内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷

内蒙古师大附中2024一2025学年第一学期期中质量检测 高二数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 > P 答案 D D D A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 CD AD CD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 4 2W2 3 3 四、解答题 b2 1 15.解：(I)据题意，由e 可 3 a …2分 由2b=2,可得a2=3,b2=1, …4分 因此，椭圆C的标准方程为 +y2=1. …6分 3 ②设A(xy,B(x%,由)可知，F(-√2,0），E(N2,0) 则FA=(x+V2y以，FB=(x-2,)， …8分 x+V2=5(x-V2) +6同 由FA=5FB,可得 整理得 …1分 y=5y% %= 由点A,B是椭圆C上的两点，可以得到 3+21 x+6W2 ,解得x=0,y=±1，因此，点A(0,1)或A(0,-1).…13分 =1 75 25 16.解：()由正弦定理可得，2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 整理可得，a2=b2+c2+bc, …2分 由余弦定理可得，cosA=B+2-d-bc。」 1 …5分 2be 2be 由A∈(0，，得A=2红 …7分 3 (2)据题意，sinB+sinC=sinB+sin 2π+B 3 -sinB+ -cos B=sinB+ ……1分 由0<B<,得<B+< 2π …13分 3 3 3 当B+牙=号时，即B=sinB+sinC取得最大值1.…5分 6 17.(I)证明：由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BC, 由∠4CB=行可得4C1BC, …3分 又PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC. …5分 (2解：取CD的中点E,由AB/ICD,∠BAD= ,可得∠DC= 2 又0D =1, 可得△ACD是正三角形，故AE⊥CD,AE⊥AB.…7分 在A4BC中，由∠BAC=,AC=1,可知AB=2.- …8分 以AE,AB,AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示， Paaa20c5号n90 …9分 由)可知， ,…10分 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z) n.PC=0 5.1 由 可得{2 5y-5z=0 n.DC=0 y=0 令x=5,则n …13分 设平面PCD与平面PCA所成锐二面角为8， 则cos0=kos<BC,i BC._5 BC 5 平面PCD与平面PCA所成锐=面角的余弦值为 …15分 5 18.解：(1)据题意，设圆C的半径为P, 若圆C与圆C外切，与圆C,内切，可得 CC=r+2 (ccl=-2 则CC-CC=4,…3分 若圆C与圆C内切，与圆C,外切，可得 CG=r-2 UCG=r+2 则CC-CC=4,…6分 即|CC-CC2=4,且4<CC …7分 由双曲线定义可得，动圆圆心C的轨迹L的方程为 -y2=1.… …8分 0阿知，F为双曲线4二了=1的焦点，M在两支之间，且MF 当P,M,F不共线时，M-FP到<FM=2,… …9分 当P,M,F共线时，可得直线MF的方程为y=-2x+2√5， y=-2x+25 6W5 14V5 x= x= ·可得 5 15 由x2 或 …13分 25 25 y=- y 15 若P在x轴上方，有MP+FP=|FM=2,故M-FP叫<2， 若P在x轴下方，有MP-FP到=FM=2, *+15分 综上，MP-FP例的最大值为2，此时P 6W5_25 5,-5 …17分 19.(懈：设P(x,y),则PF=(x+c}'+y2,PF=(x-c)+y2, 故PPEf=(x2-c2+(2.x2+2c2)y2+y=a,…2分 整理可得，(x2+y2)-2c2(x2-y2)=a-c, ***4444…4分 因此，=-2c2,u=a-c …6分 e证：明由S5FEM号PFHin∠RPR. 可将e时=女m∠rP所，故s受 …9分 由PFl≥r+d,IPFl≥x-c,可得r2-sPFPF=a2, 故xr2≤a2+c2,即≤V层+c2 ……12分 (3证明：当a=c= 35时，由0可得曲线C方程为：(2+y-9(x-y）=0, 由(2)可得， …14分 则y的可能取值为-1,0,1， 当y=0时，代入方程中可得，x=0,或3，或-3， 此时曲线C经过3个整点，即为(0,0)，(3,0)，（-3,0) 当y2=1时，代入方程中可得，x2=2,或5，均不合题意， 综上，曲线C经过3个整点. …17分内蒙古师大附中2024一2025学年第一学期期中质量检测 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的. 2024 1+i =() A.-i B.-1 C.i D.1 2.设aeR,则“a=-1”是“直线：x+y-2a=0与直线l2:(2-2)x-y+2=0平 行”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.若tan0+ =4,则sin20=() tan 4 C 1-3 4.已知直二面角C-l-B,点A∈a,AC⊥1，C为垂足，点B∈B,BD⊥I,D为 垂足，若AB=2,AC=BD=1,则点D到平面ABC的距离等于() A 3 B. D.1 3 5设函数f(冈=s血(@r+p)+cos(or+p)(0>0,州<受)的最小正周期为元，且 f(-x)=f(x),则() Af在0 上单调递减 B.f(x)在 π3π 44 上单调递减 共4页第1页 C.f(x)在 上单调递增 Df在（任） 上单调递增 6.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b=√5bc, sinC=2W5sinB,则A=() 2π C. 3 7、.已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等，点A在底面ABC上的射影为线段 BC的中点，则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( B. 2 c D 4 3-4 8.直线y=c+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点，若MW≥25，则实 数k的取值范围是() [0】a(+)c[】u(mpo) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分. 9.将函数y=Sim2x的图象向左平移”个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 6 f(x)的图象，则关于函数f(x)的表述正确的是（一） A了(x)的图象关于直线x=严对称 B.f(x)的图象关于点 5.0 中心对称 6 C存在飞∈R,使得了)寻 单调递增 共4页第2页 10.已知R,F是椭圆C:父+y =1的两个焦点，点P在椭圆C上，则下列说法正确的 43 是() A.椭圆C的离心率为 2 B存在点P,使得∠BP明=受 C.P灭P瓦的最小值为3 D.△PFF内切圆半径的最大值为 5 3 11.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,M,N分别为棱A4,AD,AB,DC 的中点，点P是正方形BB,CC的中心，则下列结论正确的是() AE,F,M,P四点共面 B.EF/I平面PMNW C.平面MEF⊥平面PMN D.正方体被平面PEF截得的截面是等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知c0s 13.已知正三棱锥P-ABC侧棱与底面边长都相等，则二面角P-AB-C的正弦值为一 14.已知F,F分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点P在双曲线C上，且满足 PFl=2P引，则cos∠EPF= 四、解答题：本题共5小题，共77分.写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本题满分13分)设椭圆C:号+上 京+存=1（a>b>0)的左右焦点分别为R,E, 离心率e=6 短轴长为2，点A,B是椭圆C上的两点，且FA=5FB. (1)求椭圆C的标准方程： (2)求点A的坐标 16.(本题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 共4页第3页 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求角A的大小： (2)求sinB+sinC的最大值. 17.(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB/1CD, AD=CD=L,∠BAD=2,∠ACB=5 3 (I)求证：BC⊥平面PAC; (2)若PA=√下，求平面PCD与平面PCA所成锐二面角的余弦值. 18.(本题满分17分)设圆C:(x+5+y2=4,圆C,:(x-5+y=4,已知动 圆C与这两个圆中的一个内切，与另一个外切， (1)求动圆圆心C的轨迹L的方程； (2)已知点M ,F(5,0,且点P为L上的动点，求MP-FP的最大值 及此时点P的坐标. 19,(本题满分17分)我们在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内 到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫 星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线。若定点 (-c,0),F(c,0),动点P满足PFPF=a2,其中a,c均为正数，记该卡西尼卵 形线为曲线C,它的轨迹方程为(x2+y2+(x2-y2）=4 (I)求参数入，4的值（用含a,c的式子表示）： @诺P(x刃求证：云Hs匠+： 32 (3)若a=c= ,求证：曲线C经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点）， 2 共4页第4页