【模型构建专题】 相似三角形中的基本图形结构-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年九年级下册数学配套课件（人教版）

RJ 数 学 9年级 下册 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第二十七章　相　似 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图1（“A”字型），若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；如图2，3（反“A”字型），若∠ADE=∠B，则△ADE∽△ABC. 图1　 图2 　图3 结构1　“A”字型及其变形 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.［2023·合肥庐阳区校级期中］如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝16，∠B＝∠DAC，则线段AC的长是( )  A.8 B.8 C.12 D.8 B 1 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.如图，点D在△ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF·AB.求证： (1)； (2)△AEF∽△ACD. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：(1)∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC，∴. (2)由AD2＝AF·AB，得. 由(1)得. ∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求的值.  解：(1)证明略. (2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴. ∵AD＝3，AB＝5，∴. 3 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图1（“8”字型），若BC∥DE，则△ABC∽△ADE；如图2（反“8”字型），若∠B=∠D或∠C=∠E，则△ABC∽△ADE. 图1　　 　图2 结构2　“8”字型及其变形 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.如图，下列条件不能判定△AOB和△DOC相似的是( )  A.∠B＝∠C B.∠A＝∠D C. D.OA·CD＝AB·OD D 4 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：  (1)△AOB∽△COE； (2)OB2＝OE·OF. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE. (2)由(1)知△AOB∽△COE，∴. ∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB， ∴， 即OB2＝OE·OF. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°. (1)求证：OA·OC＝OB·OD；  (2)若∠DAB＝55°，∠ABC＝65°，求的值. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DOA＝∠COB，∴△ADO∽△BCO， ∴，即OA·OC＝OB·OD. (2)∵∠ADB＝90°，∠DAB＝55°， ∴∠DBA＝35°. ∵∠ABC＝65°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝30°. ∵∠ACB＝90°，∴OC＝. 由(1)可知，∵∠DOC＝∠AOB， ∴△DOC∽△AOB，∴. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结构3　双垂直型 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，则△ABC∽△ADB∽△BDC. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.若AD＝2，BD＝6，则CD的长为　 .  2　 7 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAC＝∠BDA. 又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA， ∴，∠BAD＝∠C. ∵AD⊥BC，E为AC的中点，∴DE＝EC， ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C， ∴∠BDF＝∠BAD. 又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， ∴. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结构4　“一线三等角”型 　如图，若∠1=∠2=∠3，则△ACP∽△BPD. 同侧： -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 异侧： -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图，∠C＝∠D＝90°，且AB⊥BE，B为CD的中点.若CD＝6，DE＝2，则AC的长为　 　.  　4.5　 9 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.若点P恰好在边BC上，连接AP，则的值为  　.  10 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°.求证：AB·DE＝AD·DC.   11 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠DCE＝30°. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∠ADE＝∠ABD＝30°， ∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE， ∴，即AB·DE＝AD·DC. 11 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝∠ACD＝45°，DE∥BC交AC于点E，BC＝3.5，AE＝3，AD＝8，求AB的值. 12 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：∵∠BAD＝∠ACB＝∠ACD＝45°，DE∥BC， ∴∠CED＝∠ACB＝45°＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠BAC. 在AC上取一点F，使得∠CFB＝45°，连接BF. 易知BF＝BC＝3.5，∠AFB＝∠DEA， ∴△ABF∽△DAE， ∴. 12 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图1，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定角度得到图2. 图1　　　　 图2 　　 △ADE∽△ABC △ABD∽△ACE 结构5　旋转型 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.如图，在△ABC与△ADE中，点D在边BC上，∠1＝∠2＝∠3.若AB＝3，AD＝2，AC＝，则AE的长为  　.  13 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.如图，∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证： (1)△ADE∽△ABC； (2). 14 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC. ∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC. (2)由(1)知△ADE∽△ABC， ∴. ∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC， ∴. 14 -‹#›- 【模型构建专题】　相似三角形中的基本图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$