圆锥曲线中的范围、最值、证明问题突破练-2025届高三数学二轮复习

专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

1.(2024·广西桂柳模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A,B,O分别为椭圆C的左、右顶点和坐标原点,点D为椭圆C上异于A,B的一动点,△DAB面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过椭圆C右焦点F的直线交椭圆C于M,N两点,直线l:x=4交x轴于点P,过M,N分别作直线l的垂线,交直线l于S,T两点,H为直线l上除点P的任一点.

①证明:=4S△MPS·S△NPT;

②设直线HM,HN,HF的斜率分别为k1,k2,k3,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(m,2)(m>0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求△PQG周长的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.设O是坐标原点,以F1,F2为焦点的椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)P是椭圆C外的一点,过P的直线l1,l2均与椭圆C相切,且l1,l2的斜率之积为m(-1≤m≤-),记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.

 

 

 

 

 

4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线交y轴正半轴于点A,交x轴负半轴于点B,与椭圆C的另一个交点为E,且PA=AB,点Q是点P关于x轴的对称点,直线QA与椭圆C的另一个交点为F.

①证明:直线AQ,AP的斜率之比为定值;

②求直线EF的斜率的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C为动点,设△ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,记点C的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)不过原点O的直线l与曲线E交于M,N,且直线y=-x经过MN的中点T,求△OMN的面积的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.(2023·新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.