专题05 概率初步（考点串讲，3大考点+16大题型突破+3大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题05 概率初步 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 十六大题型典例剖析 三大易错易混经典例题 精选3道期末真题对应考点练 目 录 1 0 0 1 ​ 考点透视 考点1 事件类型的判定 1. [2023衡水模拟]下列事件中，属于确定性事件的是(　D　) ①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球； ③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1 000万大奖. D A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②③ 2. 下列事件中，属于不可能事件的是(　D　) A. 逛书店遇到同学 B. 射击一次，命中靶心 C. 掷一次骰子，向上一面点数大于0 D. 任意画一个三角形，其内角和是360° D 3. [2023江苏二模]下列说法正确的是(　A　) A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件 B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查 C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件 A 考点2 求事件的概率 4. 有4条线段，长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，6 cm，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是(　C　) A. B. C. D. C 5. 在一个不透明的口袋中，有3个红球、1个白球，它们除颜色不同外其他完全相同，现从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ⁠. 　 6. 从－2，1，3中随机取一个数记为 a ，再从－1，0，2中随机取一个数记为 b ，则使一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象不经过第四象限的概率是 ⁠. 　 7. 如图，点 A 在☉ O 上，∠ BAC ＝60°，以 A 为圆心， AB 长为半径的扇形 ABC 内接于☉ O . 某人向☉ O 区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形 ABC 内的概率为 ⁠. 　 8. [2023雅安中考]某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表. 请根据图表信息解答下列问题： (1)求 a ， b ， c 的值； 成绩/分 频数/人 频率 60≤ x ＜70 10 0.1 70≤ x ＜80 15 b 80≤ x ＜90 a 0.35 90≤ x ≤100 40 c 解：(1)统计人数为10÷0.1＝100(人)， b ＝15÷100＝0.15， a ＝0.35×100＝35， c ＝40÷100＝0.4，所以 a ＝35， b ＝0.15， c ＝0.4. (2)补全频数分布直方图； 请根据图表信息解答下列问题： 解：(2)由各组频数补全频数分布直方图如图. (3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率. 请根据图表信息解答下列问题： 解：(3)用树状图表示所有可能出现的结果如图： 共有6种等可能的结果，其中1男1女的有4种， 所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是 ＝ . 考点3 用频率估计概率 9. [2023唐山一模]一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4，5，6， x .甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表. 摸球总次数 30 60 90 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 13 24 30 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.43 0.40 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为10”出现的频率趋于稳定.请估计“和为10”出现的概率是 ；(保留1位小数) 0.3　 解：(2) x 的值不可以取8.理由：当 x ＝8时，列表如下： 4 5 6 8 4 9 10 12 5 9 11 13 6 10 11 14 8 12 13 14 由表易知当 x ＝8时，摸出的这2个小球上的数字之和为11的概率为 ＝ ≠ ，∴ x 的值不可以取8. x 的值为5(答案不唯一). (2)如果摸出的这2个小球上的数字之和为11的概率是 ，那么 x 的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果 x 的值不可以取8，请写出一个符合要求的 x 的值. 类型 1 利用概率判断摸球游戏的公平性 1. 一个不透明口袋中有三个小球，一个标有字母A，另外两个都标有字母B，除所标字母不同外，其他完全相同.小颖和小刚做摸球游戏，小颖从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小颖赢，所标字母不同则小刚赢. (1)用画树状图或列表的方法，求小颖赢的概率. 专项突破1　利用概率判断游戏规则的公平性 解：(1)画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球所标字母相同的结果有5种， 所以 P (小颖赢)＝ . (2)请问这个游戏规则对双方公平吗？说明理由. 解：(2)不公平.理由如下：∵ P (小颖赢)＝ ， ∴ P (小刚赢)＝1－ ＝ .∵ ≠ ， ∴这个游戏规则对双方不公平. 类型 2 利用概率判断转盘游戏的公平性 2. [2023邢台期中]如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，将指针指向扇形中的两个数字相加(当指针落在两扇形的交线上时，重新转动转盘). (1)用树状图列出所有可能出现的结果. 解：(1) 画树状图如图. 两个数字的和分别为2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，则共有12种等可能的结果. (2)若规定指针指向扇形中的两个数字的和为5时甲赢，和为4时乙赢，和为其他数字时，甲、乙平局.请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？ 解：(2)∵两个数字的和为5的结果有3种，两个数字的和为4的结果有3种， ∴两个数字的和为5的概率是 ＝ ，两个数字的和为4的概率是 ＝ . ∵ ＝ ，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的. 类型 3 利用概率判断抽卡片游戏的公平性 3. [2023昆明模拟]安安和桃桃两名同学玩抽卡游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2，4，4，5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀.安安和桃桃各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为2的倍数，则安安胜，否则桃桃胜. (1)请你用列表或画树状图的方法分析说明此游戏是否公平？ 解：(1)根据题意，列表如下. 2 4 4 5 2 4 6 6 7 4 6 8 8 9 4 6 8 8 9 5 7 9 9 10 共有16种等可能的情况，其中两张卡片数字之和为2的倍数的情况有10种. ∴ P (安安获胜)＝ ＝ .∴ P (桃桃获胜)＝1－ ＝ . ∵ ≠ ，∴此游戏不公平. (2)请你基于(1)中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则.(列出一种即可) 解：(2)在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2，4，4，5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字不放回.安安和桃桃各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为2的倍数，则安安胜，否则桃桃胜. 应用 1 概率在方程和不等式中的应用 1. 小强同学从－1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，所选的数满足不等式 x ＋1＜2的概率是(　C　) A. B. C. D. C 专项突破2　概率与其他知识的综合应用 2. [2024温州月考]若 a 是从“－1，0，1，2”这四个数中任取的一个数，则关于 x 的方程( a －1) x2＋ x －3＝0为一元二次方程的概率是(　A　) A A. B. C. D. 1 3. [2023成都模拟]从－3，－2，－1，0，1，2，3这7个数中任意选择一个数作为 a 的值，则使关于 y 的分式方程 ＋ ＝－1有非负整数解的概率为 　 . 点拨：解方程 ＋ ＝－1，得 y ＝ ＝ ＋1. ∵ y 为非负整数，∴ a ≥－2且 a 为偶数.∴ a ＝－2或0或2. 但当 a ＝2时， y ＝2，它是分式方程的增根，故 a ＝2不符合题意， ∴ a ＝－2或0. ∴使关于 y 的分式方程 ＋ ＝－1有非负整数解的概率为 . 　 应用 2 概率在函数中的应用 类型 1 不放回事件 4. [2023重庆八中月考]不透明的袋子里装有除标号外完全一样的三个小球，小球上分别标有－3，1，4这三个数字，从袋子中随机摸取一个小球，记标号为 m 后不放回，将小球摇匀后，再从袋子里剩下的小球中随机摸取一个小球，记标号为 n ，则 m ， n 使得二次函数 y ＝ mx2＋ n 的图象同时经过四个象限的概率为 ⁠. 　 点思路：从袋子中随机摸取一个小球，记标号为 m 后不放回，将小球摇匀后，再随机摸取一个小球，记标号为 n ，则共有6个数组，使得二次函数 y ＝ mx2＋ n 的图象同时经过四个象限的数组有(－3，1)，(－3，4)，(1，－3)，(4，－3)，共4个. 类型 2 放回事件 5. [2024湖州期末]有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，－2，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字 a 后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字 b .这样就得到一个点的坐标( a ， b ). (1)求这个点( a ， b )恰好在函数 y ＝－ x 的图象上的概率(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果). 解：(1)列表如下. b a 2 －2 3 2 (2，2) (2，－2) (2，3) －2 (－2，2) (－2，－2) (－2，3) 3 (3，2) (3，－2) (3，3) ∴共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种. ∴ P (点在函数 y ＝－ x 的图象上)＝ . (2)如果再往口袋中增加 n ( n ≥1)个标上数字2的小球，按照同样的操作过程，所得到的点( a ， b )恰好在函数 y ＝－ x 的图象上的概率是 (请用含 n 的代数式直接写出结果). 　 应用 3 概率在几何中的应用 6. 如图，已知正六边形 ABCDEF 内接于半径为 r 的☉ O ，随机地往☉ O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为(　A　) A. B. C. D. 以上答案都不对 A A 7. [2023保定二模]“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”.如图①是由七巧板组成的正方形，如图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部(阴影部分) 的概率是(　C　) A. B. C. D. C 类型 1 概率跨语文学科 1. 下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性最小的是(　A　) A. 刻舟求剑 B. 旭日东升 C. 夕阳西下 D. 瓜熟蒂落 A 专项突破3　概率中的跨学科试题 2. [2023赣州模拟]欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，那么油滴落入孔中的概率为 ⁠. 　 类型 2 概率跨英语学科 3. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B，乙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母C和D，丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I. 从三个口袋中各随机摸出1个小球，3个小球上恰好有1个元 音字母(本题中A，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母)的概率是(　C　) C A. B. C. D. 类型 3 概率跨物理学科 4. [2023太原模拟]如图所示，电路图上有3个开关S1，S2，S3 和2个小灯泡L1，L2，同时闭合开关S1，S2，S3可以使小灯泡L1，L2发光.对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是(　C　) C A. 闭合开关S1，S2，S3中的1个，灯泡L1发光是不可能事件 B. 闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L2发光是随机事件 C. 闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1发光是必然事件 D. 闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1，L2发光的概率相同 5. [2023成都模拟]在如图所示的电路图中，当随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ⁠. 　 类型 4 概率跨化学学科 6. [2024黔东南州月考]有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液.小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是 ⁠. 　 类型5概率跨地理学科 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票(如图)中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是(　C　) C A. B. C. D. 类型 6 概率跨体育学科 8. [2023德州二模]某学校男生体育测试从立定跳远、引体向上、100米跑、1 000米跑四个项目中随机抽取两项进行测试，恰好抽到立定跳远和100米跑的概率为 ⁠. 　 类型 7 概率跨生物学科 9. 人类的性别是由一对性染色体(X，Y)决定的，当性染色体为XX时，是女性；当性染色体为XY时，是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是 ⁠. 　 类型 8 概率跨音乐学科 10. [2023济南三模]“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6).现有一款“一起听古音”的音乐玩具，如图，音乐小球从 A 处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个小洞的可能性大小相等.现有一个音乐小球从 A 处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是(　D　) D A. B. C. D. 类型 9 概率跨美术学科 11. 素描是写实绘画的基础，常说的素描五大调子是指高光、中间色、明暗交界线、反光、投影.美术老师想从这五大调子中先选择两大调子让学生重点练习，则正好选中高光与中间色的概率为 ⁠. 　 类型 10 概率跨历史学科 12. 公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝.张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播.根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地. (1)南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ⁠. (2)若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率. 　 解：南南一家游览的顺序有西安，吐鲁番，喀什；西安，喀什，吐鲁番；喀什，吐鲁番，西安；喀什，西安，吐鲁番；吐鲁番，喀什，西安；吐鲁番，西安，喀什这6种等可能的结果，其中南南一家最后一站去喀什的结果有2种，所以南南一家最后一站去喀什的概率为 ＝ . 易混易错 C 1. [2023青岛期末]下列说法正确的有(　A　) (1)任意取两个整数，它们的和是整数是必然事件； (2)一副去掉大小王的普通扑克牌(52张，四种花色)洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花是随机事件； (3)不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的可能性大； A (4)任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 押题预测 2. [2024宿迁期末]如图，等边三角形 ABC 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ ABC 内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ⁠. 　 3. [2023·青岛二模 新考向·数学文化]圆周率π是无限不循环小数.历史上，中国数学家祖冲之、刘徽，外国数学家韦达、欧拉等都对π有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同. (1)从π的小数部分随机取出一个数字，该数字是偶数的概率为 ⁠； 　 (2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅.请用列表或画树状图的方法，求选中的画像正好是一中一外两位数学家的概率. 解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下. 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中画像正好是一中一外两位数学家的结果有8种，∴其中画像正好是一中一外两位数学家的概率为 ＝ . $$