内蒙古包头市第三十三中学2024-2025学年高三上学期十月月考数学试卷

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2024-11-21
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第 1页,共 16页 包 33 中高三年级 10 月诊断性考试数学试题 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列叙述中正确的是( ) A. {0} ∈ � B.若� ∈ � ∩ �,则� ∈ � ∪ � C.已知� ∈ �,则“�2 < �2”是“� < � < 0”的充要条件 D.命题“∀� ∈ �, �2 > 0”的否定是“∃� ∈ �, �2 < 0” 2.设� > �,则下列不等式一定成立的是( ) A. 2� > 2� B. 1� < 1 � C. � 2 > �2 D. |�| > |�| 3.若不等式��2 + �� + � > 0 的解集是 � − 12 < � < 2 ,则�� 2 + �� + � < 0 的解集是 ( ) A. � � <− 2,或� > 12 B. � � <− 1 2 ,或� > 2 C. � − 12 < � < 2 D. � −2 < � < 1 2 4.下列结论错误的有( ) A.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的定义域为[ − 1,1) ∪ (1, + ∞) B.函数� = �(�), � ∈ [ − 1,1]的图象与�轴有且只有一个交点 C.“� > 1”是“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”的充要条件 D.若奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,则�(0) = 0 5.某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入.若该公司 2016 年全年投入的研发资金为 100 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据:��1.1 ≈ 0.041,��2 ≈ 0.301) A. 2022 年 B. 2023 年 C. 2024 年 D. 2025 年 6.已知函数�(�) = �� + �,�(�) = ��� + �,ℎ(�) = ��� − 1 的零点依次为�,�,�,则( ) A. � < � < � B. � < � < � C. � < � < � D. � < � < � 7.若 cos � + �6 − sin� = 3 3 5 ,则 cos 2� − � 3 =( ) A. 925 B. − 9 25 C. − 7 25 D. 7 25 8.函数� = 12 sin2� + sin 2�,� ∈ �的值域是( ) 第 2页,共 16页 A. − 12 , 3 2 B. − 2 2 + 1 2 , 2 2 + 1 2 C. − 32 , 1 2 D. − 2 2 − 1 2 , 2 2 − 1 2 二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.一半径为 4 米的水轮如图所示,水轮圆心�距离水面 2 米,已知水轮每 60 秒逆时针转动一圈,如果当水 轮上点�从水中浮现时(图中点�0)开始计时,则( ) A.点�第一次到达最高点需要 20 秒 B.当水轮转动 155 秒时,点�距离水面 2 米 C.当水轮转动 50 秒时,点�在水面下方,距离水面 2 米 D.点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为ℎ = 4sin �30 � + � 6 + 2 10.已知数列{��}的首项为 4,且满足 2(� + 1)�� − ���+1 = 0(� ∈ �∗),则( ) A. { ��� }为等比数列 B. {��}为递增数列 C. {��}的前�项和�� = (� − 1) ⋅ 2�+1 + 4 D. { ��2�+1 }的前�项和�� = �2+� 2 11.在▵ ���中,角�, �, �的对边分别是�, �, �,若�cos� + �sin� = �,� = 2 10, �2 + �2 − �2 = ��sin�,则 ( ) A. tan� = 2 B. � = �3 C. � = 6 2 D. ▵ ���的面积为 12 2 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12.函数�(�) = (� + 1)ln �在点(1, �(1))处的切线方程为________. 13.若函数�(�) = log2024( �2 + 1 − �) + 1,则关于�的不等式�(2� − 1) + �(3�2) > 2 的解集是 . 第 3页,共 16页 14.已知函数�(�) = 1 3� 3 + 32� 2 + 2� + 2� − 1(� ≤ 0) � + 3� − 6(� > 0) ,若函数� � 有四个不同的零点,则�的取值范围为 ______ 四、解答题:本题共 5 小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题 12 分) 已知函数�(�) = 2sin(�� + �)(� > 0,0 < � < �)在一个周期内的图象如图所示,将函数� � 的图象向左平 移 � 3个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数�(�)的图象. (1)求�(�)的单调递增区间; (2)在▵ ���中,若�(�) =− 3,�� = 2,�� = 5,求��. 16.(本小题 15 分) 在△ ���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,△ ���的面积为�,已知 4�tan� = � 2cos� + ��cosA. (1)求角�; (2)若� = 3,△ ���的周长为�,求��的最大值. 17.(本小题 15 分) 已知数列 �� 满足�1 = 1,��+1 = �� + 1,  �为奇数, �� + 2,  �为偶数. (1)记�� = �2�,写出�1,�2,并求数列 �� 的通项公式. (2)求 �� 的前 20 项和. 18.(本小题 17 分) 已知函数� � = 1 − �� ln 1 + � − �. (1)当� =− 2 时,求� � 的极值; (2)当� ≥ 0 时,� � ≥ 0,求�的取值范围. 19.(本小题 17 分) 第 4页,共 16页 已知函数�(�) = ln� − �. (1)求函数�(�) = �(�) + 2� − 4ln� − 2�的单调区间和极值; (2)若不等式�(�) ≤ (� − 1)� + 1 在(0, + ∞)上恒成立,求实数�的取值范围. 第 5页,共 16页 答案和解析 1.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查了集合的子集,交集,并集,充分条件,必要条件的判断,全称量词命题的否定,属于基础 题. 逐项判断即可得出结果. 【解答】 解:�.集合�中包括 0,故{0} ⊆ �,A 错误; B.若� ∈ � ∩ �,说明集合�和�中均包括元素�,则� ∈ � ∪ �,故 B 正确; C.取� = 1,� = 2,满足�2 < �2,但� > 0,� > 0,故 C 错误; D.由全称量词命题的否定是存在量词命题, 则命题“∀� ∈ �,�2 > 0”的否定是“∃� ∈ �,�2⩽0”,故 D 错误. 2.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立,考查了指数函数的单调性,属于基础题. 利用特殊值法判断���选项,再由指数函数的单调性判断�选项. 【解答】 解:对�,�,�选项,当� = 1,� =− 2 时, 不等式 � > � ,1� < 1 �,� 2 > �2不成立,则�,�,D 错误; 对�选项,因为函数� = 2�在�上单调递增,� > �,所以2� > 2�,则 A 正确. 故选 A. 3.【答案】� 【解析】【分析】 此题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 根据已知不等式的解集确定出�,�,�的关系,代入所求不等式求出解集即可. 【解答】 解:由不等式��2 + �� + � > 0 的解集为− 12 < � < 2, 第 6页,共 16页 得� < 0,且− 12,2 是�� 2 + �� + � = 0 的两个根, 则有− 12 + 2 =− � �,− 1 2 × 2 = � �, 即� =− 32 �, � =− �, 则不等式��2 + �� + � < 0 可转化为−��2 − 32 �� + � < 0, 即 2�2 + 3� − 2 < 0, 解得:−2 < � < 12, 则不等式��2 + �� + � < 0 的解集为{�| − 2 < � < 12 }. 故选:�. 4.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查了函数的定义域、奇偶性和单调性、函数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于较易题. A.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的�满足 � − 1 ≠ 0� + 1 ≥ 0,解得�范围即可判断出正误; B.举反例即可判断出正误; C.利用一次函数的单调性即可判断出正误; D.奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,可得�( − 0) =− �(0),解得�(0) = 0. 【解答】 解:�.函数�(�) = (� − 1)0 + � + 1的�满足: � − 1 ≠ 0� + 1 ≥ 0, 解得� ≥− 1,且� ≠ 1,因此函数�(�)的定义域为:[ − 1,1) ∪ (1, + ∞),故 A 正确; B.函数� = �(�),� ∈ [ − 1,1]的图象与�轴有且只有一个交点错误, 如� � = �2 + 1, � ∈ −1,1 与�轴无交点,可知 B 错误; C.� > 1 ⇔“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”, 因此“� > 1”是“函数�(�) = (� − 1)� + �(� ∈ �)为增函数”的充要条件, C 正确; D.奇函数� = �(�)在� = 0 处有定义,则�( − 0) =− �(0),因此�(0) = 0,D 正确. 故选 B. 5.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查指数对数的综合应用,属基础题. 第 7页,共 16页 设经过�年后该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元,根据指数模型得出关于�的不等式,利用对数 函数的性质和对数的运算公式求得�的取值范围的近似估计,进而得解. 【解析】 解:设从 2016 年后,第�年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元, 由题意可得 100 × 1 + 10% � > 200,即1.1� > 2, 两边同时取对数可得� > lg2lg1.1 ≈ 0.301 0.041 ≈ 7.3, 因为� ∈ �∗,所以� ≥ 8, 即该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2024. 故选 C. 6.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查了函数零点与方程根的关系,属于基础题. 由题意可得�(�) = 0,�(�) = 0,ℎ(�) = 0,再根据指数函数和对数函数求解�,�,�的范围即可. 【解答】 解:由�(�) = �� + � = 0,得�� =− �,所以� < 0; 由�(�) = ln� + � = 0,得 ln� =− �,所以 0 < � < 1; 由ℎ(�) = ln� − 1,得 ln� = 1,所以� = � > 1. 故选 D. 7.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的和差公式,三角函数的二倍角公式,三角函数的辅助角公式和诱导公式,考查了 考生的理解,计算能力,属基础题. 利用 cos � + �6 − sin� = 3 3 5 可求得���  (� + � 3 ) = 3 5,然后再利用二倍角公式和诱导公式即可再求出 cos (2� − �3 )的值. 【解答】 解:因为 cos � + �6 − sin� = 3 3 5 , 则 3 2 ���  � − 3 2 ���  � = 3 3 5 ⇒ 3���  (� + � 3 ) = 3 3 5 , 所以���  (� + �3 ) = 3 5, 第 8页,共 16页 所以���(2� − �3 ) = ���  [� − 2(� + � 3 )] =− ���  [2(� + � 3 )] =− 2��� 2(� + � 3 ) + 1 =− 2 × 35 2 + 1 = 725. 故选 D. 8.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查函数值域的概念及求法,二倍角的余弦公式,以及两角差的正弦公式,正弦函数的值域 根据二倍角的余弦公式及两角差的正弦公式即可将原函数变成� = 22 sin(2� − � 4 ) + 1 2,根据−1 ≤ sin(2� − � 4 ) ≤ 1 即可求出�的范围,即得出原函数的值域. 【解答】 解:� = 12 sin2� + sin 2� = 12 sin2� + 1−cos2� 2 = 2 2 ( 2 2 sin2� − 2 2 cos2�) + 1 2 = 2 2 sin(2� − � 4 ) + 1 2 ∵− 1 ≤ sin(2� − �4 ) ≤ 1; ∴− 2 2 + 1 2 ≤ � ≤ 2 2 + 1 2 ; ∴原函数的值域为[ − 22 + 1 2 , 2 2 + 1 2 ]. 故选 B; 9.【答案】��� 【解析】【分析】 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 设点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为�(�) = ����(�� + �) + �(� > 0, � > 0, |�| < �2 )依题意 可知�(�)的最大值为 6,最小为−2,可得� + � = 6,−� + � =− 2,解得�,�. 60 = 2��,解得�.当� = 0 时, �(�) = 0,得����求出�,可得所求的函数关系式为�(�).进而对各个选项依次判断即可. 【解答】 解:设点�距离水面的高度ℎ(米)与�(秒)的函数解析式为 �( �) =  ����(� � + �) +  �( � > 0, � > 0, |�| < � 2 ) 依题意可知�(�)的最大值为 6,最小为−2, ∴ � + � = 6,−� + � =− 2,解得� = 4,� = 2. 第 9页,共 16页 2� � = 60,解得� = � 30. ∴ �(�) = 4 sin( �30 � + �) + 2, 当� = 0 时,�(�) = 0,得���� =− 12,|�| < � 2,� =− � 6, 故所求的函数关系式为�(�) = 4 sin( �30 � − � 6 ) + 2, D 错误, 令 4 sin( �30 � − � 6 ) + 2  = 6, 可得:sin( �30 � − � 6 ) = 1, ∴ �30 � − � 6 = � 2,解得� = 20. 点�第一次到达最高点要 20�时间.A 正确, �(155) = �(35) = 4���  ( �30 × 35 − � 6 ) + 2 = 2,B 正确; �(50) = 4���  ( �30 × 50 − � 6 ) + 2 =− 2,C 正确. 故选 ABC. 10.【答案】�� 【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系,求数列的通项公式以及前�项和,属于中档题. 由题意可得 2�� � − ��+1 �+1 = 0,即 �� � 为等比数列,可得�� = �·2 �+1,利用�� = �·2�+1逐项求解判断. 【解答】 解:由 2(� + 1)�� − ���+1 = 0 两边都除以�(� + 1), 可得 2�� � − ��+1 �+1 = 0,即 ��+1 �+1 = 2 × �� �,又 �1 1 = 4, 所以 �� � 为等比数列,首项为 4,公比为 2,故 A 错误; 所以 �� � = 4 × 2 �−1 = 2�+1,解得�� = �·2�+1, 所以{��}为递增数列,故 B 正确; {��}的前�项和�� = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 +⋯+ � − 1 × 2� + � × 2,�+1① 2�� = 1 × 23 + 2 × 24 + 3 × 25 +⋯+ � − 1 × 2�+1 + � × 2,�+2②   ① −②得− �� = 1 × 22 + 23 + 24 +⋯+ 2�+1 − � × 2�+2 = 4 × 1− 2� 1− 2 − � × 2 �+2 = 1 − � ·2�+2 − 4, 第 10页,共 16页 所以�� = � − 1 ·2�+2 + 4,故 C 错误; 由�� = �·2�+1可得 �� 2�+1 = �, 所以 �� 2�+1 的前�项和�� = 1+� � 2 = �2+� 2 ,故 D 正确; 故选 BD. 11.【答案】�� 【解析】【分析】 本题主要考查三角形面积公式,利用正弦、余弦定理解三角形,属于中档题. 根据�2 + �2 − �2 = 2��cos� = ��sin�及余弦定理可判断�;根据�cos� + �sin� = �及正弦定理可判断�;由 tan�的值及三角函数的基本关系可求 cos�,sin�,根据正弦定理求出�,代入�2 + �2 − �2 = ��sin �求出� 可判断�;根据三角形面积公式可判断�. 【解答】 解:由余弦定理可得:�2 + �2 − �2 = 2��cos� = ��sin�, 解得:tan� = 2,故 A 正确; 由�cos� + �sin� = �及正弦定理, 可得:sin�cos� + sin�sin� = sin� = sin � + � , 化简可得:sin�sin� = cos�sin�. 因为� ∈ 0, � ,所以 sin� > 0,所以 sin� = cos�,即 tan� = 1. 因为� ∈ 0, � ,所以� = �4,故 B 错误; 因为 tan� = 2,所以 cos� > 0 且 sin� = 2cos�, 代入���2� + ���2� = 1,可得:5���2� = 1, 解得:cos� = 55 ,sin� = 2 5 5 . 因为� = 2 10,� = �4, 所以由正弦定理可得:� = �sin�sin� = 2 10×2 55 2 2 = 8, 由�2 + �2 − �2 = ��sin�,可得:(2 10)2 + �2 − 82 = 2 10� × 2 55 , 化简可得:�2 − 4 2� − 24 = 0,解得:� = 6 2或� =− 2 2(舍),故 C 正确; �△��� = 1 2 ������ = 1 2 × 6 2 × 8 × 2 2 = 24 ≠ 12 2,故 D 错误. 第 11页,共 16页 故选:��. 12.【答案】� = 2� − 2 【解析】【分析】 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用,属于基础题. 由题意求导�′(�) = ��� + 1 + 1�,从而可知切线的斜率,从而写出切线方程. 【解答】 解:�′(�) = ��� + 1 + 1�; 故�′(1) = 0 + 1 + 1 = 2;�(1) = (1 + 1)��1 = 0, 故函数�(�) = (� + 1)���的图象在点(1,0)处的切线方程为: � = 2(� − 1); 即� = 2� − 2; 故答案为:� = 2� − 2. 13.【答案】( − 1, 13 ) 【解析】【分析】 本题考查判断或证明函数的奇偶性,利用函数的单调性解不等式,函数单调性、奇偶性的综合应用,解不 含参的一元二次不等式,对数函数的单调性与最值,属于中档题. 根据题意,令�(�) = �(�) − 1,分析可得�(�)为定义域在�上的奇函数,且在�上单调递减,根据奇偶性和 单调性可将不等式�(2� − 1) + �(3�2) > 2 等价于 2� − 1 <− 3�2,解不等式即可得到答案. 【解答】 解:令�(�) = �(�) − 1 = log2024( �2 + 1 − �)因为 �2 + 1 > �,即 �2 + 1 − � > 0, 可知函数�(�)的定义域为�, 且�(�) + �( − �) = log2024( �2 + 1 − �) + log2024( �2 + 1 + �) = log20241 = 0, 所以�(�)为�上的奇函数, 因为�(�) = log2024( �2 + 1 − �) = log2024 1 �2+1+� , 且� = �2 + 1,� = �在[0, + ∞)内单调递增, 则� = �2 + 1 + �在[0, + ∞)内单调递增,可知� = 1 �2+1+� 在[0, + ∞)内单调递减, 又因为� = log2024�在定义域内单调递增,则�(�)在[0, + ∞)内单调递减, 第 12页,共 16页 由奇函数可知�(�)在( − ∞,0]内单调递减,所以�(�)在�上单调递减, 综上所述,�(�)为定义在�上奇函数,且在�上单调递减, 由�(2� − 1) + �(3�2) > 2,则�(2� − 1) − 1 +>− [�(3�2) − 1], 可得�(2� − 1) >− �(3�2) = �( − 3�2),则 2� − 1 <− 3�2, 解得:−1 < � < 13,所以不等式�(2� − 1) + �(3� 2) > 2 的解集是( − 1, 13 ). 故答案为:( − 1, 13 ). 14.【答案】( 56 , 11 12 ) 【解析】【解析】本题考察导数的运用以及函数的零点与方程根的关系 【解答】当�⩽0 时 �′(�) = �2 + 3� + 2 = (� + 1)(� + 2)令导数分别大于 0 小于 0 可解出 函数在( −∞, − 2)单增 在( − 2, − 1)单减 在( − 1,0)单增 因为一共有四个不同零点 当�⩽0 最多只能有三个, 故当�⩽0 有三个零点,当� > 0 有一个零点 故 { �( − 2) > 0 �( − 1) < 0 �(0)⩾0 3� − 6 < 0 ,解得 � > 56 � < 1112 �⩾ 12 � < 2 即 5 6 < � < 11 12. 故答案为( 56 , 11 12 ). 15.【答案】解:(1)由函数� � 的图象,可得�2 = 5� 12 − − � 12 = � 2,即� = �, 所以� = 2�� = 2, 又由最高点是 − �12 , 2 ,所以( − � 12 ) × 2 + � = 2�� + � 2 , � ∈ �,即� = 2� 3 + 2��, � ∈ �, 因为 0 < � < �,当� = 0,可得� = 2�3,所以�(�) = 2sin 2� + 2� 3 , 第 13页,共 16页 将� � 的图象向左平移�3个单位长度得到� = 2sin 2 � + � 3 + 2� 3 = 2sin 2� + 4� 3 的图象,再将图象上所有 点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 得到函数�(�) = 2sin � + 4�3 =− 2sin � + � 3 的图象. 令 2�� + �2 ≤ � + � 3 ≤ 2�� + 3� 2 , � ∈ �,所以 2�� + � 6 ≤ � ≤ 2�� + 7� 6 , � ∈ �, 故�(�)的单调递增区间为 2�� + �6 , 2�� + 7� 6 , � ∈ �. (2)因为�(�) = 2sin 2� + 2�3 =− 3,所以 sin 2� + 2� 3 =− 3 2 . 又因为� ∈ (0, �),所以 2� + 2�3 ∈ 2� 3 , 8� 3 ,所以 2� + 2� 3 = 4� 3或 2� + 2� 3 = 5� 3, 所以� = �3或� = � 2, 当� = �3时,由余弦定理得�� 2 = 22 + 52 − 2 × 2 × 5 × cos �3 = 19,所以�� = 19; 当� = �2时,由勾股定理,得�� 2 = 22 + 52 = 29,所以�� = 29. 故边��的长为 19或 29. 【解析】本题考查由部分图象求三角函数解析式,正弦型函数的图象变换,利用余弦定理解三角形,属于 较难题. (1)由函数� � 的图象,求得�(�) = 2sin 2� + 2�3 ,再由三角函数的图象变换,得到�(�) =− 2sin � + � 3 , 结合三角函数的性质,即可求解; (2)因为�(�) =− 3,求得� = �3或� = � 2,结合余弦定理和勾股定理,即可求解. 16.【答案】解:(1)因为 4�tan� = � 2cos� + ��cos�,所以 4×12��sin�cos� sin� = � 2cos� + ��cos�, 即 2�cos� = �cos� + �cos�, 由正弦定理,得 2sin�cos� = sin�cos� + sin�cos� = sin(� + �), 因为� + � = � − �,所以 2sin�cos� = sin�, 因为� ∈ (0, �),所以 sin� ≠ 0,所以 cos� = 12, 又� ∈ (0, �),所以� = �3. (2)由余弦定理,得�2 = �2 + �2 − 2��cos�,即 9 = �2 + �2 − ��, 所以 9 = (� + �)2 − 3��,即�� = 13 [(� + �) 2 − 9], 第 14页,共 16页 因为� = 12 ��sin� = 3 4 ��,� = � + � + 3,所以 � � = 3�� 4(�+�+3) = 3[(�+�)2−9] 12(�+�+3) , 所以 � � = 3 12 (� + � − 3), 又�� ≤ (�+�) 2 4 (当且仅当� = � = 3 时取等号),所以 9 = (� + �) 2 − 3�� ≥ (�+�) 2 4 (当且仅当� = � = 3 时取等 号),所以� + � ≤ 6(当且仅当� = � = 3 时取等号), 所以 � � = 3 12 (� + � − 3) ≤ 3 12 × (6 − 3) = 3 4 (当且仅当� = � = 3 时取等号), 即 � �的最大值为 3 4 . 【解析】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力 和转化能力,属于中档题. (1)根据△ ���的面积公式得 4×12��sin�cos� sin� = � 2cos� + ��cos�,,再利用正弦定理的应用求出�的值; (2)余弦定理求得�� = 13 [(� + �) 2 − 9],再利用基本不等式可求��的最大值. 17.【答案】解:(1)因为�1 = 1,��+1 = �� + 1, �为奇数, �� + 2, �为偶数. 所以�2 = �1 + 1 = 2,�3 = �2 + 2 = 4,�4 = �3 + 1 = 5, 所以�1 = �2 = 2,�2 = �4 = 5, 当� ≥ 2 时,�� − ��−1 = �2� − �2�−2 = �2� − �2�−1 + �2�−1 − �2�−2 = 1 + 2 = 3, 所以数列{��}是以�1 = 2 为首项,以 3 为公差的等差数列, 所以�� = 2 + 3(� − 1) = 3� − 1. (2)由(1)可得�2� = 3� − 1,� ∈ �∗, 则�2�−1 = �2�−2 + 2 = 3(� − 1) − 1 + 2 = 3� − 2,� ≥ 2, 当� = 1 时,�1 = 1 也适合上式, 所以�2�−1 = 3� − 2,� ∈ �∗, 所以数列{��}的奇数项和偶数项分别为等差数列, 则{��}的前 20 项和为�1 + �2 + . . . + �20 = (�1 + �3 + … + �19) + (�2 + �4 + … + �20) = 10 + 10×92 × 3+ 10 × 2 + 10×9 2 × 3 = 300. 【解析】本题主要考查数列的递推式,数列的求和,考查运算求解能力,属于中档题. (1)由数列{��}的通项公式可求得�2,�3,�4,从而可得求得�1,�2,由�� − ��−1 = 3,� ≥ 2 可得数列{��} 第 15页,共 16页 是等差数列,从而可求得数列{��}的通项公式; (2)由数列{��}的通项公式可得数列{��}的奇数项和偶数项分别为等差数列,求解即可. 18.【答案】解:(1)当� =− 2 时,�(�) = (1 + 2�)ln(1 + �) − �, 故�′(�) = 2ln(1 + �) + 1+2�1+� − 1 = 2ln(1 + �) − 1 1+�+ 1, 因为� = 2ln(1 + �), � =− 11+�+ 1 在 −1, + ∞ 上为增函数, 故�′(�)在 −1, + ∞ 上为增函数,而�′(0) = 0, 故当−1 < � < 0 时,�′(�) < 0,当� > 0 时,�′(�) > 0, 故� � 在� = 0 处取极小值且极小值为� 0 = 0,无极大值. (2)�′ � =− �ln 1 + � + 1−��1+� − 1 =− �ln 1 + � − �+1 � 1+� , � > 0, 设� � =− �ln 1 + � − �+1 �1+� , � > 0, 则�′ � = −��+1 − �+1 1+� 2 =− � �+1 +�+1 1+� 2 =− ��+2�+1 1+� 2 , 当� ≤− 12时,�′ � > 0,故� � 在 0, + ∞ 上为增函数, 故� � > � 0 = 0,即�′ � > 0, 所以� � 在 0, + ∞ 上为增函数,故� � ≥ � 0 = 0. 当− 12 < � < 0 时,当 0 < � <− 2�+1 � 时,�′ � < 0, 故� � 在 0, − 2�+1� 上为减函数,故在 0, − 2�+1 � 上� � < � 0 , 即在 0, − 2�+1� 上�′ � < 0 即� � 为减函数, 故在 0, − 2�+1� 上� � < � 0 = 0,不合题意,舍. 当� ≥ 0,此时�′ � < 0 在 0, + ∞ 上恒成立, 同理可得在 0, + ∞ 上� � < � 0 = 0 恒成立,不合题意,舍; 综上,� ≤− 12. 【解析】本题考查了导数的应用求函数极值以及用导数证明恒成立,属于中档题; (1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值. 第 16页,共 16页 (2)求出函数的二阶导数,就� ≤− 12、− 1 2 < � < 0、� ≥ 0 分类讨论后可得参数的取值范围. 19.【答案】解:(1) �(�) = �(�) + 2� − 4ln� − 2� = � − 3ln� − 2 �, 该函数的 定义域为(0, + ∞), 则�′(�) = 1 − 3�+ 2 �2 = �2−3�+2 �2 = (�−1)(�−2) �2 ,列表如下: � (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ∞) �′(�) + 0 − 0 + �(�) 增 极大值 减 极小值 增 所以,函数�(�)的增区间为(0,1)和(2, + ∞),减区间为(1,2), 函数�(�)的极大值为�(1) = 1 − 3ln1 − 2 =− 1,极小值为�(2) = 2 − 3ln2 − 1 = 1 − 3ln2. (2) 当� > 0 时,由�(�) = ln� − � ≤ (� − 1)� + 1 可得� ≥ ln�−1� , 令ℎ(�) = ln�−1� ,其中� > 0,则ℎ′ � = 1 �⋅�− ln�−1 �2 = 2−ln� �2 , 由ℎ′(�) > 0 可得 0 < � < �2,由ℎ′(�) < 0 可得� > �2, 所以,函数ℎ(�)的增区间为 0, �2 ,减区间为 �2, + ∞ , 所以,ℎ(�)max = ℎ �2 = ln�2−1 �2 = 1 �2, 所以,� ≥ ℎ(�)max = 1 �2,故实数�的取值范围是 1 �2 , + ∞ . 【解析】(1)利用导数分析函数�(�)的单调性,可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值; (2)结合参变量分离法可得� ≥ ln�−1� ,令ℎ(�) = ln�−1 � ,利用导数求出函数ℎ(�)的最大值,即可得出实数�的 取值范围.

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内蒙古包头市第三十三中学2024-2025学年高三上学期十月月考数学试卷
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