精品解析：四川省资中县第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级上期中检测卷 时间：120分钟 分值：160分 A卷（100分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的性质和运算法则，化简计算即可． 【详解】解：A. 与不属于同类项，无法合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可求解． 【详解】解：∵ ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 5. 已知一元二次方程的两根分别为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴ 故选：D． 6. 如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，与相似（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，与相似（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 7. 如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9. 已知是线段的一个黄金分割点，则为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点；根据黄金分割的意义进行求解即可得到答案. 【详解】解：是线段的一个黄金分割点 当是较长的线段时 ， 当当是较短的线段时 ， 故选：D． 10. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由设，代入计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴设 ∴ 故选：B． 11. 如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，、相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案． ①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°； ②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC； ③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF•DA； ④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC． 【详解】 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°. ∵BD=BC，CE=AC, ∴BD=EC. ∴△ABD≌△BCE. ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ABE+∠EBD=60°, ∴∠ABE+∠CBE=60°. ∵∠AFE是△ABF的外角, ∴∠AFE=60°. ∴①是对的； 如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形, ∴EM=CM=EC. ∵EC=CD, ∴EM=CM=DM. ∴∠CED=90°. ∴DE⊥AC， ∴②是对的； 由前面的推断知△BDF∽△ADB. ∴BD:AD=DF:DB. ∴BD2=DFDA. ∴CE2=DFDA. ∴③是对的； 在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角 ∴△AFE∽△BAE. ∴AFBE=AEAC. ∴④是正确的. 故答案选A. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和相似三角形与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质和相似三角形与全等三角形的判定与性质. 12. 如图，已知是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，的面积依次记为，则为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案． 【详解】∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1， 分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1， ∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2， ∴B1（1，2）， 同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4， 则B2（2，4）， B3（3，6）… ∵A1B1∥A2B2， ∴△A1B1P1∽△A2B2P1， ∴， ∴△A1B1P1与△A2B2P2对应高的比为1：2， ∴A1B1边上的高为：， ∴S△A1B1P1=， 同理可得出：S△A2B2P2=，S△A3B3P3=， ∴Sn=. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法计算，正确计算是解题的关键． 14. 如图，，，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．由可证，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为∶ 且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 16. 如图，路灯距离地面米，身高米的小明从距离灯的底部（点）米处的点处，沿所在直线行走米到点处，则人影长度变短了________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形在实际中的应用，根据人影在处是，在处是无论人在何处，，可以得到相似三角形，利用它们的对应边成比例，可以分别求出和． 【详解】解：由题意， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 设 ∴， ∴ ∴人影在处长米，在处米． ∴ 故答案为：． 三、解答题（共44分） 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程．掌握二次根式的混合运算法则和根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程是解题关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可化简，再将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 19. 已知关于的方程两个实数根的平方和等于11，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用；由题意设方程两根为，得，，然后再根据两实根的平方和等于，从而解出值． 【详解】解：设方程两根为， 得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或； ∵， 故答案为． 20. 如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求四边形的面积． 【答案】（1）证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ． （2）16 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可． （2）首先证明，再证明，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出的面积，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ，平行且等于， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键． 21. 如图，利用一面墙（墙长10米），用20米的篱笆围成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为米，矩形场地的面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并求出的取值范围； （2）当长是多少时，矩形场地面积最大，最大面积是多少平方米？ （3）若矩形场地的面积为48平方米，求矩形场地的长与宽． 【答案】（1） （2）当长是米时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米； （3）矩形的长为8米，宽为6米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，二次函数的应用； （1）由，可得出，由墙长10米，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （2）根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （3）根据矩形场地的面积，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ． 又墙长10米， ， ． ． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当长是米时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米； 【小问3详解】 当矩形场地的面积为48平方米时，， 解得：，， ∵ ∴ ． 答：矩形的长为8米，宽为6米． B卷（共60分） 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知a、b是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 23. 实数、、满足条件，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】延长至E，使，连接，，即得出为中位线，得出．根据含30度角的直角三角形的性质可知，结合勾股定理可求出，由旋转可知，当点M在线段上时，有最小值，此时也最小，最后再次结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接，． ∵的一条直角边在轴上，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴． ∵点是中点， ∴为中位线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵将以点为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以点O为圆心，半径为4的圆上运动，如图， ∴当点M在线段上时，有最小值，此时也最小． ∵， ∴， ∴，即线段的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，圆外一点到圆上一点的最值问题等知识．正确作出辅助线，理解当点M在线段上时，有最小值，此时也最小是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接， 设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 二、解答题（共36分） 26. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 27. 小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝＝2﹣， ∴a＝2﹣， ∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 【答案】（1） （2）①3；②﹣18 【解析】 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）各式变形后，将a的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： =（-1）+（-）+（-）+…+（-） =-1； 【小问2详解】 解：①∵a=+1， ∴a−1=， ∴(a−1)2=2， ∴a2−2a=1， ∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3； ②∵a2−2a=1， ∴3a3﹣12a2+9a﹣12 =3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12 =3a-6a2+9a-12 =-6（a2﹣2a）-12 =﹣18． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． 28. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F． （1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE； （2）若＝2，求的值； （3）若MN∥BE，求的值． 【答案】（1） 证明：∵F为BE的中点， ∴BF＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD ∴∠BMF＝∠ECF， ∵∠BFM＝∠EFC， ∴△BMF≌△ECF（AAS）， ∴BM＝CE， ∵点E为CD的中点， ∴CE＝CD， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴AM＝CE； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论； (2)利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得 ，求出AN的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC， ∴△BMF∽△ECF， ∴， ∵CE＝3， ∴BM＝， ∴AM＝， ∵CM⊥MN， ∴∠CMN＝90°， ∴∠AMN+∠BMC＝90°， ∵∠AMN+∠ANM＝90°， ∴∠ANM＝∠BMC， ∵∠A＝∠MBC， ∴△ANM∽△BMC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝， ∴； 【小问3详解】 ∵MN∥BE， ∴∠BFC＝∠CMN， ∴∠FBC+∠BCM＝90°， ∵∠BCM+∠BMC＝90°， ∴∠CBF＝∠CMB， ∴tan∠CBF＝tan∠CMB， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理得，， ∴， 解得：AN＝， ∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上期中检测卷 时间：120分钟 分值：160分 A卷（100分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知一元二次方程的两根分别为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是线段的一个黄金分割点，则为（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 11. 如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，、相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12. 如图，已知是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，的面积依次记为，则为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. ________． 14. 如图，，，则________． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 16. 如图，路灯距离地面米，身高米的小明从距离灯的底部（点）米处的点处，沿所在直线行走米到点处，则人影长度变短了________米． 三、解答题（共44分） 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知关于的方程两个实数根的平方和等于11，求的值． 20. 如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求四边形的面积． 21. 如图，利用一面墙（墙长10米），用20米的篱笆围成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为米，矩形场地的面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并求出的取值范围； （2）当长是多少时，矩形场地面积最大，最大面积是多少平方米？ （3）若矩形场地的面积为48平方米，求矩形场地的长与宽． B卷（共60分） 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知a、b是方程的两根，则___________． 23. 实数、、满足条件，则的值是________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是________ ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 二、解答题（共36分） 26. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 27. 小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝＝2﹣， ∴a＝2﹣， ∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 28. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F． （1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE； （2）若＝2，求的值； （3）若MN∥BE，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $