内容正文:
第 1页,共 16页
包 33 中高三年级 10 月诊断性考试数学试题
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列叙述中正确的是( )
A. {0} ∈ �
B.若� ∈ � ∩ �,则� ∈ � ∪ �
C.已知� ∈ �,则“�2 < �2”是“� < � < 0”的充要条件
D.命题“∀� ∈ �, �2 > 0”的否定是“∃� ∈ �, �2 < 0”
2.设� > �,则下列不等式一定成立的是( )
A. 2� > 2� B. 1� <
1
� C. �
2 > �2 D. |�| > |�|
3.若不等式��2 + �� + � > 0 的解集是 � − 12 < � < 2 ,则��
2 + �� + � < 0 的解集是 ( )
A. � � <− 2,或� > 12 B. � � <−
1
2 ,或� > 2
C. � − 12 < � < 2 D. � −2 < � <
1
2
4.下列结论错误的有( )
A.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的定义域为[ − 1,1) ∪ (1, + ∞)
B.函数� = �(�), � ∈ [ − 1,1]的图象与�轴有且只有一个交点
C.“� > 1”是“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”的充要条件
D.若奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,则�(0) = 0
5.某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入.若该公司 2016 年全年投入的研发资金为
100 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过
200 万元的年份是(参考数据:��1.1 ≈ 0.041,��2 ≈ 0.301)
A. 2022 年 B. 2023 年 C. 2024 年 D. 2025 年
6.已知函数�(�) = �� + �,�(�) = ��� + �,ℎ(�) = ��� − 1 的零点依次为�,�,�,则( )
A. � < � < � B. � < � < � C. � < � < � D. � < � < �
7.若 cos � + �6 − sin� =
3 3
5 ,则 cos 2� −
�
3 =( )
A. 925 B. −
9
25 C. −
7
25 D.
7
25
8.函数� = 12 sin2� + sin
2�,� ∈ �的值域是( )
第 2页,共 16页
A. − 12 ,
3
2 B. −
2
2 +
1
2 ,
2
2 +
1
2
C. − 32 ,
1
2 D. −
2
2 −
1
2 ,
2
2 −
1
2
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.一半径为 4 米的水轮如图所示,水轮圆心�距离水面 2 米,已知水轮每 60 秒逆时针转动一圈,如果当水
轮上点�从水中浮现时(图中点�0)开始计时,则( )
A.点�第一次到达最高点需要 20 秒
B.当水轮转动 155 秒时,点�距离水面 2 米
C.当水轮转动 50 秒时,点�在水面下方,距离水面 2 米
D.点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为ℎ = 4sin �30 � +
�
6 + 2
10.已知数列{��}的首项为 4,且满足 2(� + 1)�� − ���+1 = 0(� ∈ �∗),则( )
A. { ��� }为等比数列
B. {��}为递增数列
C. {��}的前�项和�� = (� − 1) ⋅ 2�+1 + 4
D. { ��2�+1 }的前�项和�� =
�2+�
2
11.在▵ ���中,角�, �, �的对边分别是�, �, �,若�cos� + �sin� = �,� = 2 10, �2 + �2 − �2 = ��sin�,则
( )
A. tan� = 2 B. � = �3
C. � = 6 2 D. ▵ ���的面积为 12 2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.函数�(�) = (� + 1)ln �在点(1, �(1))处的切线方程为________.
13.若函数�(�) = log2024( �2 + 1 − �) + 1,则关于�的不等式�(2� − 1) + �(3�2) > 2 的解集是 .
第 3页,共 16页
14.已知函数�(�) =
1
3�
3 + 32�
2 + 2� + 2� − 1(� ≤ 0)
� + 3� − 6(� > 0)
,若函数� � 有四个不同的零点,则�的取值范围为
______
四、解答题:本题共 5 小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数�(�) = 2sin(�� + �)(� > 0,0 < � < �)在一个周期内的图象如图所示,将函数� � 的图象向左平
移
�
3个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数�(�)的图象.
(1)求�(�)的单调递增区间;
(2)在▵ ���中,若�(�) =− 3,�� = 2,�� = 5,求��.
16.(本小题 15 分)
在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,△ ���的面积为�,已知 4�tan� = �
2cos� + ��cosA.
(1)求角�;
(2)若� = 3,△ ���的周长为�,求��的最大值.
17.(本小题 15 分)
已知数列 �� 满足�1 = 1,��+1 =
�� + 1, �为奇数,
�� + 2, �为偶数.
(1)记�� = �2�,写出�1,�2,并求数列 �� 的通项公式.
(2)求 �� 的前 20 项和.
18.(本小题 17 分)
已知函数� � = 1 − �� ln 1 + � − �.
(1)当� =− 2 时,求� � 的极值;
(2)当� ≥ 0 时,� � ≥ 0,求�的取值范围.
19.(本小题 17 分)
第 4页,共 16页
已知函数�(�) = ln� − �.
(1)求函数�(�) = �(�) + 2� − 4ln� − 2�的单调区间和极值;
(2)若不等式�(�) ≤ (� − 1)� + 1 在(0, + ∞)上恒成立,求实数�的取值范围.
第 5页,共 16页
答案和解析
1.【答案】�
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的子集,交集,并集,充分条件,必要条件的判断,全称量词命题的否定,属于基础
题.
逐项判断即可得出结果.
【解答】
解:�.集合�中包括 0,故{0} ⊆ �,A 错误;
B.若� ∈ � ∩ �,说明集合�和�中均包括元素�,则� ∈ � ∪ �,故 B 正确;
C.取� = 1,� = 2,满足�2 < �2,但� > 0,� > 0,故 C 错误;
D.由全称量词命题的否定是存在量词命题,
则命题“∀� ∈ �,�2 > 0”的否定是“∃� ∈ �,�2⩽0”,故 D 错误.
2.【答案】�
【解析】【分析】
本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立,考查了指数函数的单调性,属于基础题.
利用特殊值法判断���选项,再由指数函数的单调性判断�选项.
【解答】
解:对�,�,�选项,当� = 1,� =− 2 时,
不等式 � > � ,1� <
1
�,�
2 > �2不成立,则�,�,D 错误;
对�选项,因为函数� = 2�在�上单调递增,� > �,所以2� > 2�,则 A 正确.
故选 A.
3.【答案】�
【解析】【分析】
此题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题.
根据已知不等式的解集确定出�,�,�的关系,代入所求不等式求出解集即可.
【解答】
解:由不等式��2 + �� + � > 0 的解集为− 12 < � < 2,
第 6页,共 16页
得� < 0,且− 12,2 是��
2 + �� + � = 0 的两个根,
则有− 12 + 2 =−
�
�,−
1
2 × 2 =
�
�,
即� =− 32 �, � =− �,
则不等式��2 + �� + � < 0 可转化为−��2 − 32 �� + � < 0,
即 2�2 + 3� − 2 < 0,
解得:−2 < � < 12,
则不等式��2 + �� + � < 0 的解集为{�| − 2 < � < 12 }.
故选:�.
4.【答案】�
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域、奇偶性和单调性、函数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于较易题.
A.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的�满足 � − 1 ≠ 0� + 1 ≥ 0,解得�范围即可判断出正误;
B.举反例即可判断出正误;
C.利用一次函数的单调性即可判断出正误;
D.奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,可得�( − 0) =− �(0),解得�(0) = 0.
【解答】
解:�.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的�满足: � − 1 ≠ 0� + 1 ≥ 0,
解得� ≥− 1,且� ≠ 1,因此函数�(�)的定义域为:[ − 1,1) ∪ (1, + ∞),故 A 正确;
B.函数� = �(�),� ∈ [ − 1,1]的图象与�轴有且只有一个交点错误,
如� � = �2 + 1, � ∈ −1,1 与�轴无交点,可知 B 错误;
C.� > 1 ⇔“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”,
因此“� > 1”是“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”的充要条件, C 正确;
D.奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,则�( − 0) =− �(0),因此�(0) = 0,D 正确.
故选 B.
5.【答案】�
【解析】【分析】
本题考查指数对数的综合应用,属基础题.
第 7页,共 16页
设经过�年后该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元,根据指数模型得出关于�的不等式,利用对数
函数的性质和对数的运算公式求得�的取值范围的近似估计,进而得解.
【解析】
解:设从 2016 年后,第�年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元,
由题意可得 100 × 1 + 10% � > 200,即1.1� > 2,
两边同时取对数可得� > lg2lg1.1 ≈
0.301
0.041 ≈ 7.3,
因为� ∈ �∗,所以� ≥ 8,
即该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2024.
故选 C.
6.【答案】�
【解析】【分析】
本题主要考查了函数零点与方程根的关系,属于基础题.
由题意可得�(�) = 0,�(�) = 0,ℎ(�) = 0,再根据指数函数和对数函数求解�,�,�的范围即可.
【解答】
解:由�(�) = �� + � = 0,得�� =− �,所以� < 0;
由�(�) = ln� + � = 0,得 ln� =− �,所以 0 < � < 1;
由ℎ(�) = ln� − 1,得 ln� = 1,所以� = � > 1.
故选 D.
7.【答案】�
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的和差公式,三角函数的二倍角公式,三角函数的辅助角公式和诱导公式,考查了
考生的理解,计算能力,属基础题.
利用 cos � + �6 − sin� =
3 3
5 可求得��� (� +
�
3 ) =
3
5,然后再利用二倍角公式和诱导公式即可再求出
cos (2� − �3 )的值.
【解答】
解:因为 cos � + �6 − sin� =
3 3
5 ,
则
3
2 ��� � −
3
2 ��� � =
3 3
5 ⇒ 3��� (� +
�
3 ) =
3 3
5 ,
所以��� (� + �3 ) =
3
5,
第 8页,共 16页
所以���(2� − �3 ) = ��� [� − 2(� +
�
3 )]
=− ��� [2(� +
�
3 )] =− 2���
2(� +
�
3 ) + 1
=− 2 × 35
2
+ 1 = 725.
故选 D.
8.【答案】�
【解析】【分析】
本题考查函数值域的概念及求法,二倍角的余弦公式,以及两角差的正弦公式,正弦函数的值域
根据二倍角的余弦公式及两角差的正弦公式即可将原函数变成� = 22 sin(2� −
�
4 ) +
1
2,根据−1 ≤ sin(2� −
�
4 ) ≤ 1 即可求出�的范围,即得出原函数的值域.
【解答】
解:� = 12 sin2� + sin
2� = 12 sin2� +
1−cos2�
2 =
2
2 (
2
2 sin2� −
2
2 cos2�) +
1
2 =
2
2 sin(2� −
�
4 ) +
1
2 ∵− 1 ≤
sin(2� − �4 ) ≤ 1;
∴−
2
2 +
1
2 ≤ � ≤
2
2 +
1
2 ;
∴原函数的值域为[ − 22 +
1
2 ,
2
2 +
1
2 ].
故选 B;
9.【答案】���
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
设点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为�(�) = ����(�� + �) + �(� > 0, � > 0, |�| < �2 )依题意
可知�(�)的最大值为 6,最小为−2,可得� + � = 6,−� + � =− 2,解得�,�. 60 = 2��,解得�.当� = 0 时,
�(�) = 0,得����求出�,可得所求的函数关系式为�(�).进而对各个选项依次判断即可.
【解答】
解:设点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为
�( �) = ����(� � + �) + �( � > 0, � > 0, |�| <
�
2 )
依题意可知�(�)的最大值为 6,最小为−2,
∴ � + � = 6,−� + � =− 2,解得� = 4,� = 2.
第 9页,共 16页
2�
� = 60,解得� =
�
30.
∴ �(�) = 4 sin( �30 � + �) + 2,
当� = 0 时,�(�) = 0,得���� =− 12,|�| <
�
2,� =−
�
6,
故所求的函数关系式为�(�) = 4 sin( �30 � −
�
6 ) + 2, D 错误,
令 4 sin( �30 � −
�
6 ) + 2 = 6,
可得:sin( �30 � −
�
6 ) = 1,
∴ �30 � −
�
6 =
�
2,解得� = 20.
点�第一次到达最高点要 20�时间.A 正确,
�(155) = �(35) = 4��� ( �30 × 35 −
�
6 ) + 2 = 2,B 正确;
�(50) = 4��� ( �30 × 50 −
�
6 ) + 2 =− 2,C 正确.
故选 ABC.
10.【答案】��
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系,求数列的通项公式以及前�项和,属于中档题.
由题意可得
2��
� −
��+1
�+1 = 0,即
��
� 为等比数列,可得�� = �·2
�+1,利用�� = �·2�+1逐项求解判断.
【解答】
解:由 2(� + 1)�� − ���+1 = 0 两边都除以�(� + 1),
可得
2��
� −
��+1
�+1 = 0,即
��+1
�+1 = 2 ×
��
�,又
�1
1 = 4,
所以
��
� 为等比数列,首项为 4,公比为 2,故 A 错误;
所以
��
� = 4 × 2
�−1 = 2�+1,解得�� = �·2�+1,
所以{��}为递增数列,故 B 正确;
{��}的前�项和�� = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 +⋯+ � − 1 × 2� + � × 2,�+1①
2�� = 1 × 23 + 2 × 24 + 3 × 25 +⋯+ � − 1 × 2�+1 + � × 2,�+2②
① −②得− �� = 1 × 22 + 23 + 24 +⋯+ 2�+1 − � × 2�+2
=
4 × 1− 2�
1− 2 − � × 2
�+2 = 1 − � ·2�+2 − 4,
第 10页,共 16页
所以�� = � − 1 ·2�+2 + 4,故 C 错误;
由�� = �·2�+1可得
��
2�+1 = �,
所以
��
2�+1 的前�项和�� =
1+� �
2 =
�2+�
2 ,故 D 正确;
故选 BD.
11.【答案】��
【解析】【分析】
本题主要考查三角形面积公式,利用正弦、余弦定理解三角形,属于中档题.
根据�2 + �2 − �2 = 2��cos� = ��sin�及余弦定理可判断�;根据�cos� + �sin� = �及正弦定理可判断�;由
tan�的值及三角函数的基本关系可求 cos�,sin�,根据正弦定理求出�,代入�2 + �2 − �2 = ��sin �求出�
可判断�;根据三角形面积公式可判断�.
【解答】
解:由余弦定理可得:�2 + �2 − �2 = 2��cos� = ��sin�,
解得:tan� = 2,故 A 正确;
由�cos� + �sin� = �及正弦定理,
可得:sin�cos� + sin�sin� = sin� = sin � + � ,
化简可得:sin�sin� = cos�sin�.
因为� ∈ 0, � ,所以 sin� > 0,所以 sin� = cos�,即 tan� = 1.
因为� ∈ 0, � ,所以� = �4,故 B 错误;
因为 tan� = 2,所以 cos� > 0 且 sin� = 2cos�,
代入���2� + ���2� = 1,可得:5���2� = 1,
解得:cos� = 55 ,sin� =
2 5
5 .
因为� = 2 10,� = �4,
所以由正弦定理可得:� = �sin�sin� =
2 10×2 55
2
2
= 8,
由�2 + �2 − �2 = ��sin�,可得:(2 10)2 + �2 − 82 = 2 10� × 2 55 ,
化简可得:�2 − 4 2� − 24 = 0,解得:� = 6 2或� =− 2 2(舍),故 C 正确;
�△��� =
1
2 ������ =
1
2 × 6 2 × 8 ×
2
2 = 24 ≠ 12 2,故 D 错误.
第 11页,共 16页
故选:��.
12.【答案】� = 2� − 2
【解析】【分析】
本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用,属于基础题.
由题意求导�′(�) = ��� + 1 + 1�,从而可知切线的斜率,从而写出切线方程.
【解答】
解:�′(�) = ��� + 1 + 1�;
故�′(1) = 0 + 1 + 1 = 2;�(1) = (1 + 1)��1 = 0,
故函数�(�) = (� + 1)���的图象在点(1,0)处的切线方程为:
� = 2(� − 1);
即� = 2� − 2;
故答案为:� = 2� − 2.
13.【答案】( − 1, 13 )
【解析】【分析】
本题考查判断或证明函数的奇偶性,利用函数的单调性解不等式,函数单调性、奇偶性的综合应用,解不
含参的一元二次不等式,对数函数的单调性与最值,属于中档题.
根据题意,令�(�) = �(�) − 1,分析可得�(�)为定义域在�上的奇函数,且在�上单调递减,根据奇偶性和
单调性可将不等式�(2� − 1) + �(3�2) > 2 等价于 2� − 1 <− 3�2,解不等式即可得到答案.
【解答】
解:令�(�) = �(�) − 1 = log2024( �2 + 1 − �)因为 �2 + 1 > �,即 �2 + 1 − � > 0,
可知函数�(�)的定义域为�,
且�(�) + �( − �) = log2024( �2 + 1 − �) + log2024( �2 + 1 + �) = log20241 = 0,
所以�(�)为�上的奇函数,
因为�(�) = log2024( �2 + 1 − �) = log2024
1
�2+1+�
,
且� = �2 + 1,� = �在[0, + ∞)内单调递增,
则� = �2 + 1 + �在[0, + ∞)内单调递增,可知� = 1
�2+1+�
在[0, + ∞)内单调递减,
又因为� = log2024�在定义域内单调递增,则�(�)在[0, + ∞)内单调递减,
第 12页,共 16页
由奇函数可知�(�)在( − ∞,0]内单调递减,所以�(�)在�上单调递减,
综上所述,�(�)为定义在�上奇函数,且在�上单调递减,
由�(2� − 1) + �(3�2) > 2,则�(2� − 1) − 1 +>− [�(3�2) − 1],
可得�(2� − 1) >− �(3�2) = �( − 3�2),则 2� − 1 <− 3�2,
解得:−1 < � < 13,所以不等式�(2� − 1) + �(3�
2) > 2 的解集是( − 1, 13 ).
故答案为:( − 1, 13 ).
14.【答案】( 56 ,
11
12 )
【解析】【解析】本题考察导数的运用以及函数的零点与方程根的关系
【解答】当�⩽0 时
�′(�) = �2 + 3� + 2 = (� + 1)(� + 2)令导数分别大于 0 小于 0 可解出
函数在( −∞, − 2)单增
在( − 2, − 1)单减
在( − 1,0)单增
因为一共有四个不同零点
当�⩽0 最多只能有三个,
故当�⩽0 有三个零点,当� > 0 有一个零点
故
{
�( − 2) > 0
�( − 1) < 0
�(0)⩾0
3� − 6 < 0
,解得
� > 56
� < 1112
�⩾ 12
� < 2
即
5
6 < � <
11
12.
故答案为( 56 ,
11
12 ).
15.【答案】解:(1)由函数� � 的图象,可得�2 =
5�
12 − −
�
12 =
�
2,即� = �,
所以� = 2�� = 2,
又由最高点是 − �12 , 2 ,所以( −
�
12 ) × 2 + � = 2�� +
�
2 , � ∈ �,即� =
2�
3 + 2��, � ∈ �,
因为 0 < � < �,当� = 0,可得� = 2�3,所以�(�) = 2sin 2� +
2�
3 ,
第 13页,共 16页
将� � 的图象向左平移�3个单位长度得到� = 2sin 2 � +
�
3 +
2�
3 = 2sin 2� +
4�
3 的图象,再将图象上所有
点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,
得到函数�(�) = 2sin � + 4�3 =− 2sin � +
�
3 的图象.
令 2�� + �2 ≤ � +
�
3 ≤ 2�� +
3�
2 , � ∈ �,所以 2�� +
�
6 ≤ � ≤ 2�� +
7�
6 , � ∈ �,
故�(�)的单调递增区间为 2�� + �6 , 2�� +
7�
6 , � ∈ �.
(2)因为�(�) = 2sin 2� + 2�3 =− 3,所以 sin 2� +
2�
3 =−
3
2 .
又因为� ∈ (0, �),所以 2� + 2�3 ∈
2�
3 ,
8�
3 ,所以 2� +
2�
3 =
4�
3或 2� +
2�
3 =
5�
3,
所以� = �3或� =
�
2,
当� = �3时,由余弦定理得��
2 = 22 + 52 − 2 × 2 × 5 × cos �3 = 19,所以�� = 19;
当� = �2时,由勾股定理,得��
2 = 22 + 52 = 29,所以�� = 29.
故边��的长为 19或 29.
【解析】本题考查由部分图象求三角函数解析式,正弦型函数的图象变换,利用余弦定理解三角形,属于
较难题.
(1)由函数� � 的图象,求得�(�) = 2sin 2� + 2�3 ,再由三角函数的图象变换,得到�(�) =− 2sin � +
�
3 ,
结合三角函数的性质,即可求解;
(2)因为�(�) =− 3,求得� = �3或� =
�
2,结合余弦定理和勾股定理,即可求解.
16.【答案】解:(1)因为 4�tan� = �
2cos� + ��cos�,所以
4×12��sin�cos�
sin� = �
2cos� + ��cos�,
即 2�cos� = �cos� + �cos�,
由正弦定理,得 2sin�cos� = sin�cos� + sin�cos� = sin(� + �),
因为� + � = � − �,所以 2sin�cos� = sin�,
因为� ∈ (0, �),所以 sin� ≠ 0,所以 cos� = 12,
又� ∈ (0, �),所以� = �3.
(2)由余弦定理,得�2 = �2 + �2 − 2��cos�,即 9 = �2 + �2 − ��,
所以 9 = (� + �)2 − 3��,即�� = 13 [(� + �)
2 − 9],
第 14页,共 16页
因为� = 12 ��sin� =
3
4 ��,� = � + � + 3,所以
�
� =
3��
4(�+�+3) =
3[(�+�)2−9]
12(�+�+3) ,
所以
�
� =
3
12 (� + � − 3),
又�� ≤ (�+�)
2
4 (当且仅当� = � = 3 时取等号),所以 9 = (� + �)
2 − 3�� ≥ (�+�)
2
4 (当且仅当� = � = 3 时取等
号),所以� + � ≤ 6(当且仅当� = � = 3 时取等号),
所以
�
� =
3
12 (� + � − 3) ≤
3
12 × (6 − 3) =
3
4 (当且仅当� = � = 3 时取等号),
即
�
�的最大值为
3
4 .
【解析】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力
和转化能力,属于中档题.
(1)根据△ ���的面积公式得
4×12��sin�cos�
sin� = �
2cos� + ��cos�,,再利用正弦定理的应用求出�的值;
(2)余弦定理求得�� = 13 [(� + �)
2 − 9],再利用基本不等式可求��的最大值.
17.【答案】解:(1)因为�1 = 1,��+1 =
�� + 1, �为奇数,
�� + 2, �为偶数.
所以�2 = �1 + 1 = 2,�3 = �2 + 2 = 4,�4 = �3 + 1 = 5,
所以�1 = �2 = 2,�2 = �4 = 5,
当� ≥ 2 时,�� − ��−1 = �2� − �2�−2 = �2� − �2�−1 + �2�−1 − �2�−2 = 1 + 2 = 3,
所以数列{��}是以�1 = 2 为首项,以 3 为公差的等差数列,
所以�� = 2 + 3(� − 1) = 3� − 1.
(2)由(1)可得�2� = 3� − 1,� ∈ �∗,
则�2�−1 = �2�−2 + 2 = 3(� − 1) − 1 + 2 = 3� − 2,� ≥ 2,
当� = 1 时,�1 = 1 也适合上式,
所以�2�−1 = 3� − 2,� ∈ �∗,
所以数列{��}的奇数项和偶数项分别为等差数列,
则{��}的前 20 项和为�1 + �2 + . . . + �20 = (�1 + �3 + … + �19) + (�2 + �4 + … + �20)
= 10 + 10×92 × 3+ 10 × 2 +
10×9
2 × 3 = 300.
【解析】本题主要考查数列的递推式,数列的求和,考查运算求解能力,属于中档题.
(1)由数列{��}的通项公式可求得�2,�3,�4,从而可得求得�1,�2,由�� − ��−1 = 3,� ≥ 2 可得数列{��}
第 15页,共 16页
是等差数列,从而可求得数列{��}的通项公式;
(2)由数列{��}的通项公式可得数列{��}的奇数项和偶数项分别为等差数列,求解即可.
18.【答案】解:(1)当� =− 2 时,�(�) = (1 + 2�)ln(1 + �) − �,
故�′(�) = 2ln(1 + �) + 1+2�1+� − 1 = 2ln(1 + �) −
1
1+�+ 1,
因为� = 2ln(1 + �), � =− 11+�+ 1 在 −1, + ∞ 上为增函数,
故�′(�)在 −1, + ∞ 上为增函数,而�′(0) = 0,
故当−1 < � < 0 时,�′(�) < 0,当� > 0 时,�′(�) > 0,
故� � 在� = 0 处取极小值且极小值为� 0 = 0,无极大值.
(2)�′ � =− �ln 1 + � + 1−��1+� − 1 =− �ln 1 + � −
�+1 �
1+� , � > 0,
设� � =− �ln 1 + � − �+1 �1+� , � > 0,
则�′ � = −��+1 −
�+1
1+� 2 =−
� �+1 +�+1
1+� 2 =−
��+2�+1
1+� 2 ,
当� ≤− 12时,�′ � > 0,故� � 在 0, + ∞ 上为增函数,
故� � > � 0 = 0,即�′ � > 0,
所以� � 在 0, + ∞ 上为增函数,故� � ≥ � 0 = 0.
当− 12 < � < 0 时,当 0 < � <−
2�+1
� 时,�′ � < 0,
故� � 在 0, − 2�+1� 上为减函数,故在 0, −
2�+1
� 上� � < � 0 ,
即在 0, − 2�+1� 上�′ � < 0 即� � 为减函数,
故在 0, − 2�+1� 上� � < � 0 = 0,不合题意,舍.
当� ≥ 0,此时�′ � < 0 在 0, + ∞ 上恒成立,
同理可得在 0, + ∞ 上� � < � 0 = 0 恒成立,不合题意,舍;
综上,� ≤− 12.
【解析】本题考查了导数的应用求函数极值以及用导数证明恒成立,属于中档题;
(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
第 16页,共 16页
(2)求出函数的二阶导数,就� ≤− 12、−
1
2 < � < 0、� ≥ 0 分类讨论后可得参数的取值范围.
19.【答案】解:(1)
�(�) = �(�) + 2� − 4ln� − 2� = � − 3ln� −
2
�,
该函数的 定义域为(0, + ∞),
则�′(�) = 1 − 3�+
2
�2 =
�2−3�+2
�2 =
(�−1)(�−2)
�2 ,列表如下:
� (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ∞)
�′(�) + 0 − 0 +
�(�) 增 极大值 减 极小值 增
所以,函数�(�)的增区间为(0,1)和(2, + ∞),减区间为(1,2),
函数�(�)的极大值为�(1) = 1 − 3ln1 − 2 =− 1,极小值为�(2) = 2 − 3ln2 − 1 = 1 − 3ln2.
(2)
当� > 0 时,由�(�) = ln� − � ≤ (� − 1)� + 1 可得� ≥ ln�−1� ,
令ℎ(�) = ln�−1� ,其中� > 0,则ℎ′ � =
1
�⋅�− ln�−1
�2 =
2−ln�
�2 ,
由ℎ′(�) > 0 可得 0 < � < �2,由ℎ′(�) < 0 可得� > �2,
所以,函数ℎ(�)的增区间为 0, �2 ,减区间为 �2, + ∞ ,
所以,ℎ(�)max = ℎ �2 =
ln�2−1
�2 =
1
�2,
所以,� ≥ ℎ(�)max =
1
�2,故实数�的取值范围是
1
�2 , + ∞ .
【解析】(1)利用导数分析函数�(�)的单调性,可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值;
(2)结合参变量分离法可得� ≥ ln�−1� ,令ℎ(�) =
ln�−1
� ,利用导数求出函数ℎ(�)的最大值,即可得出实数�的
取值范围.