第4章 一次函数 单元练习2024-2025学年湘教版数学八年级下册

初中数学湘教版八年级下册第四单元 一次函数 单元练习 一、单选题 1．下列各种图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 中自变量 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．直线 不经过的象限是 （　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 4．把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（　　） A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2 5．正比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y=k（1﹣x）在同一个直角坐标系内的图象大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 6．已知一次函数 . 若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y=4x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（　　） A．(2，2) B．(2.5，1.5) C．(3，1) D．(1.5，2.5) 二、填空题 11．若函数y=（a-3）x|a|-2+2a+1是一次函数，则a=　 　. 12．如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为　 　. 13．按如图所示的运算程序，输入一个有理数x，便可输出一个相应的有理数y，写出y与x之间的关系式：　 　． 14．若函数 是一次函数，则m=　 　，且 随 的增大而　 　 15．某班带队到展览馆参观，并要求作好记录，小亮随队伍步行一段时间后，发现未带笔记本，随即跑步返回拿到笔记本后又以相同的速度追赶队伍，恰好与队伍在同一时间到达展览馆．行程与时间的关系如图所示，其中实线表示队伍的图象，虚线表示小亮的图象，则小亮跑步的速度为　 　米/分钟． 三、解答题 16．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数． x （元） 15 20 25 … y （件） 25 20 15 … （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）求销售价定为30元时，每日的销售利润． 17．已知一次函数 ，求： （1）m为何值时，y随 的增大而减少？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在 轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ （4）图象能否过第一、二、三象限？ 四、综合题 18．某通讯公司推出①、②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式； （2）何时两种收费方式费用相等？ 19．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为 S1 m，小明爸爸与家之间的距离为S2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数关系的图像． （1）求S2与t之间的函数关系式： （2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？ 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）． （1）求正比例函数与一次函数的关系式； （2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标 （4）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】函数的概念 【解析】【解答】过x轴上一点作x轴的垂线，若与函数图象有且仅有一个交点，则该图像表示函数的图象；若与函数图象有不止一个交点，则该图像不是函数图象．在A.C.D三个图像中，与y轴平行的直线均与函数图象有只有一个交点，所以都是函数图象，即y是x的函数；只有B中有两个交点，故B不是函数． 【分析】根据函数的定义，给定一个自变量的值，函数值有唯一确定的值和它相对应可知B不是。 2．【答案】D 【知识点】函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解:根据题意得:x≥0且3-x≠0， ∴ 的取值范围是x≥0且x≠0. 故答案为：D. 【分析】使二次根式有意义，即是使被开方数大于等于0；使分式有意义，即是使分母不为0，据此解答即可. 3．【答案】B 【知识点】一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵ 中，k=-2＜0，b=3>0， ∴一次函数过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：B． 【分析】根据一次函数的性质进行选择即可． 4．【答案】B 【知识点】一次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：根据题意，将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为： y=2（x+1）﹣1，即y=2x+1， 故答案为：B. 【分析】根据直线平移规律：“自变量x上左加右减”即可直接得出答案。 5．【答案】D 【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象 【解析】【解答】解：分两种情况：（1）当k＞0时，正比例函数y=kx的图象过原点、且过第一、三象限，一次函数y=k（1﹣x）=﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，选项D符合； （2.）当k＜0时，正比例函数y=kx的图象过原点、第二、四象限，一次函数y=k（1﹣x）=﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，无选项符合． 故选D． 【分析】分k大于0和k小于0两种情况讨论．k＞0时，分别画出两函数图象；k＜0时分别画出两函数图象；与选项中图象对照．符合题意的即为正确答案． 6．【答案】B 【知识点】一次函数的性质 【解析】【解答】∵ 随 的增大而增大， ∴ ， ，故答案为：B. 【分析】一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大：当k＜0时，y随x的增大而减小。根据性质可得关于k的不等式，解这个不等式即可求解。 7．【答案】B 【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象 【解析】【解答】解：因为正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限， 所以k＜0， 所以一次函数y=x+k的图象经过一、三、四象限， 故选B 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 8．【答案】B 【知识点】一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y=4x+2上， ∴y1=﹣2×4+2=﹣6，y2=﹣1×4+2=﹣2，y3=1×4+2=6． ∵﹣6＜﹣2＜6， ∴y1＜y2＜y3． 故选B． 【分析】由点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．（由k=4＞0，找y值随x值的增大而增大来解决问题亦可） 9．【答案】A 【知识点】函数的图象 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3， ∴CD=AB=2，BC=AD=3， ∵点E是BC边上靠近点B的三等分点， ∴CE= ×3=2， ①点P在AD上时，△APE的面积y= x•2=x（0≤x≤3）， ②点P在CD上时，S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP， = （2+3）×2﹣ ×3×（x﹣3）﹣ ×2×（3+2﹣x）， =5﹣ x+ ﹣5+x， =﹣ x+ ， ∴y=﹣ x+ （3＜x≤5）， ③点P在CE上时，S△APE= ×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7， ∴y=﹣x+7（5＜x≤7）， 故选：A． 【分析】求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可． 10．【答案】B 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【解答】解：依题可得： A（4，0），B（0，4）， 设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，如图： 由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线， ∵P（2，0）， ∴P1（-2，0）， 设P2（x，y）， ∴， 解得：， 设直线P1P2解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直线P1P2解析式为y=x+， ∴， 解得：， ∴Q（，）. 故答案为：B. 【分析】根据题意可得A（4，0），B（0，4），设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线，根据点关于点对称分别求出P1、P2点坐标，由待定系数法求得直线P1P2解析式，将直线P1P2解析式与y=-x+4联立解方程即可得答案. 11．【答案】-3 【知识点】一次函数的概念 【解析】【解答】解：∵函数y=（a-3）x|a|-2+2a+1是一次函数， ∴a=±3， 又∵a≠3， ∴a=-3. 故答案为：-3. 【分析】形如“y=kx+b (K≠0）”的函数就是一次函数，根据定义自变量的系数不为0，自变量的次数只能为1，从而列出混合组，求解即可. 12．【答案】y＝2x+2 【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式 【解析】【解答】解：设该直线方程是：y＝kx+b（k＞0）. 根据图象知，该直线经过点（﹣1，0）、（0，2）， 则 ，解得， ， ∴此函数的解析式为y＝2x+2. 故答案是：y＝2x+2. 【分析】由图可知：直线与x轴的交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，2），设该直线方程是：y＝kx+b（k＞0），把这两个点的坐标代入解析式可得关于k、b的方程组解方程组即可求解. 13．【答案】y＝5x＋6 【知识点】函数解析式 【解析】【解答】解：由题意得 y=(x+2) ×5-4，即y=5x+6. 【分析】由运算程序可知y=(x+2) ×5-4，整理即可求解。 14．【答案】m=-1；减小 【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵此函数是一次函数， ∴|m|=1且m-1≠0 解之：m=±1.且m≠1 ∴m=-1 故答案为：m=-1 【分析】根据一次函数的定义，自变量的一次式的系数不等于0，且次数等于1，建立方程和不等式求解即可；再根据一次函数的性质当k＜0时，y随x的增大而减小。 15．【答案】200 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【解答】设队伍前进时的函数关系式为y=kx， 把点（24，1200）代入得：1200=24k， 解得：k=50， ∴解析式为y=50x， 队伍走到展览馆所用的时间为：2000÷50=40（分钟）， 则小亮返回之后队伍走到展览馆所用的时间为：40-24=16（分钟）， 根据图象可知，小亮返回之后到到达展览馆走的路程为：1200+2000=3200米， ∴小亮跑步的速度为：3200÷16=200（米/分钟） 故答案为：200． 【分析】根据图像信息求出队伍的速度，再由总路程求出队伍走到展览馆所用的时间，求出小亮返回之后队伍走到展览馆所用的时间，由图形信息求出小亮返到达展览馆走的路程，得到小亮跑步的速度. 16．【答案】（1）y=－x+40 （2）解：200元 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用 【解析】【解答】（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b， ∵， ∴ 解之： ∴y=-x+40 （2）当x=30时，每日的销售利润=（-30+40）（30-10）=200 【分析】（1）利用待定系数法，求出y与x的函数解析式即可。 （2）每日的销售利润=（售价-进价）×销售量y，计算即可求出答案。 17．【答案】（1）解：利用函数性质，4-2m<0，所以m<-2 （2）解：由题意得m-4<0，解得m<4 （3）解：由题意得，解得－2＜m＜4. 所以当m＞4时图象经过第一、三、四象限. （4）解：由题意得，解得m>4. 所以当－2＜m＜4时图象经过第一、二、三象限。 【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【分析】（1）利用一次函数性质，可知k0，即4-2m0，求得m取值范围即可。 （2）令x=0，由题意得y=m-40，求得m取值范围。 （3）图象经过第一、三、四象限，根据图像性质可知，k0，b0，即4+2m0、m−40，列不等式组求解。 （4）当图象过第一、二、三象限时，k0，b0，即4+2m0、m−40，列不等式组求解m的取值范围即可。 18．【答案】（1）解：设 ， ，由题意得：将 ， 分别代入即可： ， ， ， 故所求的解析式为 ； （2）解：当通讯时间相同时 ，得 ，解得 ． 答：通话300分钟时两种收费方式费用相等 【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息 【解析】【分析】（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据（1）的结论列方程解答即可． 19．【答案】解：（1）2400÷96＝25(min) ∴点E、F的坐标为（0，2400）（25，0）设EF的函数关系式为S2="kt+b，" 则有，解得，∴S2=－96t＋2400.（2）B、D点的坐标为（12，2400）、（22，0）．得BD段的函数关系式为y=﹣240x+5280，与S2=－96t＋2400的交点坐标为（20，480）所以小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家480m. . 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用 【解析】【分析】一次函数的应用，通过函数计算生活中的实际问题。 20．【答案】（1）解：∵一次函数y＝k1x＋b过点A（－3，0）； C（3，4） ∴ 解得： ∴一次函数关系式为y＝ x＋2 ∵正比例函数y＝kx的图象过点为C（3，4） ∴4=-3k2 ∴k2= 正比例函数：y＝ x （2）解：如图所示，作D1M⊥X轴于M点，作D2N⊥Y轴于N，在等腰△AD1B中， A D1=AB ； ∠D1AB=90° ∠D1DA=∠AOB=90° ∴∠D1AM+∠BAO=90° 又∵∠ABO+∠BAO=90° ∴∠D1AM =∠BAO 在△D1DA与△ OAB中 ∠D1AM =∠BAO（已证） ∠D1MA=∠AOB（已证） A D1=AB （已证） ∴△D1MA≌△OAB（AAS） ∴D1 M=OA=3；AM=BO=2 ∴OM=5 ∵D1在第二象限，∴D1(-5，3) 同理证：△D2NB≌△BOA（AAS） ∴D2(-2，5) （3）解：存在；作C关于X轴对称点C1，连接BC1，交X轴于E，此时△BCE周长最小。∵∴ ∴BC1的解析式为：y=-2x+2 令y=0，得0=-2x+2， x=1 ∴E点的坐标为（1，0） （4）解：P （5，0） P （-5，0） P (6， 0) P ( ，0) 【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质 【解析】【解答】（4）①当OC是腰，O是顶角的顶点时，OP=OC，则点P的坐标为（5，0）或（-5，0）； ②当OC是腰，C是顶角的顶点时，CP=CP，则点P与点O关于x=3对称，则点P的坐标为（6，0）； ③当OC是底边时，设点P的坐标为（a，0），则（a-3）2+42=a2，解得a=，则点P的坐标为（，0）. 综上可知，点P的坐标（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）. 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，把点A（－3，0）、C（3，4）代入一次函数y＝k1x＋b中，把点C（3，4）代入正比例函数y＝kx中，得到方程解出即可；（2）注意此问要分两种情况；（3）作C关于X轴对称点C1，连接BC1，交X轴于E，此时△BCE周长最小，待定系数法求出BC1的解析式，进而求出点E的坐标；（4）分①当OC是腰，O是顶角的顶点时；②当OC是腰，C是顶角的顶点时；③当OC是底边时三种情况，分别根据等腰三角形的性质、对称性及勾股定理求得点P的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$