精品解析：广东省佛山市顺德区北滘中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试卷

北滘中学2024—2025学年高一上学期11月月考 数学试卷　　 2024年11月 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出集合A，B各自表示的范围，再根据集合的运算求出A，B的交集即可. 【详解】由题意得，集合， 集合或， 所以根据集合的交集运算可得， 或， 故答案选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】， ， 所以时成立，但时，不一定成立， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由偶次根式被开方数非负以及分母不为零列式即可. 【详解】 定义域为 故选:D. 【点睛】考查函数的定义域，常用到偶次根式被开方数非负、分母不为零、零次幂底数不为零、真数大于零等知识. 4. 若，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】根据题意可得 当且仅当 即时，等号成立，此时最小值为3. 故选：B. 5. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上为减函数，故，即， 又在上为增函数，故，即，故. 故选：C. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，可判断出为偶函数，可排除选项C和D，再利用当时，，可排除选项B，即可求解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，所以选项C和D错误， 又当时，，所以当时，，所以选项B错误， 故选：A. 7. 若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案. 【详解】关于x的方程有两个不等的实数解， 即与的图象有两个交点，画出的图象如图， 由图象可得：. 故选：A. 8. 定义，如，且当时，有解，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得，求出在上的最大值即可求解. 【详解】由题意可得， 设，， 所以，， 令，则，， 所以， 若有解，则， 所以实数k的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：（1）若在上恒成立，只需. （2）若在上有解，只需. 二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 函数，且的图象过定点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断A；根据抽象函数定义域的求法判断B；利用基本不等式可判断C；根据指数型函数定点的求法判断D； 【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，故A对； 由函数的定义域是，则，解得， 所以函数的定义域为，故B对； ， 当且仅当即时，等号成立， 显然等号成立的条件不存在，故C错； ，函数，且的图象过定点，故D错; 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 函数是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A：因为且， 令，则，解得， 令，则， 令，，则，解得，故A正确； 对于B：令，可得， 即， 所以 ，故B正确； 对于C：令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，故C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再将题目转换为解一元二次不等式即可得解. 【详解】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：， 而是偶函数且它在上单调递增，所以在上单调递减， 即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 定义 若函数 则的最大值为__________；若在区间上的值域为，则的最大值为________ 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，解得或， 由,结合图象可知，若函数在区间上的值域为， 则最大值为， 故答案为：5，. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可； （2）通过讨论和即可求解. 【小问1详解】 集合，， ； 【小问2详解】 ，， ①当时，，， ②当时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为； 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示． （1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间； （2）求函数在上的解析式； （3）解不等式. 【答案】（1）；函数的单调增区间是，单调减区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间； （2）当时，，再根据当时，，可得．再根据函数为偶函数，可得，由此能求出函数的解析式． （3）因为，当时，，当时，；由函数图象读出解集即可； 【详解】解：（1）如图作函数图象. 函数的单调增区间是：，单调减区间是：． （2）因为时，， 若，则，， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，当时，. 综上：． （3）因为 当时，，即；当时，，即； 所以解集为：． 【点睛】本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题． 17. 已知定义在区间上的函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明． （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 在上单调递增， 证明如下：设， 则， 其中，所以，即， 故在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得即可 （2）由单调性定义证明即可. （3）结合奇函数的单调性即可求. 【小问1详解】 因为定义在区间上的函数为奇函数， 则，所以， ，定义域为关于原点对称，所以此时为奇函数， 故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，又为奇函数， 所以， 又在上单调递增，则，解得， 则解集为 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. 【小问1详解】 解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则, 即, 解得; 【小问2详解】 由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因为, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; 【小问3详解】 因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记, 当,时, 只需, 解得, 当,, 只需, 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北滘中学2024—2025学年高一上学期11月月考 数学试卷　　 2024年11月 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 5. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义，如，且当时，有解，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 函数，且的图象过定点 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______. 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为_________. 14. 定义 若函数 则的最大值为__________；若在区间上的值域为，则的最大值为________ 四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示． （1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间； （2）求函数在上的解析式； （3）解不等式. 17. 已知定义在区间上的函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明． （3）解关于的不等式． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $