精品解析：河南省三门峡市灵宝市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

灵宝市2024-2025学年上期期中学情调研九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 3. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 6. 如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 7. 二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 10. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. B. 1.5 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把方程化成一元二次方程的一般形式是_______． 12. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 13. 是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则点到的切线长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（－5，2）（－2，－2）（5，－2），则点D的坐标为____________ 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． （1）若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 19. 已知二次函数． （1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标； （2）在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线怎样平移得到的？ （3）根据图象回答，x取何值时，？ 20. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，点、、的坐标分别为、、． （1）将绕点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出，并写出点、的坐标． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位得到，请在图中画出，并写出点、的坐标． 21. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 22. 如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接、，求证：点D是的外心． 23. 如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为（宽不大于长），面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时x的值； （3）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵宝市2024-2025学年上期期中学情调研九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：D． 3. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【详解】∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线的距离为9cm， 即圆心O到直线的距离大于圆的半径， ∴直线和⊙O相离， ∴直线与⊙O没有公共点． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则当直线和⊙O相交⇔d＜r；直线和⊙O相切⇔d=r；直线和⊙O相离⇔d＞r． 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选B． 7. 二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 8. 近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用小林2个月后总共需还18万元=小林借贷6万元月平均利率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得：． 故选：C． 9. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 10. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. B. 1.5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识．连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把方程化成一元二次方程的一般形式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为，本题中把从等号的右边移项到左边，即可得一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， 移项得：． 故答案为： ． 12. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题意常数项为0，可得m2－4=0，解出即可． 【详解】由题意得：m2－4=0 解得：m=±2 ∵为一元二次方程 ∴m－2≠0即m≠2 ∴m =﹣2 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，需要注意二次项系数a≠0． 13. 是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则点到的切线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先连接，根据切线的定义可知，因为，所以，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的切线， ， ， ，， ． 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（－5，2）（－2，－2）（5，－2），则点D的坐标为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，点D与点B关于原点对称，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得，点D是由点B旋转180°得到的， ∴点D与点B关于原点对称 又∵B的坐标为（－2，－2） ∴点D的坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，熟练掌握旋转的性质确定点D与点B关于原点对称是解题的关键． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90° ∴AC= ∴AB=AC， ∵y=x2-4x+6 =（x-2）2+2， ∴当x=2时，AC有最小值2， 即正方形的边长AB的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即； ， ； 【小问2详解】 解：， 整理得， ， ． 17. 已知关于x的方程． （1）若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）a＝1，方程的另一个根为﹣3 （2） ∵， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）将x=2代入方程得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论． 【小问1详解】 ∵x＝2是方程的解 ∴把x＝2代入方程得：4+2a-a﹣5＝0 解得a＝1 ∵ ∴ ∴ ∴a＝1，方程的另一个根为﹣3． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 18. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶ （1）设顶点式，然后把代入求出a的值即可； （2）根据抛物线解析式求得线段的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解∶设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：6． 19. 已知二次函数． （1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标； （2）在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线怎样平移得到的？ （3）根据图象回答，x取何值时，？ 【答案】（1）抛物线的开口方向向下、顶点坐标 （2） 描点连线，如图所示： ，向右平移1个单位，向上平移个单位即可 （3）当或时，，当或时，，当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式，画出二次函数图象是关键． （1）把二次函数化成顶点式即可求解； （2）列表，描点，连线即可画出二次函数的图象，进而即可得到平移方式； （3）线求出函数图象与x轴的交点坐标，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的开口方向向下、顶点坐标； 【小问2详解】 解：列表： 图略 向右平移1个单位，向上平移个单位即可得到：； 【小问3详解】 解：由得：， ∴当或时，，当或时，，当时，． 20. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，点、、的坐标分别为、、． （1）将绕点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出，并写出点、的坐标． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位得到，请在图中画出，并写出点、的坐标． 【答案】（1）如图： ； （2） 如图所示，即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转和平移． 按照要求分别画出点、、旋转后的对应点，然后再连接对应点得到的三角形即为所求； 按照要求分别画出点、、按照规定的方向和距离平移后的对应点，再连接对应点得到的三角形即为所求． 【小问1详解】 解：如下图所示， 作点绕点逆时针旋转后得到的点， 作点绕点逆时针旋转后得到的点， 点的对应点与点重合， 连接点、、，得到即为所求三角形， 点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 点的坐标为，点的坐标为； 21. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 22. 如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接、，求证：点D是的外心． 【答案】（1） 证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2） 证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3） 证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 23. 如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为（宽不大于长），面积为． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时x的值； （3）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，花圃围成的最大面积为 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，正确列出杉树解析式和方程是解答此题的关键． （1）根据为，BC就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式，根据墙的长度求出x的取值范围； （2）化为顶点式求解即可； （3）根据面积为列方程求解，然后求出x的取值范围即可求解． 【小问1详解】 根据题意，得， 即所求的函数解析式为：， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴是直线， ∴当时，花圃围成的最大面积为； 【小问3详解】 由题意得， ， 解得，． ∴， ∴， ∴符合题意， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $