广西柳州高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024~2025学年度上学期2023级 (高二) 10月月考 数学试卷 (考试时间: 120分钟 试卷满分: 150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合A={1,2,3},B={x∈N|x2-4x-5≤0}, 若A⊙B={x|x∉A,x∈B}, 则A⊙B=( ) A. {0,4} B. {-1,4,5} C. {0,4,5} D. {-1,0,4,5} 2. 已知向量，满足 ，则 B. C. 2 D. 3. “a≤-2”是“函数f(x)= ax+3在区间[-1,2]上存在零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： ( )< A. 3.6米 B. 3.9米 C. 7.2米 D. 7.8米 5. 平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆. 已知圆C的圆心C在直线y=2x-4上, 半径为1，点A(0,3), 若圆C上存在点M， 使sin∠MOA=2sin∠MAO, 则圆心C的横坐标a的取值范围( ). A. 1≤a≤2 6. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频数约为总数的三成， 并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 若 则k的值为 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7、将函数y= sinx的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 得到函数y=f(x)的图象.若y=f(x)在 上的最大值为，则ω的取值个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设椭圆. 的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足 若 则E的离心率为 ( ) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 过圆 上一点P作圆. 的两条切线，切点分别为A，B，则( ) B. ∠APB=60° D. 直线AB 与圆 相交 10. 已知函数y=f(x)对任意实数x, y都满足 且f(1)=-1, 则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)是偶函数 B. f(0)=0 B. f(x)+f(1-x)=0 D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=-1 11. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对 看作一个向量，记 则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 ，规定如下运算法则： ①+=（ z₁+z3，z₂+z₄);②-=(z₁-z₃,z₂-z₄); ③=z1z₃+z2z₄;④||=.则下列结论正确的是( ) A. 若=(i,1+i)，=(2,2-i),则 B. 若 则=(0,0) 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A, B, O为坐标原点, 则 |MA|+|MB|的最小值为 . 13. 设P是以F为焦点的抛物线y2 =4x上的动点，Q 是圆 上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为 . 14. 已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器(容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且满足a(sinA-sinB)+b(sinB-sinC)=c(sinC-sinB) (1)求角C; (2)若b=4. c= , CD平分∠ACB交AB于点D, 求CD的长. 16. (本小题15分) 校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑) 考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1) 由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数； (2) 为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[70，90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自「70、80)和「80、90)的概率; (3) 现已知直方图中考核得分在[70，80)内的平均数为75，方差为6.25，在[80，90)内的平均数为85, 方差为0.5, 求得分在[70,90)内的平均数和方差. 17. (本小题15分）. 如图，PC是圆台O1O2的一条母线，△ABC是圆O2的内接三角形，AB为圆O2的直径， (1) 证明: AB⊥PC; (2) 若圆台O1O2的高为3, 体积为7π, 求直线AB 与平面PBC夹角的正弦值. 18. (本小题17分) 已知椭圆C的离心率为 为C的右焦点，过F₂的直线l交椭圆于 A，B两点，且A在x轴上方，O为坐标原点. (1) 求椭圆C的方程； (2) 若l⊥x轴, 求线段AB 的长; (3) 若将坐标平面沿x轴折成一个直二面角，求△ABF，面积的最大值. 19. (本小题17分) 设点A(x₀,y₀)在曲线C: xy=1上, B(x,y)在曲线C₁上, 且满足 (1) 求曲线C₁的方程; (2) 利用双曲线定义证明：方程 xy=1表示的曲线是焦点在直线y=x上的双曲线. 对勾函数 是我们最熟悉的函数之一，y轴和直线y=x是它的渐近线，其图象实质也是圆锥曲线中的双曲线. 对勾函数有如下性质： ①函数 的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形； ②若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴. (3) 请求出函数 对称轴l的方程，并利用适当的变换方法，求出函数 变换后所对应的双曲线标准方程. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024~2025学年度上学期2023级（高二)10月月考 数学试卷参考答案 5 6 7 8 9 10 11 A D B BC ACD BD 3.A 【详解】因为f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在两个零点， 所以了人-/包)s0,解得a≥3或a≤-号因为集合ala<-g是集合aa≤-或a2明的真子集， 所以“α≤-2”是“函数f(x)在[-1,2上存在零点的充分不必要条件. 4.C 【详解】设PD=x,x∈(0,15，tan∠APD=4D_12 PD x 12_5 1423 同理可得an∠BPD=,则am∠APB=tan(LAPD-∠BPD)=x,立 77W5 -2√6060 x 当且仅当x=60 ，即x=25时等号成立，· 5.D 【详解】在△MA0中，sin∠MOA=2sin∠MA0,即MA=2MO, 设M(x,y),则x2+(y-3=4(x2+y),化简得到x2++=4.圆心为E(0,-),半径R=2, 圆C和圆E要有交点，故2-1≤V2+(2a-4+1订s2+1,解得0≤a≤2 5 6.C 【详解1空间=子eg子+6共B号 5 即华品-3，则华-，得= 4 7.B 【详解】将函数)y=5血x的图象向右平移爱个单位长度，可得y=s如-司引的图象。 6 再将横坐标缩短为原来的o>0)得到函数y=)=smx-君)的图象， 0 1 当0-名行，即o22时，则号1，求得0=5， 当行0-名经即0<@<2时，由题意可得如0-引号， y=sin 作出函数7仔-哥)与y-的图象如图： 由图可知，此时函数y=s如仔-司)与y=若的图象在xQ2)上有唯一交 点，则m行引号有唯一解，综上，®的取值个数为2。 8.D 【详解】设A(m,n）,则B(-m,-n),F(c,0),则OA=(m,,F=(c-m-内，BF(c+m,, 因为不元，所以c-不-仔e-m到）， 所以c=0a+c-(+(3e-9}-(倍m） 因为AB.0C=0,AC.BF=0, B 所以 AF.8F=c2-m2-n2=0 -1用号e-e小尝0-6-e小理02-r+0-0 9c216c2 所以25+25 即9e-50e2+25=0,解得e-或e=5(舍去.所以e=5 9.BC 【详解】由题意，作图如下： 设圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的圆心为0，则0A=1,0P=2, 因为PA与圆x2+y2=1相切，所以OA⊥PA, 在RA0MP中，hP-bA+pPf=V5,易知∠AP0=30,所以 ∠PB=60°.又A=Br,所以AB=V5,故A错误，B、C正确. 故AB与OP交于点H,由PA,PB与圆x2+y2=1相切，则AB⊥OP, 由PM10A,则∠hP0=30,易知L0AB=30,在R△A0H中，O-40sin∠0AH= 2 又圆2+少=的半径为片，所以直线B与圆2+少=相切，故D错误 10.ACD 【详解1因为2财（生/（学）寸)+/0)， 令y=x=1,得2f()f(0)=2f(①，因为f)=-1,所以∫(0)=1，故B错误： 令y=-x,则2f(x)f(0)=∫(x)+∫(-x),即2f(x)=f(x)+f(-x), 所以∫(x)=f(-),且定义域为R,故f(冈是偶函数，故A正确： 令x=y=0,则2[r0+9,所以份-0， 令y=1-,则2付/2+1-=0，故c正确： 有f(x)=-f1-x)上=-f-1)则fx+2)=-f(x+)=f(x), 所以函数周期T=2,则f(2)=-∫0)=1， 所以f()+f(2)+八3)++八202的=101[()+(]+()=一，故D正确。 11.BD 【详解】对于A,万=+z4=2i+(+i)(2+i1+5i,故A错误； 对于B,若同=0，则名+322=+=0，∴3=名=0，a=(0,0),故B正确： 对于C,a万=z+z五，而万a=2名+z4石，不相等.故C错误： 对于D,设c=(名，)，则将ā=(3,2)，万=(3,2)代入可得： a6+c=店+云+z,+2=3石+z22+z石+z22%=a-6+ac,故D正确. 12.2W2 设M,%),则x号-疗=4，因为渐近线方程为y=土x, 所以∠A0B=子，所以四边形0AMB为施形， 所以由点到直线的距离公式得M色为，1MB卜色+」 所以1MMHM8,L=2,M4+MB22M4M网=25， 2 当且仅当M4HMB上2时等号成立. 13.4 【详解】抛物线的准线为x=-1,设点P到准线的距离为d,圆 心D(4,0),圆心到准线的距离为m,则m=5, 则PF+|P@2lPF+PDl-1=d+PD-12m-1=5-1=4, 则1PF|+|P2I的最小值为4. π 14.3 【详解】 由题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，AO为圆锥的高，O'为球心，D、O为切点， an∠oco,又∠ACB=2∠0c0,00=l 则0c= 00' an∠0co·tan2∠0c0'= 1 2 则AO=OC.tan∠ACB= 1-tan2∠0co' 所以圆锥的体积 1 2 2 1 ×1-tam∠0c0-3×am'∠0co'.1-tan'Z0co可 -x- 因为∠ACB<90°，∠0C0'<45°，所以tam∠0C0'<1,1-tan2∠0C0'>0, 又tam2∠0C0'+(1-tam2∠0C0)=1为定值， 所以当an2∠0c0'=1-tn'∠0c0,即an∠0co=2时， 2 8π y= 2π 圆锥的体积最小为一3 21-2 3，即圆锥容器容积的最小值为 3 15.【详解】 (I)aABC中，由正弦定理得a(a-b)+b(b-c)=c(c-b),整理a2+b2-c2=ab由余弦定理得 cosC=4'+b-c21 bC-2又Cs0,版c= (2)aABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC,21=a2+16-4a,a2-4a-5=0, 解得a=5或a=-(舍去)，4CD=BCD=若S=Sc+Sc, 4 22 22 9 16.()=0.030,85(2)(3)得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8 【详解】(1)由题意得：10×(0.01+0.015+0.020+1+0.025)=1，解得1=0.03， 设第60百分位数为x,则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x-80)=0.6, 解得x=85,第60百分位数为85 (2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有5×=2人，设为A、B,在[80,90)的 20 有5号-3人设为人。 则样本空间为2={(A,B),(A,a,(Ab),(A,c,(B,a,(B,b),(B,c),(a,b),(a,c,(b,c},n()=10. 设事件M=“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则 M={(A,a),(A,b),(A,c,(B,a,(B,b),(B,c},n(M=6, 因此PM)=n=6、3 m0亏，所以两人得分分别来自[70,80)和30,90)的概率为号 (3)由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40×10×0.02=8个， 落在区间[80,90)内的数据有40×10×0.03=12个. 记在区间[70,80)的数据分别为￥，x2,,x,平均分为x,方差为32： 在区间[80,90)的数据分别为为乃，乃2，…，2，平均分为歹，方差为S): 这20个数据的平均数为z,方差为s2. 由图意，=7=52-635-05，且-安之7启2，则 3-8+12互_8×75+12x85=81.根据方差的定义， 20 20 2%-,-j]2%-+-旷-2，-4-列] 品24那2-版2626y小0套6] 由24-到-2-x=2-外，-120， 可得动24-矿+2c-+-列+0-可 +8-+12+120-]-[2+G-]+引+-] -2[6.25+(75-8]+[05+(85-8]=26.8 17.【详解】(1)由题知，因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC, 又AB=4,AC=2W2,所以AB=√AB2-AC=22, 因为O,为AB的中点，所以OC⊥AB, 由圆台性质可知，O,O⊥平面ABC,且O,O,P,C四点共面， 因为ABc平面ABC,所以O,O2⊥AB,因为OO,O,C是平面O,OCP内的两条相交直线，所以 AB⊥平面O,OCP,因为PCc平面OOCP,所以AB⊥PC. （2)圆台Q0,的体积V=+2+2k3=7,其中7=P0, 解得5=1或1=-3（舍去）.由(1)知002，AB,0C两两垂直，分别以OB,OC,OO为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,13), 所以AB=(4,0,0),BP=(-2,1,3),BC=(-2,2,0). 设平面PBC的一个法向量为万=(x,y,z), :即=2x+y+20解得手是可取元=0,3D 则 元.BC=-2x+2y=0, 4×3 -3 设直线与平面P8C的夹角为0，则如0-孤誓，故所求正弦值为智 19 18.【详解】（①）由已知可得，c=5,￡=5：椭圆C为 =1. 42 x=2 (2)因为1Lx轴，则1方程为x=√2联立方程{x2y2 4+2 =1'可得少=1，解得y=却，所以 线段AB的长为A=2. (3)设椭圆翻折前的直线AB为x=y+√互， 将其与椭圆方程联立得（2+2少2+2W2y-2=0, B 6 段a为%+方=29两 2 t2+2 当坐标平面沿x轴折成一个直二面角后，以椭圆的中心O为坐标原点，分别以O和椭圆的下顶 点、右焦点和上顶点的连线为xy,z轴的正方向，建立空间直角坐标系 设4A0,x,y)B(-y2x,0以F0,V2,0,有FA=0,-2,以)EB=（y2,x2-V2,0) cos∠AFB= FA-FB F+%F+可 B=k-2+2=2+12F=-2+2=e+1 又：5s∠B<元，则m∠ARB=-eos∠ARB=2r打 t2+1 F4恤aa-t+小 22+1 =F+42+4 4m +}49 m=2r+121.fm)=4 6*26s ≤4。= 9 m+6+ 3 当且仅当m=3即t=土1时取到“=” 19.【详解】(1)由已知得xy=1,将 3 %-x4含代入%=1得C方程为x2一=1 (2)方程g=1上任意-点D二E(5,)F(5-5), eHm--r公可-e+r同j +宁-a到4++aw可+ 生同士片址 7 当x>0时，x+≥2， +经+女+上-士24=r 当x<0时，x+1≤-2， +生+女士+女24=r 根据双曲线的定义得，方程y=1的图象是焦点在直线y=x上的双曲线 (3)函数y=x+二的图象是圆锥曲线中的双曲线，且y轴和直线y=x是它的渐近线可知， 2 tan" ,得 8 am头+2m爱-1=0，解得如爱=-1，又受+号受，所以细号 8 8 所以对称轴1的方程为y=(N2+)x和y=(1-√2)x. ()法一：在转轴下，设坐标轴的旋转角为α，平面上任一点P在旧坐标 系xO与新坐标系xOy内的坐标分别为(x,)与(x,y), 作PM⊥Ox,PN⊥Ox',再设∠POx=0,则 x'=ONOPIcose,y'=NP-OPIsin0, x=OM OP]cos(a +0)OP|(cosa cose-sina sine'=x'cosa-y'sina, y=MP=OP|sin(a+)=OP|(sin acos0+cosasin)=x'sina+y'cosa 可知将坐标轴逆时针度转受，函数y=x+将变为双曲线标准方程， y=x'_ -y'_ 5+1 8 V4+2W2 4+25 由公式可得 =sm+yo 3π 8 y=x5+1 +1 V4+22 4+2迈 得到 y 22+222-21. 法二：考虑将函数)=+上展时针特受，可得双曲线标准方程， 任取C上一点（化，以，=reos0,y=rsn0,则点(co0s(0+经.rsn(0+》在y=x+上 0学0音，学-e宁o号 sim()co0(cos(0+ 529+学raw@r子1引97-o29+劳- 引5m0+-小-1→55oms20-=1→cas20-r] →[2cos20-si20-r]-1[2r2---y]=1 得、 22+222-21.