考点突破第9节 不等式(组)及应用(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 9 节 不等式(组)及应用 一、单选题（本大题共 10小题） 1．下列式子中，一元一次不等式有( ) ①x＋2x2>1；②2x－y>0；③ 1 x－1 －1>0；④2x－3>5；⑤x－2 3 >1；⑥3x－x 2 >2－x. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．如图，数轴上表示的不等式组的解集为( ) A．1＜x≤2 B．x≤2 C．x＜1 D．空集 3．下列数中，能使不等式 5 1 6x   成立的 x 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若 m n ，则下列不等式中正确的是（ ） A． 2 2m n   B． 1 1 2 2 m n   C． 0n m  D．1 2 1 2m n   5．不等式组 1 0 1 0 x x      的解在数轴上表示正确的是( ) A． B． C． D． 6．不等关系在生活中广泛存在，如图，�，�分别表示两位同学的身高，�表示台阶的高度 .图 中两人的对话体现的数学原理是（ ） A． 若� > �,则� + � > � + � B． 若� > �,� > �,则� > � C． 若� > �,� > 0,则�� > �� D． 若� > �,� > 0,则� � > � � 7．下列各式是一元一次不等式的是( ) A．x2－9x≥x2＋7x－6 B．x＋1＝0 C．x＋y>0 D．x2＋x＋9≥0 8．如图，数轴上表示的不等式组的解集是( ) A．－2＜x＜4 B．－2＜x≤4 C．－2≤x＜4 D．－2≤x≤4 9．已知非负实数 a，b，c 满足a－1 2 ＝ b－2 3 ＝ 3－c 4 ，设 S＝a＋b＋c，则 S 的最大值为( ) A．11 2 B．15 2 C．27 4 D．31 4 10．规定为不大于 x 的最大整数，如＝3，＝－3，若＝3 且＝－4，则 x 的取值范围为( ) A．5 2 ＜x＜7 2 B．3＜x＜7 2 C．3＜x≤7 2 D．5 2 ≤x＜7 2 二、填空题（本大题共 8小题） 11．下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并回答相应问题． 解不等式： �+5 2 －1≤3�+2 3 . 解：3(x＋5)－6≤2(3x＋2)，……第一步 3x＋15－6≤6x＋4，……第二步 3x－6x≤4＋6－15，……第三步 －3x≤－5，……第四步 x≤5 3 .……第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； 第 步出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该不等式的正确解集： . (3)除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同 学提出一条建议． 12．一瓶饮料净重 360 g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”．设该瓶饮料中蛋白质的含量为 x g， 则关于 x 的不等式为________． 13．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为 a b＝2a＋3B．如：1 5＝2×1＋3 ×5＝17，则不等式 x 4＞0 的解集为 ． 14．已知关于 x 的不等式(2a－b)·x＞a－2b 的解集是 x＞5 2 ，则关于 x 的不等式 ax＋b＜0 的解 集为________． 15．已知关于 x 的不等式(a－1)x>1，可化为 x< 1 a－1 ，试化简 |1－a|－ |a－2|，正确的结果是 __________． 16．（新考法）我们定义一种新运算：x⊗y＝xy 3 －2y，如 2⊗3＝2×3 3 －2×3＝－4，则关于 a 的 不等式 2⊗a≥2 的最大整数解为__________． 17．若两个方程 19＋x＝2x，21＋x＝2x＋1 的解都是关于 x 的不等式组 2x－m＞1， x－2≤m 的解，则 m 的取值范围是________． 18．按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于 30”为一次运算．若输入 x 后进行了 2 次运算就停止了，则 x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共 8小题） 19．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌 毽子．已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元；购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325 元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000 元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的 5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的 16 倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是 5 元，每售出一个乙种品牌毽子利润是 4 元，在（2） 的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 20．周长相等的长方形 ABCD 和正方形 CEFH，按如图所示的方式叠放在一起(其中点 D 在 EC 上，点 B 在 CH 的延长线上，AD 和 FH 相交于点 G)，正方形 CEFH 的边长为 m，长方形 ABCD 的宽为 x，长为 y(x<m<y)． (1)写出 x，y，m 之间的等量关系； (2)若长方形 ABHG 的周长记为 C1，长方形 DEFG 的周长记为 C2. ①求 C1＋C2 的值(用含 y，m 的代数式表示)； ②若关于 y 的不等式 C1＋C2<10＋m 的正整数解至少有两个，求 m 的取值范围． 21．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变． 请解决以下两个问题： (1)利用性质①比较 2a 与 a 的大小(a≠0)； (2)利用性质②比较 2a 与 a 的大小(a≠0)． 22．某公司计划购买 A，B 两种型号的机器人搬运材料．已知 A 型机器人比 B 型机器人每小 时多搬运 30 kg 材料，A 型机器人用 2 小时搬运的材料与 B 型机器人用 3 小时搬运的材料相等． (1)求 A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B 两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不少于 1 700 kg， 求至少购进 A 型机器人多少台． 23．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃 油公交车．新能源公交车有 A型和 B型两种车型，若购买 A型公交车 3辆， B型公交车1辆，共 需 260万元；若购买 A型公交车 2辆， B型公交车 3辆，共需 360万元． (1)求购买 A型和 B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的 A型和 B型新能源公交车每辆年均载客量分别为 70万人次和100万人 次．公司准备购买 10辆 A型、 B型两种新能源公交车，总费用不超过 650万元．为保障该线路 的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 24．（新考法）我们定义，关于同一个未知数的不等式 A 和 B，两个不等式的解集相同，则称 A 与 B 为同解不等式． (1)若关于 x 的不等式 A：1－3x＞0，不等式 B：3x＋a 2 ＜1 是同解不等式，求 a 的值； (2)若关于 x 的不等式 C：x＋1＞mn，不等式 D：x－3＞m 是同解不等式，其中 m，n 是正整数， 求 m，n 的值； (3)若关于 x 的不等式 P：(2a－b)x＋3a－4b＜0，不等式 Q：14x－1 2 >7 2 －2x 是同解不等式，试 求关于 x 的不等式(a－4b)x＋2a－3b＜0 的解集． 25．某公司有 A、B 两种型号的客车共 20 辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在 20 辆客车都坐满的情况下，共载客 720 人． A 型号客车 B 型号客车 载客量(人 /辆) 45 30 租金(元 /辆) 600 450 (1)A、B 两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用 A、B 两种型号的客车共 8 辆，送七年级师生到惠东伟鸿教育基地参加社会 实践活动，已知该中学租车的总费用不超过 4 600 元，则最多能租用多少辆 A 型号客车？ (3)在(2)的条件下，若七年级的师生共有 295 人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱 的租车方案． 26．（思想方法-分类讨论）若三个代数式中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为 大于 1 的实数，则这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式 2x－5，2－x，－2 中， 当 2x－5＋2－x＞－2 时，解集为 x＞1，则代数式 2x－5，2－x，－2 构成“雅礼不等式”． (1)x－2，1，x＋1 可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若 ax，a＋1，x 构成“雅礼不等式”，求 a 的值或取值范围； (3)若 mx＋m，－2nx，n 构成“雅礼不等式”，求关于 x 的不等式组 2nx－n＜mx－m， 2mx＞n＋m 的解集． 答案 1，B 2，C 3，A 4，D 5，C 6，A 7，A 8，B 9，C 10，B 11． (1)不等式的性质 2；五；不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向未改变 (2)x≥5 3 (3)去分母和系数化为 1 时可能用到不等式的性质 3，不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不 等号的方向改变．(答案合理即可) 12． x≥360×0.5% 13． x＞－6 12，系数化为 1，得 x＞－6.故答案为 x＞－6. 14． x＞－8 15． －1 16． －2 17． 18≤m＜37 18． 39 4 ＜x≤33 2 19．(1)购买一个甲种品牌毽子需 15 元，购买一个乙种品牌毽子需 10 元； (2)共有 3 种购买方案； (3)学校购买甲种品牌毽子 60 个，购买乙种品牌毽子 10 个，商家获得利润最大，最大利润是 340 元 20． (1)∵长方形 ABCD 和正方形 CEFH 的周长相等，∴2(y＋x)＝4m，∴2m＝x＋y. (2)①由题意得 C1＝2(y－m＋x)，C2＝2(m－x＋m)，∴C1＋C2＝2(y－m＋x)＋2(m－x＋m)＝2m ＋2y. ②∵C1＋C2＝2m＋2y＜10＋m， ∴y＜5－1 2 m. ∵关于 y 的不等式 C1＋C2<10＋m 的正整数解至少有两个，∴2＜5－ 1 2 m，解得 m＜6.又∵m 为 正方形 CEFH 的边长，∴m 的取值范围是 0＜m＜6. 21． (1)当 a＞0 时，a＋a＞a＋0，即 2a＞a； 当 a＜0 时，a＋a＜a＋0，即 2a＜a. (2)当 a＞0 时，2＞1，得 2·a＞1·a，即 2a＞a； 当 a＜0 时，2＞1，得 2·a＜1·a，即 2a＜a. 22． (1)设 B 型机器人每小时搬运 x kg 材料，则 A 型机器人每小时搬运(x＋30)kg 材料． 根据题意，得 2(x＋30)＝3x，解得 x＝60. 当 x＝60 时，x＋30＝90. 答：A 型机器人每小时搬运 90 kg 材料，B 型机器人每小时搬运 60 kg 材料． (2)设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人(20－a)台．根据题意，得 90a＋60(20－a)≥1 700， 解得 a≥50 3 . ∵a 是整数，∴a 的最小值为 17， 答：至少购进 A 型机器人 17 台． 23． (1)购买 A型新能源公交车每辆需 60万元，购买 B型新能源公交车每辆需 80万元； (2)方案为购买 A型公交车 8辆，  B型公交车 2辆时，该线路的年均载客总量最大，最大载客量 为 760万人 24．(1)解不等式 A：1－3x＞0，得 x＜1 3 ；解不等式 B：3x＋a 2 ＜1，得 x＜2－a 3 .由题意得1 3 ＝ 2－a 3 ， 解得 a＝1. (2)解不等式 C：x＋1＞mn，得 x＞mn－1；解不等式 D：x－3＞m，得 x＞m＋3，所以 mn－1 ＝m＋3，所以 m＝ 4 n－1 .因为 m，n 是正整数，所以 n－1 为 1 或 4 或 2，所以 m＝4，n＝2 或 m ＝1，n＝5 或 m＝2，n＝3. (3)解不等式 Q：14x－1 2 >7 2 －2x，得 x＞4 9 .因为不等式 P 与不等式 Q 是同解不等式，所以解不等 式 P：(2a－b)x＋3a－4b＜0，得 x＞ 4b－3a 2a－b (2a－b＜0)，所以 4b－3a 2a－b ＝ 4 9 ，所以 7a＝8b，即 4b ＝3.5A．又因为 2a－b＜0，所以 a＜0，所以 a－4b＝a－3.5a＝－2.5a＞0，所以(a－4b)x＋2a －3b＜0 的解为 x＜－1 4 . 25．(1)设 A 型号的客车有 x 辆，B 型号的客车有 y 辆． 依题意得 � + � = 20, 45� + 30� = 720,解得 � = 8, � = 12. 答：A 型号的客车有 8 辆，B 型号的客车有 12 辆． (2)设租用 m 辆 A 型号客车，则租用(8－m)辆 B 型号客车．依题意得 600m＋450(8－m)≤4 600， 解得 m≤20 3 .又因为 m 为整数，所以 m 的最大值为 6. 答：最多能租用 6 辆 A 型号客车． (3)依题意得 45m＋30(8－m)≥295，解得 m≥11 3 .因为 m≤20 3 ，所以 11 3 ≤m≤20 3 .又因为 m 为整数，所以 m 可以为 4，5，6，所以共有 3 种租车方案，方案 1：租用 4 辆 A 型号客车，4 辆 B 型号客车； 方案 2：租用 5 辆 A 型号客车，3 辆 B 型号客车；方案 3：租用 6 辆 A 型号客车，2 辆 B 型号 客车．选择租车方案 1 所需总费用为 600×4＋450×4＝4 200(元)；选择租车方案 2 所需总费用 为 600×5＋450×3＝4 350(元)；选择租车方案 3 所需总费用为 600×6＋450×2＝4 500(元)．因为 4 200＜4 350＜4 500，所以最省钱的租车方案为租用 4 辆 A 型号客车，4 辆 B 型号客车． 26．(1)x－2，1，x＋1 可以构成“雅礼不等式”．∵x－2＋x＋1＞1，即 2x－1＞1 的解集为 x＞1， ∴x－2，1，x＋1 可以构成“雅礼不等式”． (2)①若 ax＋a＋1＞x，即(a－1)x＞－(a＋1)，则 a－1＞0，即 a＞1 且－ a＋1 a－1 ＝1，解得 a＝0(舍)； ②若 ax＋x＞a＋1，即(a＋1)x＞a＋1，则 a＋1＞0 且 a＋1 a＋1 ＝1，符合题意，此时 a＞－1； ③若 a＋1＋x＞ax，即(a－1)x＜a＋1，则 a－1＜0，即 a＜1 且 a＋1 a－1 ＝1(此方程无解，舍)． 综上，a＞－1. (3)①若－2nx＋n＞mx＋m，即(m＋2n)x＜n－m，则 m＋2n＜0，即 m＜－2n 且 n－m m＋2n ＝1，化简 得 n＝－2m，代入 m＋2n＜0 得－3m＜0，即 m＞0，则 n＜0.由 2nx－n＜mx－m，得(m－2n)x ＞m－n，即 5mx＞3m，∴x＞3 5 .由 2mx＞n＋m，得 2mx＞－m，∴x＞－1 2 ，此时不等式组的解 集为 x＞3 5 ；②若 mx＋m＋n＞－2nx，即(m＋2n)x＞－(m＋n)，则 m＋2n＞0 且－ m＋n m＋2n ＝1，化 简得 n＝－2 3 m，代入 m＋2n＞0，得 m＜0，则 n＞0.由 2nx－n＜mx－m，得(m－2n)x＞m－n， 即 7 3 mx＞5 3 m，∴x＜5 7 .由 2mx＞n＋m，得 x＜1 6 ，此时不等式组的解集为 x＜1 6 ； ③若 mx＋m－2nx＞n，即(m－2n)x＞－(m－n)，则 m－2n＞0，即 m＞2n 且－ m－n m－2n ＝1，化简 得 n＝2 3 m，代入 m－2n＞0 得 m－4 3 m＞0，解得 m＜0，则 n＜0.由 2nx－n＜mx－m，得(m－2n)x ＞m－n，即－1 3 mx＞1 3 m，解得 x＞－1；由 2mx＞n＋m，得 2mx＞5 3 m，解得 x＜5 6 ，此时不等式 组的解集为－1＜x＜5 6 .