考点突破第10节 平面直角坐标系及函数的概念(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 10 节 平面直角坐标系及函数的概念 一、单选题（本大题共 10小题） 1．在仪仗队列中，共有八列，每列 8 人，若战士甲站在第二列从前面数第 3 个，可以表示为(2， 3)，则战士乙站在第七列倒数第 3 个，应表示为( ) A．(7，6) B．(6，7) C．(7，3) D．(3，7) 2．下列表达式中 ,y 不是 x 的函数的是 ( ) A．y=2x B．y=x2 C．y=± �(x>0) D．y=|x| 3．函数 y= � + 1+ 1 �−2 中 ,自变量 x 的取值范围是 ( ) A．x≥1 B．x>-1 且 x≠2 C．x≠2 D．x≥-1 且 x≠2 4．共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车 APP，如 图，“ ”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车 停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是( ) A．F6 B．E6 C．D5 D．F7 5．已知点� �, � ，若� − � > 0，�� < 0，则点�所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（新考向—传统文化）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为 流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帥”的点的坐标分别为 (0，2)，(－1，－1)，则表示棋子“馬”的点的坐标为( ) A．(－3，3) B．(0，3) C．(3，2) D．(1，3) 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是  0,0O ，  1, 2A ，  3,3B ，  5,0C ， 则四边形OABC的面积为（ ） A．14 B．11 C．10 D．9 8．在平面直角坐标系中，已知点 A(1，－5)，B(－3，7)，则线段 AB 长为( ) A．12 B．4 C．4 10 D．16 10 9．（新考向—跨学科综合）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度 y(cm) 与所挂物体的质量 x(kg)之间有如下表所示的关系： x(kg) 0 1 2 3 4 … y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是( ) A．在弹簧的弹性限度内，y 随 x 的增大而增大 B．在弹簧的弹性限度内，所挂物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增加 0.5 cm C．在弹簧的弹性限度内，所挂物体质量为 7 kg 时，弹簧长度为 13.5 cm D．不挂重物时，弹簧的长度为 0 cm 10．经过以下一组点可以画出函数 y＝2x 的图象的是( ) A．(0，0)和(2，1) B．(1，2)和(－1，－2) C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2) 二、填空题（本大题共 6小题） 11．拖拉机的油箱可装 56 升油 ,犁地时平均每小时耗油 6 升 ,则油箱中剩油量 q(升)与时间 t(时) 之间的函数关系式是 ,自变量 t 的取值范围是 . 12．在函数 y= 1 �−1 + 1 �−2 中 ,自变量 x 的取值范围是 . 13．已知第四象限内点 M 坐标为(2－a，3a＋6)，且 M 点到两坐标轴的距离相等，则点 M 的坐 标是________． 14．点 A(3m－1，2m)位于第一、三象限的角平分线上，则 m＝________． 15．定义“在四边形 ABCD 中，若 AB∥CD，且 AD∥BC，则四边形 ABCD 叫做平行四边形．” 若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(0，0)，(3，0)， (1，3)，则第四个顶点的坐标是 ________． 16．某天早晨，王老师从家出发，驾车前往学校，途中在路旁一家饭店吃早餐，如图所示是王 老师从家到学校这一过程中行驶路程 s(km)与时间 t(min)之间的关系．王老师吃早餐以前的速 度是________km/min，吃完早餐以后的速度是________km/min. 三、解答题（本大题共 6小题） 17．如图 ,已知点 P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线 OC 上 ,AP⊥BP,点 A 在 x 轴上 ,点 B 在 y 轴上． (1)求点 P 的坐标． (2)当∠APB 绕点 P 旋转时 ,OA+OB 的值是否发生变化?若变化 ,求出其变化范围 ;若不变 ,求出这 个定值． 18．一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发、匀速行驶.两车在途 中相遇时,快车恰巧出现故障,慢车继续驶往甲地,快车维修好后按原速继续驶往乙地,两车到 达各自终点后停止.两车之间的距离 s(km)与慢车行驶的时间 t(h)之间的关系如图所示. (1)快车的速度为____km/h,C 点的坐标为____; (2)慢车出发多少小时后,两车相距 200 km? 19．定义：在平面直角坐标系中，已知点 P1(a，b)，P2(c，b)，P3(c，d)，这三个点中任意两点 间的距离的最小值称为点 P1，P2，P3 的“最佳间距”．例如：如图，点 P1(－1，2)，P2(1，2)， P3(1，3)的“最佳间距”是 1. (1)理解：点 Q1(2，1)，Q2(5，1)，Q3(5，5)的“最佳间距”是________． (2)探究：已知点 O(0，0)，A(－4，0)，B(－4，y)(y≠0)． ①若点 O，A，B 的“最佳间距”是 2，则 y 的值为________； ②点 O，A，B 的“最佳间距”最大是多少？请说明理由． 20．已知点 P(2m－6，m＋2)． (1)若点 P 在 y 轴上，求点 P 的坐标； (2)若点 P 的纵坐标比横坐标大 9，试判断点 P 在第几象限； (3)若点 P，Q 都在过点 A(2，3)且与 x 轴平行的直线上，AQ＝4，求点 P 与点 Q 的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 和正方形 EFGC 面积分别为 64 和 16. (1)请写出点 A，E，F 的坐标； (2)求△BDF 的面积． 22．（思想方法—数形结合思想）如图(1)，在长方形 ABCD 中，AB＝12 cm，BC＝10 cm，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到点 D 停止；点 Q 从点 D 出发，沿 D→C→B→A 路线运动，到点 A 停止．若点 P，Q 同时出发，点 P 的速度为 1 cm/s，点 Q 的速度为 2 cm/s， 运动 a s 后，点 P，Q 同时改变速度，点 P 的速度变为 6 cm/s，点 Q 的速度变为 b cm/s.图(2) 是点 P 运动 x s 后△APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象，图(3)是点 Q 出发 x s 后△AQD 的面积 S2(cm2)与 x(s)的函数关系图象． (1)动点 P在线段________上运动时，S1的面积保持不变；动点 Q到达点 A时，x的值为________； (2)求 a，b 的值； (3)设点 P 离开点 A 所走的路程为 y1(cm)，点 Q 离开点 D 所走的路程为 y2(cm)，当 x＞a 时， 分别求出 y1，y2 与 x 的函数关系式； (4)当两个动点所走的路程比为 1 2 时，直接写出 x 的取值范围． 答案 1，A 2，C 3，D 4，A 5，D 6，C 7，D 8，C 9，D 10，B 11． q=56-6t 0≤t≤28 3 12． x>1 且 x≠2 13． (6，－6) 14． 1 15． (4，3)或(－2，3)或(2，－3) 16． 0.5；1 17． (1)∵点 P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线 OC 上 ,∴2m-1=6m-5,∴m=1,∴P(1,1)． (2)不发生变化．如图 ,过点 P 作 PM⊥y 轴于 M,PN⊥OA 于 N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,∴ 四边形 OMPN 是矩形．∵OP 平分∠MON,PM⊥OM,PN⊥ON,∴PM=PN,∴四边形 OMPN 是正方 形．∵P(1,1),∴PM=PN=OM=ON=1．∵AP⊥BP,∴∠APB=∠MPN=90°,∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+ ∠NPA=90°,∴∠MPB=∠NPA．在△PMB 和△PNA 中 , ∠��� = ∠���, �� = ��, ∠��� = ∠���, ∴△PMB≌△PNA(A．S．A．),∴BM=AN,∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=2． 18．(1)由题图可知,快车先到终点,慢车的速度为 60÷(4-3)=60(km/h),∴慢车到达终点时所 用时间为 480÷60=8(h),∴C 点的坐标为(8,480). ∵两车相遇时慢车走的路程为 60×3=180(km), ∴快车的速度为(480-180)÷3=300÷3=100(km/h).故答案为 100,(8,480). (2)快车到达终点所用时间为 480÷100+1=5.8(h),此时慢车走了 60×5.8=348(km),348 km＞ 200 km.分两种情况: ①当 0≤t≤3,即相遇前两车相距 200 km 时,根据题意,得 60t+100t+200=480, 解得 t= 7 4 ; ②当 3＜ t≤8,即相遇后两车相距 200 km 时, 根据题意,得 60(t-3)+100(t-4)=200,解得 t= 39 8 . 综上,慢车出发 7 4 h 或 39 8 h 后,两车相距 200 km. 19． (1)因为点 Q1(2，1)，Q2(5，1)，Q3(5，5)，所以 Q1Q2＝3，Q2Q3＝4. 因为垂线段最短， 所以 Q1Q3＞3， 所以点 Q1(2，1)，Q2(5，1)，Q3(5，5)的“最佳间距”是 3.故答案为 3. (2)①因为点 O(0，0)，A(－4，0)，B(－4，y)， 所以 AB∥y 轴，OA＝4. 因为垂线段最短， 所以 OB＞OA. 因为点 O，A，B 的“最佳间距”是 2， 所以 AB＝2， 所以 y＝±2. 故答案是±2. ②点 O，A，B 的“最佳间距”最大是 4. 理由：由点 O(0，0)，A(－4，0)知 OA＝4. 由点 A(－4，0)，B(－4，y)知 AB⊥x 轴，且 AB＝ |y|， 所以△OAB 是以点 A 为直角顶点的直角三角形，所以“最佳间距”等于 OA 或 AB 的长度，即 4 或 |y|.当 OA＞AB 时，“最佳间距”等于 |y|，此时 |y|＜4； 当 OA＝AB 时，“最佳间距”等于 4； 当 OA＜AB 时，“最佳间距”等于 4. 所以点 O，A，B 的“最佳间距”最大是 4. 20． (1)因为点 P 在 y 轴上， 所以 2m－6＝0，解得 m＝3， 所以点 P 的坐标为(0，5)． (2)根据题意得 2m－6＋9＝m＋2， 解得 m＝－1，所以点 P 的坐标为(－8，1)， 所以点 P 在第二象限． (3)因为点 P，Q 都在过点 A(2，3)且与 x 轴平行的直线上，所以点 P 和 Q 的纵坐标都为 3，即 m＋2＝3， 解得 m＝1，所以 P(－4，3)． 因为 AQ＝4，所以 Q 点的横坐标为 2＋4＝6 或 2－4＝－2，所以点 Q 的坐标为(－2，3)或(6， 3)． 21． (1)因为正方形 ABCD 和正方形 EFGC 面积分别为 64 和 16， 所以正方形 ABCD 和正方形 EFGC 的边长分别为 8 和 4， 所以 OG＝8＋4＝12， 所以 A(0，8)，E(8，4)，F(12，4)． (2)△BDF 的面积＝△BDC 的面积＋梯形 BCGF的面积－△DGF 的面积，即1 2 ×8×8＋1 2 ×(4＋8)×4 － 1 2 ×(8＋4)×4＝32＋24－24＝32. 22． (1)在长方形 ABCD 中，CD＝AB＝12，AD＝BC＝10.当点 P 在 BC 边上时，△APD 的面积 S1＝ 1 2 ×AD×CD＝1 2 ×10×12＝60 是定值．由题图(3)可知，点 Q 从点 D 到点 A 共计用时 28 s．故答案 为 BC，28. (2)由题图(2)可知，点 P 到点 B 所用时间为32 3 － 12＋10 6 ＝7(s)，∴1×a＋6(7－a)＝12，解得 a＝6.根据题图(3)可知，2×6＝12＝CD，∴点 Q 在到达点 C 后开始改变速度，∴点 Q 从点 C 到点 A 所用时间为 28－6＝22(s)，∴22b＝10＋12，解得 b＝1.综上，a，b 的值分别为 6，1. (3)由(2)知 a＝6，b＝1，∴当 x＞6 时，y1＝1×6＋6(x－6)＝6x－30，y2＝2×6＋(x－6)＝x＋6. (4)分两种情况：① 当 x＞6 时，y1＝6x－30，y2＝x＋6，∴(6x－30) (x＋6)＝1 2 或(x＋6) (6x －30)＝1 2，解得 x＝6(舍去)或 x＝10.5；②当 0＜x≤6 时，y1＝x，y2＝2x，y1 y2＝1 2，∴ 0＜x≤6 时，两个动点所走的路程比始终为 1 2.综上可知，当 x＝10.5 或 0＜x≤6 时，两个动点 所走的路程比为 12.