湖南省宁远县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周练(四)

2024年下期宁远一中高三数学周练(四) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1．设集合，，则集合( ) A. B. C. D. 2．在复平面内，一个正方形的个顶点对应的复数分别是，，，则第个顶点对应的 复数为( ) A． B． C． D． 3. 函数的最小正周期是( ) A． B． C． D． 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．已知四面体的每条棱长都为，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为( ) A． B． C． D． ★7. (系统集成29页典例3(1))已知函数是定义域为的函数，则函数 的图象与的图象( ) A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于点(3，0)对称 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，，， 则( ) A. B. C. D. 二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9． 一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸 出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”， 事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是( ) A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 10. 下列说法正确的是( ) A. 若不等式的解集为，则 B. 若命题：，，则的否定：， C. 在中，“”是“”的充要条件 D. 若对恒成立，则实数的取值范围为 11. 已知三棱锥内接于球，平面，，，， 点为的中点，点在三棱锥表面上运动，且，已知在弧度制下锐角， 满足：，，则下列结论正确的是( ) A. 过点作球的截面，截面的面积最小为 B. 过点作球的截面，截面的面积最大为 C. 点的轨迹长为 D. 点的轨迹长为 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水 克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是___． 13．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且的 周长为，面积的最大值为，则椭圆的离心率为 . 14．在中，已知，，点为的外心，点为重心， 则 ． 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15．(13分)在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各 投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每 次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响． (1)求局投篮比赛，甲、乙平局的概率； (2)设共进行了局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望． 16．(15分)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若，求的值． 17．(15分)如图，三棱锥中，，，点是 的中点. (1)求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)点在棱上，且，求直线与平面所成角正弦值. 18．(17分)已知椭圆:的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积 为.斜率为的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，若，,三点不共线，且,的斜率满足， 求证：为定值. 19．(17分)已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根，. (i)求的取值范围； (ii)证明：． 2024年下期宁远一中高三数学周练(四) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合 题目要求) 1．设集合，，则集合( D ) A. B. C. D. 2．在复平面内，一个正方形的个顶点对应的复数分别是，，，则第个顶点对应的 复数为( B ) A． B． C． D． 3. 函数的最小正周期是( C ) A． B． C． D． 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(C ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是(C ) A. B. C. D. 6．已知四面体的每条棱长都为，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为( B ) A． B． C． D． ★7. (系统集成29页典例3(1))已知函数是定义域为的函数，则函数 的图象与的图象( A ) A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于点(3，0)对称 解析：函数的图象与函数的图象关于直线对称． 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，， ，则( A ) A. B. C. D. 解析：∵ ∴，即， ∴，，，，，， ∴则． 二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9． 一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸 出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”， 事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是(   BCD  ) A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 10. 下列说法正确的是( AD ) A. 若不等式的解集为，则 B. 若命题：，，则的否定：， C. 在中，“”是“”的充要条件 D. 若对恒成立，则实数的取值范围为 11. 已知三棱锥内接于球，平面，，， ，点为的中点，点在三棱锥表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是(ABD ) A. 过点作球的截面，截面的面积最小为 B. 过点作球的截面，截面的面积最大为 C. 点的轨迹长为 D. 点的轨迹长为 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是_ __． 13．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且的 周长为，面积的最大值为，则椭圆的离心率为__________. 14．在中，已知，，点为的外心，点为重心， 则 ． 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15．(13分) 在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响． (1)求局投篮比赛，甲、乙平局的概率； (2)设共进行了局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望． 解：(1)设事件表示甲命中，事件表示乙命中，则，， 所以局投篮比赛，甲、乙平局概率为． (2)1局投篮比赛，甲获胜的概率为， 因为进行了局投篮比赛，各局比赛也互不影响， 可知随机变量～， 所以． 16．(15分) 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若，求的值． 解：(1)由，得， 又，得， 又因为，所以. (2)∵，∴， 在△ABC中，由正弦定理，得， 解得，由，得，所以， 因为在△ABC中，， 所以. 17．(15分) 如图，三棱锥中，，，点是的中点. (1)求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)点在棱上，且，求直线与平面所成角正弦值. 解：(1)因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥. 由，， 所以，所以，所以， 又因为，点是的中点， 所以，且，所以， 所以，且，所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，所以. (2)由(1)可知：平面，又，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 又由点是的中点，所以，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由，，，，， 所以，又有，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，， 所以，设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角正弦值为. 18．(17分) 已知椭圆:的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积 为.斜率为的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，若，,三点不共线，且,的斜率满足， 求证：为定值. 解：(1)因为，所以， 又连接四个顶点所得菱形的面积为，可得， 解得,，所以椭圆方程为.………………………………4分 (2)如图所示： 设直线的方程为：，，， 联立，可得：，则， 由韦达定理可得：，， 又由，可得， 代入可得，即.所以，，所以 故为定值. ………………………………17分 19．(17分) 已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根，. (i)求的取值范围； (ii)证明：． 解：(1)由题意得，，则， 由，解得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减.……………4分 (2)(i)由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． ……………………………10分 (ii)不妨设，则，且． 解法一：当时，，即； 当时，． 设， 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以， 又，，，在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二：设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又，，在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． ………………………………17分 2024年下期宁远一中高三数学周练(四)参考答案 1～8 DBCC CBAA 9．BCD 10. AD 11. ABD 12． 13． 14． 15． (1)设事件表示甲命中，事件表示乙命中，则，， 所以局投篮比赛，甲、乙平局概率为． (2)1局投篮比赛，甲获胜的概率为， 因为进行了局投篮比赛，各局比赛也互不影响， 可知随机变量～， 所以． 16．(1)由，得， 又，得， 又因为，所以. (2)∵，∴， 在△ABC中，由正弦定理，得， 解得，由，得，所以， 因为在△ABC中，， 所以. 17.(1)因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥. 由，， 所以，所以，所以， 又因为，点是的中点， 所以，且，所以， 所以， 且，所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体为以 为底面圆半径，以为高的圆锥，所以. (2)由(1)可知：平面，又，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 又由点是的中点，所以，以为坐标原点，以，，所在直线分别 为，，轴建立空间直角坐标系，由，，， ，，所以，又有，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，， 所以，设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角正弦值为. 18．(1)因为，所以， 又连接四个顶点所得菱形的面积为，可得， 解得,，所以椭圆方程为.…………………4分 (2)设直线的方程为：，，， 联立，可得：，则， 由韦达定理可得：，， 又由，可得， 代入可得，即.所以，，所以 故为定值. ………………………………17分 19．(1)由题意得，，则， 由，解得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；……………4分 (2)(i)由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． ……………………………10分 (ii)不妨设，则，且． 解法一：当时，，即； 当时，． 设， 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以， 又，，，在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又，，在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． ………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$