专题19直线与圆的位置关系及扇形圆锥（精选56题）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题19直线与圆的位置关系及扇形圆锥（精选56题） 一、单选题 1．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（    ） A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50° 2．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形 6．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．20 7．（2022·江苏无锡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A．12π B．15π C．20π D．24π 8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2023·江苏南京·中考真题）如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 11．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 12．（2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    13．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ． 14．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 15．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 16．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 17．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 18．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 19．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 20．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    21．（2023·江苏宿迁·中考真题）若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 22．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 ．（结果保留）    23．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      24．（2023·江苏泰州·中考真题）半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 ． 25．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．    26．（2023·江苏扬州·中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 27．（2022·江苏淮安·中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 28．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    29．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ． 30．（2022·江苏宿迁·中考真题）将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 31．（2024·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 32．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 三、解答题 33．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 34．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，．    (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 35．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 36．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．    从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 37．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．    (1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 38．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 39．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． (1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 40．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． (1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 41．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 42．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 43．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 44．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 45．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 46．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 47．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 48．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长． 49．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形 沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 50．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的半径． 51．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 52．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 53．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 54．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 55．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 56．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 试卷第4页，共26页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19直线与圆的位置关系及扇形圆锥 一、单选题 1．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（    ） A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50° 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、切线的性质定理 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OD∥AE， ∴AE⊥DE．故选项A、B都正确； ∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°， ∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确； ∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB， ∴DE=DF<OD，故选项C不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2．下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、判断命题真假 【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题； 正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题； 正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题； 根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题. 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型． 3．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、几何概率 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 4．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 5．圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图．熟练掌握圆锥的侧面展开图是扇形是解题的关键． 6．如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．20 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、根据矩形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积 【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，         ∵矩形内接于， ∴ ∴阴影部分的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A．12π B．15π C．20π D．24π 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， 以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=×2π×4×5 =20π． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、几何概率 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，， ∴阴影部分面积为：， ∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 9．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、求弓形面积 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 二、填空题 10．如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点O作于点M，解直角三角形即可得出结论． 【详解】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H， ， 是的切线， ， 多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点O作于点M， ， ， 的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 12．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值、正多边形和圆的综合 【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，    ∵正六边形对边互相平行，且内角为， ∴    过点作于， ∴ 设正六边形的边长为1，则，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 13．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P， 由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： ∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键． 14．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、求扇形面积、求圆锥底面半径 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 15．如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 16．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为 ； 故答案为：． 17．如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题、求弧长 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 【答案】 【知识点】求圆心角、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 19．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】5 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长． 根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    【答案】2 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r． 【详解】解：由题意得：母线长l为，， ， ∴， 故答案为：2． 21．若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 【答案】6 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了扇形的弧长的计算，设这个圆锥的母线长是 ，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的母线长是 ， 依题意得：圆锥的底面周长为：， 则展开后扇形的弧长为， 即：， 解得：， 这个圆锥的母线长是， 故答案为：6． 22．如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 ．（结果保留）    【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算． 【详解】解：由作图知∶垂直平分， 扇形的半径是2， 故答案为∶． 23．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 24．半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为的圆周长的五分之一即可． 【详解】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键． 25．如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．    【答案】 【知识点】求弧长、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴侧面展开图扇形的圆心角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥侧面展开图的相关知识是解题的关键． 26．用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，， 由扇形的面积：， 得： 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线． 27．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 28．如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、求圆锥底面半径、求弧长、利用平行四边形的性质求解 【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键． 29．如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】矩形性质理解、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解． 【详解】解： ∵矩形中， 由旋转可知， ∵， ∴ ∴线段AB扫过的面积 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键． 30．将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 【答案】2 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm， ∴这个圆锥底面圆的半径cm， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解． 31．已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，母线长为 ∴圆锥的侧面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解． 32．如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、相似三角形——动点问题 【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， 连接MN，则四边形ABNM是矩形， ∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4， 根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴ ∴ ∴ 当点E与点A重合时，则NF=， ∴BF=BN+NF=4+2=6， ∴AB=BF=6 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵BP⊥AF， ∴ 由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO， ∴∠PON=90°， 又 ∴， ∴， ∴的长为= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键． 三、解答题 33．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 34．如图，在中，．    (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求扇形面积、切线的性质定理、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，是的切线， ∴， ∴， 则， 解得：， 如图所示，设交于点，连接，    ∵， ∴是等边三角形， 如图所示，过点作于点，    ∴ ∴ 在中，, ∴, ∴，则， ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键． 35．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，   四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 36．（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．    从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2） 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、证明某直线是圆的切线、圆周角定理 【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下： 如图，连接，   ， ， 弦平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切； 二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下： 如图，连接，   ， ， 弦平分， ， ， ， 与相切， ， ； （2）如图，连接，   ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 由圆周角定理得：， 则阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 37．如图，已知，点M是上的一个定点．    (1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 38．如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)图中阴影部分的面积 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 39．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． (1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解； （2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下： 如图，连接OA， ∵， ∴∠D=∠DBC， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABD， ∵， ∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°， ∴∠BAD=120°， ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠ABD=30°， ∴∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是圆的半径， ∴直线AD与园O相切， （2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H， ∵OB=OC=6， ∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOC=120°， ∴， ∴， ∴， ∴扇形BOC的面积为， ∵， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 40．如图，在 中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． (1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论； （2）如图，连接OD，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可． 【详解】（1）证明： ∠ =45°，， 即 在上， 为的切线． （2）如图，连接OD， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键． 41．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 【答案】(1) (2)8或9秒 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求弧长 【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解； (2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：      当t=2.5时，BE=2.5， ∵EF=10， ∴OE=EF=5， ∴OB=2.5， ∴EB=OB， 在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB， ∴△MBE≌△MBO(SAS)， ∴ME=MO， ∴ME=EO=MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM=60°， ∴． （2）解：连接GO和HO，如下图所示：      ∵∠GOH=90°， ∴∠AOG+∠BOH=90°， ∵∠AOG+∠AGO=90°， ∴∠AGO=∠BOH， 在△AGO和△OBH中，， ∴△AGO≌△BOH(AAS)， ∴AG=OB=BE-EO=t-5， ∵AB=7， ∴AE=BE-AB=t-7， ∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2， ∴(t-5)2+(12-t)2=52， 解得：t1=8，t2=9， 即t的值为8或9秒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键． 42．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、求扇形面积 【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求； 【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求． 【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求； 【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法． 43．如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线、折叠问题 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论． 【详解】解：与相切． 证明：连接． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上， ∴． ∴． ∴． ∴由，得，即． ∴与相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键． 44．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 45．如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据等边对等角证明、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 46．如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理． （1）易证，得到，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ，即 ，D为AB中点， ， ∴ ． （2）解：过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． 为的直径， ． ． ，即的半径为． 47．如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 48．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图所示，    ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵过半径的外端点B， ∴与相切； （2）解：设，则， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 49．如图，将矩形 沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、矩形与折叠问题 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论； （2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接．    ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键． 50．如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、圆周角定理、等边对等角 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解． 【详解】（1）如图，连接．   为的切线， ． ， ． ， ． ， ． （2）如图，连接， ，， ． ， ，且， ， ，即， ， ，即半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键． 51．两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【答案】(1) (2)①符合，图见详解；②图见详解 【知识点】由平行判断成比例的线段、确定圆心(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； （2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可    由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：    【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键． 52．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、切线的性质定理、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴，      假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即      ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即    ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 53．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)6 【知识点】圆周角定理、判断直线和圆的位置关系、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 54．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．    （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 55．如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线； 方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线； （2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得； 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∵， ∴． ∵是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． 方法二：如图2，连接OC，BC．设． ∵AB是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴．   ∴． ∵， ∴． ∴． ∵AB是的直径， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． （2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H． 设的半径为r，则． 在Rt△OCF中，， 解之得． ∵， ∴．   ∵， ∴． ∴． ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得． ∵AB是的直径， ∴． ∵，D是的中点， ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 56．如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)相切，证明见详解 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论； （2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可． 【详解】（1）证明：连接OB，如图所示： ， ，， ， ， ，即， ， ， 为半径，经过点O， 直线与的位置关系是相切． （2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示： ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路． 试卷第4页，共26页 65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$