5.1.2（2）导数的几何意义导学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2（2）导数的几何意义导学案 学习目标：1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 学科素养：1.数形结合思想 2. 以直代曲. 教学重难点： 重点：导数的几何意义 难点：求过点的切线方程 基础知识： 1．导数的几何意义 （1）割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) 的一条割线，此割线的斜率是＝__________________. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，是x的一个函数，称是f(x)的导函数(简称导数)．也记作y′，即＝y′＝_______________ 自主探究 探究点一　导数的几何意义 问题1　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 问题2　曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 例1　 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况． 跟踪训练1　（1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况． （2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 (　　) 探究点二　求切线的方程 问题1　怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ 问题2　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 例2.(1)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为 (2)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 归纳：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤 第一步，求函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 跟踪训练：1.已知曲线y＝2x2－7，求：曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? 探究三、拓展提高 例3． 已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为 ． 归纳：求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 跟踪训练：1.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ． 例4.若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A． y＝2x＋1　　　 　B．y＝2x＋　　　 　C．y＝x＋1　　　　D．y＝x＋ 跟踪训练： 1.已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ． 当堂检测 1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 (　　) A．4 B．16 C．8 D．2 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 (　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 5.设为曲线：上的点