， 答：信号塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键． 48．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，根据菱形的性质以及已知条件可得为等边三角形，根据，可得为等腰直角三角形，则，，根据翻折的性质，可得，，则，；同理，，；进而根据，即可求解； （2）等积法求得，则，根据三角形的面积公式可得，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据即可求解． 【详解】（1）如图，连接、， 四边形为菱形， ，， 为等边三角形． 为中点， ，， ，． ， 为等腰直角三角形， ，， 翻折， ，， ，；. 同理， ，， ∴； （2）如图，连接、，延长交于点． ，，， ． ∵ ， ， ． ，则， ， ， ． ∵， ． 【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 49．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 【答案】（1）；（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4），见解析 【分析】（1）证明，得出，进而勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式； （2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解； （4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴，∴． ∵，点是的中点，∴． 在中，， ∴．∴． ∴关于的表达式为：． （2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称． 理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示．    （3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． （4）关于的函数表达式为； 当取任意实数时，有如下相关性质： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键． 50．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．    (1)若，，则的值为________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据，得，则，代入计算即可； （2）利用，得，再由，得，即可证明结论； （3）根据点P在上，可得，再由点G在上，可得，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴即； （3）解：若点在上，则， 由（2）得， ∴， ∵点从点到点运动， ∴， ∴， ∴即， 又∵是上一点， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 51．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上． (1)如图1，当四边形是正方形时，求证：； (2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形； (3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平行四边形，证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，根据角角边证明． （2）当，证得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形． （3）利用正方形的性质证得为平行四边形，过点作，垂足为点，交于点，由平行线分线段成比例，设，，，则可表示出，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴； （2）；证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，AB=BC=AD=CD， ∵AE=AH，CF=CG，AE=CF， ∴AH=CG， ∴， ∴EH=FG． ∵AE=CF， ∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF， ∴是等腰直角三角形， ∴∠BEF=∠BFE=45°， ∵AE=AH，CF=CG， ∴∠AEH=∠CFG=45°， ∴∠HEF=∠EFG=90°， ∴EH∥FG， ∴四边形EFGH是矩形． （3）∵四边形为正方形， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 过点作，垂足为点，交于点， ∴． ∵， 设，，，则， ∴． ∴． ∴当时，的面积最大， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用． 52．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3) 【分析】（1）证明即可得证． （2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可． （3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可． 【详解】（1）如图所示， 由题意可知，，， ， 由旋转性质知：AE=AF， 在和中， ， ， ． （2）当点E在BC上时， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 由（1）可得，， 在中，，， 则， 当点E在CD上时，如图， 过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H， 同（1）可得， ， 由勾股定理得； 故CF的长为或． （3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H， 由（1）知，， 故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小． 在与中， ， ， ， 即， ，， ， 在与中， ， ， ， 即， ， 故的最小值； 如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，， 由题意可知，， 在与中， ， ， ， 故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小； 由于，，， 故四边形DQRK是矩形； ， ， ， ， 故此时DF的最小值为； 由于，故DF的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用． 53．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点. (1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长； (2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)2 (2)图见详解 (3)直线BC与⊙F相切，理由见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求； （3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵DE∥AB， ∴， ∴， ∵AB=5，BD=9，DC=6， ∴， ∴； （2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求； 如图所示：点F即为所求， （3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下： 作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图， ∵∠DFA=∠A， ∴四边形ABRF是等腰梯形， ∴， ∵△FBC的面积等于， ∴， ∴CD⊥DF， ∵FD是⊙F的半径， ∴直线BC与⊙F相切． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键． 54．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算 ； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 设，则． ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 试卷第4页，共26页 90 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$