【方法技巧专题】 巧证比例式或等积式-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年九年级下册数学配套课件（人教版）

RJ 数 学 9年级 下册 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 第二十七章　相　似 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 　证比例式或等积式时，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段（详见前面微专题）；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换. -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 方法1　两边定形法(找相似三角形) 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：. 证明：易证△ABF∽△DCF，∴△AFD∽△CFB， ∴∠ACB＝∠ADE，∴△ABC∽△AED， ∴. 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 方法2　等线段代换法(找相等的线段) 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P为AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 证明：连接PC. ∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴AD所在的直线是△ABC的对称轴， ∴PC＝BP，∠PCE＝∠ABP. ∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP， ∴∠PFC＝∠PCE. 又∵∠FPC＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC， ∴，∴PC2＝PE·PF. ∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 方法3　等比代换法(找中间比) 3.［2023·合肥包河区期末］如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE＝∠ABC，∠EAC＝∠EDC，DE与AC交于点F.  (1)求证：； (2)连接BF，已知AB2＝AF·AC，求证：AD·BC＝AE·BF. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 证明：(1)易知∠E＝∠C. ∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC， ∴. (2)由AB2＝AF·AC，得. ∵∠BAC＝∠FAB， ∴△ABC∽△AFB，∴. 由(1)知， 即AD·BC＝AE·BF. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 方法4　等积代换法(找中间线段乘积) 4.如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP，垂足为点G，交CE于点D.求证：CE2＝PE·DE. 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CAE＝∠BCE， ∴Rt△ACE∽Rt△CBE， ∴，∴CE2＝AE·BE. ∵BG⊥AP，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DGP＝∠AEP＝90°. ∵∠PDG＝∠BDE，∴∠APE＝∠DBE， ∴△AEP∽△DEB，∴， ∴PE·DE＝AE·BE， ∴CE2＝PE·DE. 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　巧证比例式或等积式 1 2 3 4 $$