第07讲 拓展二：数列求和（知识清单+10类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第07讲 拓展二：数列求和 知识点一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 知识点二：分组求和法 1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 知识点三：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 知识点四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 知识点五：奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 2、通项含有的类型；例如： 题型01 倒序相加法 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 【变式1】（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 【变式2】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【答案】D 【知识点】倒序相加法求和 【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可. 【详解】由， 得, , , 又， 所以， 所以. 故选：D. 题型02分组求和法 【典例1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，求出公差的值，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求出，再由分组求和法求和即可． 【详解】（1）因为成等比数列，所以， 设等差数列的公差为，所以，解得：， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以 . 【典例2】（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知数列满足． (1)若，证明数列为等比数列，并求通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析，； (2)． 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】（1）证明：由， 可得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 则； （2）， 则． 【典例3】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由及， 得， 解得，于是，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 . 【变式1】（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，所以，求得，所以； 由，得，所以，所以. （2）因为， 所以 . 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，． (2)100. 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 【变式3】（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证； （2）根据等差数列可得与，再利用分组求和的方程求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 题型03 裂项相消法（等差型） 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意，列出方程，求出首项和公差即可求通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项的方法求前项和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意得 解得， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 设数列的前项和为，则 ． 【典例2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2022项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求解通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以，所以； （2）， 所以数列的前n项和， 所以=. 【变式1】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由题可知数列是公差为2为等差数列，求出首项即可写出通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和. 【详解】（1）由可知数列是以公差的等差数列, 又得， 解得, 故， 即. （2）因为, 所以    . 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由题意列方程组算出即可； （2）由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，． ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴． 题型04 裂项相消法（无理型） 【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得； （2）将代入，分母有理化后，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）设数列的公差为，由， 则，解得，故； （2）由（1）得． . 【典例2】（23-24高三上·福建南平·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，. (1)求数列的通项公式； (2)若（），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）先利用等差数列的前项和公式求出，再利用等差数列的通项公式进行求解； （2）先利用分母有理化化简，再利用裂项抵消法进行求和. 【详解】（1）因为等差数列{an}中，，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）因为 =， 则 =. 【变式1】（23-24高二下·广东佛山）已知等差数列满足：，，其前项和为 (1)求数列的通项公式及； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意及等差数列通项公式得到方程组，解得、，即可求出通项公式及前项和； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则， 解得， ∴， （2）解：由（1）可得， ∴数列的前项和为 【变式2】（23-24高三下·山西吕梁）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）由条件可证明数列是等差数列，然后可算出答案； （2），然后可算出答案. 【详解】（1）由得： 即， 所以数列为等差数列， 由得， 设公差为d，，得， 所以， 故数列的通项公式为． （2）， 所以． 题型05 裂项相消法（指数型） 【典例1】（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、等比数列的定义、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）应用累乘法求出通项公式即可； （2）裂项相消法求前n项和即可. 【详解】（1）设，由题意得数列是等比数列，，， 则，即， 由累乘法得：， 于是，故. （2）由（1）得 ， 令，则， ∴ . 【典例2】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得：， 所以. 【变式1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以等比数列的首项为，公比为3， 故， 所以； （2）由（1）得 ， 故 . 【变式2】（23-24高二下·江西·期末）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和及错位相减法求和即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以. （3）由（2）知， ， 而，所以. 题型06 裂项相消法（通项裂项为“”型） 【典例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列通项公式、求和公式列出方程即可得解； （2）化简数列通项公式，利用相加相消法求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 则 解得，， 故． （2）由（1）可得， 则． 【典例2】（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）法一：推理出，即是常数列，求出通项公式；法二：变形得到，故，两式相减得到，是等差数列，求出和公差，得到通项公式； （2），分为偶数和奇数两种情况进行求和得到答案. 【详解】（1）法一：因为，所以， 所以，所以，所以是常数列， 所以，所以． 法二：因为，① 所以，② ②-①，得，所以， 所以是等差数列， 由中令得， 又，故，所以等差数列的公差，所以. （2）， 当为偶数时，． 当为奇数时，， 所以或． 题型07 错位相减法 【典例1】（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得； （3）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）设公差为d，中，令得， 又，则，解得， 故； （2）； （3）， 则①， 故②， 故①－②得 ， 故． 【典例2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 【变式1】（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可. 【详解】（1），. 当时，，解得， 当时，， . 数列是以3为首项，3为公比的等比数列， . （2）， ， ， 两式相减得， ， 即. 【变式2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，， ∴， ∴. ∴. 设等比数列的公比为， 若选条件①，， 由，且， 得， ∴，解得. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 若选条件②，， 令，得， ∴公比， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. 从而. （2）因为， 所以， 两式相减，得， 即， 所以. 题型08 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 【典例2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 【变式1】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等比数列的定义判断可得答案； （2）由（1）求出得，再利用并组求和、等比数列求和可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）借助与的关系计算可得，结合等差数列定义即可得； （2）计算出通项公式后，可得，结合分组求和法，借助等差数列求和公式与等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）当时，，则． 因为，所以当时，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）知，，所以， 故 . 题型09 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 【典例2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、数列求和的其他方法 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解； （2）分为偶数和奇数求数列的前项和. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 【变式2】（2022·全国·模拟预测）已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列的通项公式； （2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案. 【详解】（1）因为当时，，则，所以， 两式相减可得，整理得， 即. 因为是递增数列，且，所以， 则，即， 所以数列是公差为的等差数列，即， 经检验时成立，则. （2）由（1）知. 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 综上所述，. 题型10 通项含绝对值数列求和 【典例1】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）解：因为在等差数列中，公差，其前项和为，，且， 则，① 由可得，可得，② 联立①②可得，， 所以，. （2）解：因为， 当时，且； 当时，. 综上所述，. 【典例2】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、由Sn求通项公式 【分析】（1）根据求解即可； （2）先判断数列各项的符号，再根据其符号分类讨论求解即可. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式， 综上，； （2）令，得，解得， 令，得，解得， 则当时，， 当时， ， 综上所述，. 【变式2】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 【答案】(1)，； (2)25； (3). 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项及前n项和. （2）求出，再利用等差数列前n项和公式求解即得. （3）判断数列的正数项与负数项，再借助（2）中结论分段求和即得. 【详解】（1）设数列的公比为，，由成等差数列，得， 即，整理得，而，解得，又， 所以数列的通项公式，. （2）由（1）得，，则，且， 于是数列是首项为9，公差为的等差数列， 所以， 所以当时，取得最大值25. （3）由（2）知，当时，，当时，， 当时，，； 当时，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 拓展二：数列求和 知识点一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 知识点二：分组求和法 1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 知识点三：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 知识点四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 知识点五：奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 2、通项含有的类型；例如： 题型01 倒序相加法 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【典例2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【变式1】（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 题型02分组求和法 【典例1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【典例2】（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知数列满足． (1)若，证明数列为等比数列，并求通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【典例3】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【变式1】（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【变式3】（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 题型03 裂项相消法（等差型） 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【典例2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2022项和. 【变式1】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型04 裂项相消法（无理型） 【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求． 【典例2】（23-24高三上·福建南平·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，. (1)求数列的通项公式； (2)若（），求数列的前项和. 【变式1】（23-24高二下·广东佛山）已知等差数列满足：，，其前项和为 (1)求数列的通项公式及； (2)若，求数列的前项和． 【变式2】（23-24高三下·山西吕梁）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 题型05 裂项相消法（指数型） 【典例1】（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【典例2】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求. 【变式2】（23-24高二下·江西·期末）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 题型06 裂项相消法（通项裂项为“”型） 【典例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求的值． 【典例2】（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型07 错位相减法 【典例1】（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，令，求数列的前n项和． 【典例2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式1】（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 题型08 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【典例2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【变式1】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 题型09 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【典例2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式2】（2022·全国·模拟预测）已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型10 通项含绝对值数列求和 【典例1】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【典例2】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【变式2】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$