第02讲 二次根式（讲练）（思维导图+6考点+2命题点6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第一章 数与式 第02讲 二次根式（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的乘除 考点四 二次根式的加减 考点五 二次根式的混合运算 考点六 二次根式的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式非负性 ►题型02 整数部分与小数部分 ►题型03 二次根式规律性问题 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类二次根式 ►题型02 二次根式化简求值 ►题型03 二次根式估值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 2024省卷2题，3题，17（2）题 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 考点一 二次根式相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 【例1】．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1-1】．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【变式1-2】．（2022·山东淄博·中考真题）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【变式1-3】．（2022·山东菏泽·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【例2】．（2022·山东淄博·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【变式2-1】．（2024·山东德州·一模）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是 ． 【变式2-2】．（2023·山东日照·一模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【变式2-3】．（2021·山东枣庄·二模）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    考点三 二次根式的乘除 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 【例3】．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（    ）． A．1 B． C．5 D．9 【变式3-1】．（2023·山东日照·一模）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【变式3-2】．（2023·山东临沂·二模）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式3-3】．（2023·山东烟台·一模）估计的值应在(    ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 考点四 二次根式的加减 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【例4】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是 A． B． C． D． 【变式4-2】．（2022·山东日照·三模）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】．（2022·山东威海·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 考点五 二次根式的混合运算 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【例5】．（2022·山东青岛·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．3 【变式5-1】．（2023·山东聊城·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（2024·山东青岛·模拟预测）计算 的结果是（  ） A． B． C． D．3 【变式5-3】．（2023·山东青岛·模拟预测）计算的结果是（　　） A．2 B．22 C． D． 考点六 二次根式的应用 【例6】．（2022·山东淄博·一模）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ． 【变式6-1】．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数a，b， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题 (1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________； (2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？ 【变式6-2】．（2022·山东日照·一模）若矩形的周长是cm，一边长是cm，求它的面积． 【变式6-3】．（2023·山东德州·二模）阅读探究 小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法， （1）图1中的面积为________． 实践应用 参考小明解决问题的方法，回答下列问题： （2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点． ②的面积为________（写出计算过程）． 拓展延伸 （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式的非负性 【例1】．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则 ． 【变式1-1】．（2021·山东济宁·三模）已知， ． 【变式1-2】．（2023·山东德州·一模）已知，则x的取值范围是 ． 【变式1-3】．（2022·山东日照·一模）已知为实数，且满足，那么 ． ►题型02 整数部分与小数部分 【例2】．（2022·山东济宁·二模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【变式2-1】．（2023·山东枣庄·模拟预测）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2022·山东临沂·模拟预测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【变式2-3】．（2021·山东日照·一模）的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． ►题型03 二次根式规律性问题 【例3】．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东济宁·二模）如图，在正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依次规律，则线段（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2021·山东淄博·二模）观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 【变式3-3】．（2022·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类为二次根式 【例1】．（2023·山东烟台·模拟预测）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式1-1】．（2022·山东日照·二模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【变式1-2】．（2022·山东烟台·中考真题）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ． 【变式1-3】．（2023·山东威海·一模）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ，b＝ ． ►题型02 二次根式化简求值 【例2】．（2023·山东济宁·二模）先化简，再求值：．其中，． 【变式2-1】．（2023·山东日照·二模）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【变式2-2】．（2024·山东德州·二模）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣． 【变式2-3】．（2022·山东临沂·一模）先化简，再求值：，其中. ►题型03 二次根式估值 【例3】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东日照·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【变式3-2】．（2024·山东临沂·模拟预测）估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式3-3】．（2021·山东淄博·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 3．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算的结果是 ． 8．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 9．已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 10．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 三、解答题 11．计算：   12． 计算：  ； 13．先化简，再求值：，其中，． 14．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 15．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 能力提升 一、单选题 1．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．化简得（   ） A．2 B． C． D． 3．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ． 8．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 9．已知，则的算术平方根是 ． 10．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 三、解答题 11．计算：． 12．计算： (1)； (2)． 13．已知实数a，b在数轴上如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 14．已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 15．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． $$第一章 数与式 第02讲 二次根式（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的乘除 考点四 二次根式的加减 考点五 二次根式的混合运算 考点六 二次根式的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式非负性 ►题型02 整数部分与小数部分 ►题型03 二次根式规律性问题 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类二次根式 ►题型02 二次根式化简求值 ►题型03 二次根式估值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 2024省卷2题，3题，17（2）题 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 考点一 二次根式相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 【例1】．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-1】．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式1-2】．（2022·山东淄博·中考真题）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式1-3】．（2022·山东菏泽·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x>3 【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可． 【详解】解：由题意，得 所以x-3>0， 解得：x>3， 故答案为：x>3． 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【例2】．（2022·山东淄博·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-1】．（2024·山东德州·一模）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，，判断，，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可. 【详解】解：由题意可得：，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 【变式2-2】．（2023·山东日照·一模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】根据数轴可得，，从而判断，，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∵，， ∴ 【点睛】本题考查用数轴表示数、二次根式和绝对值的性质，掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 【变式2-3】．（2021·山东枣庄·二模）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】1 【分析】先根据题意得到，据此化简二次根式和化简绝对值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：1． 考点三 二次根式的乘除 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 【例3】．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（    ）． A．1 B． C．5 D．9 【答案】A 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式3-1】．（2023·山东日照·一模）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案. 【详解】解： 故选：D. 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键. 【变式3-2】．（2023·山东临沂·二模）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法及无理数的估算．先将原式进行计算，然后判断其结果在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， ， ， 即， 那么原式的值在2和3之间， 故选：A． 【变式3-3】．（2023·山东烟台·一模）估计的值应在(    ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式乘法运算法则计算得到，再根据无理数估算由，得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 又 ， ，即的值在2和3之间， 故选：B． 考点四 二次根式的加减 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【例4】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式4-1】．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别对每个二次根式进行化简，然后合并被开方数相同的二次根式． 【详解】解：， 故选B． 【变式4-2】．（2022·山东日照·三模）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解答关键是根据相关运算法则进行计算． 【变式4-3】．（2022·山东威海·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简第一个和第三个二次根式为最简二次根式，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】解： ＝ ＝ 故选：D 考点五 二次根式的混合运算 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【例5】．（2022·山东青岛·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式5-1】．（2023·山东聊城·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、 ===，此选项正确； C、=（5-）÷=5-，此选项错误； D、 =，此选项错误； 故选B． 【变式5-2】．（2024·山东青岛·模拟预测）计算 的结果是（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可．熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式5-3】．（2023·山东青岛·模拟预测）计算的结果是（　　） A．2 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用平方差公式进行计算，先利用二次根式的性质进行化简，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 考点六 二次根式的应用 【例6】．（2022·山东淄博·一模）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得． 【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为， ，， ， 故答案为：26． 【变式6-1】．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数a，b， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题 (1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________； (2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，2，2，8 (2)每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为米 【分析】（1）根据（均为正实数），分别对和进行化简，求最小值即可； （2）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，根据题意得出，然后根据题干提供的方法求的最大值即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵ ∴， ∴当，即时，有最小值，最小值为； ∵， 又∵， ∴， ∴当，即时，有最小值，最小值为8． 故答案为：1，2，2，8． （2）解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米， 依题意得：， 即， ∴， 即， ∴， 即， 当时， ， 此时，， 即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米 ． 【变式6-2】．（2022·山东日照·一模）若矩形的周长是cm，一边长是cm，求它的面积． 【答案】（1+3）cm2 【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得． 【详解】解：∵矩形的周长是cm，一边长是cm， ∴另一边长为：﹣（﹣2）＝（17+7）cm． ∴矩形的面积为：（17+7）（﹣2）＝（1+3）cm2． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长和面积，利用周长求出矩形的边长是解题的关键． 【变式6-3】．（2023·山东德州·二模）阅读探究 小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法， （1）图1中的面积为________． 实践应用 参考小明解决问题的方法，回答下列问题： （2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点． ②的面积为________（写出计算过程）． 拓展延伸 （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）． 【答案】（1）；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31． 【分析】（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积； （2）①利用勾股定理画出三边长分别为、、，然后依次连接即可；②根据①中图形，可直接利用割补法进行求解三角形的面积； （3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出，，进而可得，得出，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可． 【详解】解：（1）△ABC的面积为：， 故答案为：； （2）①作图如下（答案不唯一）： ②的面积为：， 故答案为：8； （3）在网格中作出，， 在与中， ， ∴， ∴， ， 六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+的面积 ， 故答案为：31． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式的非负性 【例1】．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，二次根式的性质，先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-1】．（2021·山东济宁·三模）已知， ． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求得y的值，再代入代数式中求得立方根即可． 【详解】 解：， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的立方根，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式1-2】．（2023·山东德州·一模）已知，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性质可得，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根非负性；掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【变式1-3】．（2022·山东日照·一模）已知为实数，且满足，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质得出，，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ． 故答案为：． ►题型02 整数部分与小数部分 【例2】．（2022·山东济宁·二模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 【变式2-1】．（2023·山东枣庄·模拟预测）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是： 则 故选： 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 【变式2-2】．（2022·山东临沂·模拟预测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 【变式2-3】．（2021·山东日照·一模）的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据无理数估算，得到的整数部分为，小数部分为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， 故选：A． ►题型03 二次根式规律性问题 【例3】．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 【变式3-1】．（2022·山东济宁·二模）如图，在正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依次规律，则线段（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出、、，以此类推找到规律求出，最后根据中，，即可求解． 【详解】解：∵与直线l所夹锐角为，且是正方形的一个顶角， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵正方形的边长， ∴， 同理可求得： ，， 以此类推可知： ， ∵中，， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、含特殊角的锐角三角函数等知识，含30°的直角三角形的性质．利用从特殊到一般寻找规律是解题的关键． 【变式3-2】．（2021·山东淄博·二模）观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，二次根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 【详解】解：、 、 ……， 以此类推可知，， 故答案为：． 【变式3-3】．（2022·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 ， 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类为二次根式 【例1】．（2023·山东烟台·模拟预测）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式1-1】．（2022·山东日照·二模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 【变式1-2】．（2022·山东烟台·中考真题）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ． 【答案】2 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 【变式1-3】．（2023·山东威海·一模）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ，b＝ ． 【答案】 1 1 【详解】解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，因此，根据最简二次根式与是同类二次根式，得 解得： 故答案为：1；1． ►题型02 二次根式化简求值 【例2】．（2023·山东济宁·二模）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，. 【分析】先运用平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【变式2-1】．（2023·山东日照·二模）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝ ； a＝-，b＝+， ∴原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． 【变式2-2】．（2024·山东德州·二模）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣． 【答案】5x2﹣11，4 【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2） ＝4x2﹣4x+1+x2+4x﹣12 ＝5x2﹣11， 当x＝﹣时， 原式＝5×3﹣11 ＝15﹣11 ＝4． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【变式2-3】．（2022·山东临沂·一模）先化简，再求值：，其中. 【答案】，9. 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值.熟练掌握完全平方公式是解题的关键，原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． ►题型03 二次根式估值 【例3】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式3-1】．（2022·山东日照·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式3-2】．（2024·山东临沂·模拟预测）估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先利用二次根式的运算法则和性质对二次根式进行运算，再利用夹逼法估算即可求解，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 【变式3-3】．（2021·山东淄博·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键． 先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围． 【详解】解：． 即． 故选：B． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 3．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键．先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、与是同类二次根式； D、与不是同类二次根式； 故选：C． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，故错误； B、，故正确；     C、，故错误；     D、，故错误； 故选：B． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的相关定义和性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算错误，故选项不符合题意； B. ，二次根式的被开方数不能是负数，和都无意义，计算错误，故选项不符合题意； C. ，计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 二、填空题 7．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键． 由，可得，即可得和，则m和n的值可求，则问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为7， ∴的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查勾股定理、平方根的应用，二次根式的应用，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．根据题意，设长为，宽为，由勾股定理列出方程求解得出，，依据面积公式求解即可得． 【详解】解：设长为，宽为，根据题意： ，即， ， 或（舍去）， ，即长方形的长为，宽为， 它的面积是， 故答案为：30． 三、解答题 11．计算：   【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ； 另一种解法： 原式 ． 12． 计算：  ； 【答案】 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算．先计算乘除，再合并，即可求解． 【详解】解： 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 14．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)11 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得m值，进而利用完全平方公式求得，然后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ，即， ， 的值为2； （2）解：∵，即， ，即， ， ， 即的值为11． 15．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 能力提升 一、单选题 1．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可得关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．化简得（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式，先化简，得出，则，结合进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则 ， 故选：A． 3．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了开平方运算、二次根式的乘法公式、二次根式的性质等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式的乘法公式、性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误； 故选：B． 4．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式的应用． 先将原式变形，再根据平方差公式计算即可． 【详解】 故选：． 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解 ． 故答案为：． 8．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．首先根据：是正整数，可得，从而可得． 【详解】解：是正整数， 是一个能开得尽方的整数， 的最小值为， ， 解得：． 故答案为：． 9．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，求一个数的算术平方根，先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为:． 10．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可； （2）利用平方差公式，计算二次根式的乘法，然后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．已知实数a，b在数轴上如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了结合数轴进行实数的运算能力，关键是能准确理解并运用数形结合与平方根知识进行求解． （1）先结合数轴表示确定a，b的符号与大小关系，再进行化简、计算； （2）将（1）题结果代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，且， ∴，， ∴ ； （2）解：由（1）得，当时． ． 14．已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 15．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． $$