导数练习卷-2025届高三数学一轮专题复习

2025届新高考数学一轮复习导数练习卷 一、单选题 1．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 3．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 7．若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，，的导数为，则（   ） A． B．当时， C．曲线在点处的切线方程为 D．当时， 10．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点对称 D．当时， 三、填空题 12．若曲线在处切线的倾斜角为，则 . 13．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是 . 14．设是定义在上的奇函数的导函数，且，当，，则不等式的解集是 . 四、解答题 15．已知函数在处的切线平行于轴. (1)求与的关系； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 16．已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 17．设函数的导函数为. (1)求函数的单调区间和极值； (2)证明：函数存在唯一的极大值点，且. （参考数据：） 18．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，． （1）用表示直道的长度； （2）计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值． 19．已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C A B B ACD BD 题号 11 答案 BD 12． 13． 14． 15．（1）由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； （2）函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 16．（1）当时，， 且，                                              令，即； ，，                                                 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立．      即在上恒成立， 则在上恒成立，                                 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，                                         所以，实数的取值范围为. 17．（1）函数，定义域为， ，， 解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，且，， 所以根据零点定理，使，使， 即时，，为减函数； 时，，为增函数， 所以存在唯一极大值点，即， 又因为， 所以，即，得证! 18．解：（1）过点作，垂足为， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由正弦定理可得， ∴，， （2）在中，由正弦定理可得， ∴， ∴， 又 ∴， 设三项费用之和为， 则 ，， ∴，令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴，即三项费用总和的最小值为万元． 19．（1）证明：要证，只需证. 当时，则，其中， 可得，令得，，列表如下： 1 递减 极小值 递增 所以，函数在处取得即小值，亦即最小值，即， 所以，. （2）解：因为，其中，则， 当时，，，此时，函数在上单调递增， 当时，令，可得，列表如下： 递减 极小值 递增 所以，， 由题意可得，即. 令，其中，且. 不等式即为，. ， 当且仅当时，即时，. 所以，函数在单调递增，又，则. 因此，实数的取值范围是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$