考点突破第8节 分式方程及其应用(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 8 节 分式方程及其应用 一、单选题（本大题共 10小题） 1．下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是( ) A．1 x ＝2 B．2x 3 ＝ 3 π C． 1 x－1 ＝ 4 x D．x 2－1 x＋1 ＝2 2．在①x2－x＋1 x ，② 1 a －3＝a＋4，③x 2 ＋5x＝6，④ 2x x－3 ＝1 中，其中关于 x 的分式方程的个数 为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．解分式方程 1 51 3 1 2 6x x      时，去分母变形正确的是（ ） A． 2 6 2 5x    B． 6 2 2 5x     C． 2 6 1 5x   D． 6 2 1 5x    4．若关于�的方程 � �−1 − 2 = 3� 2�−2 的解为正数，则�的取值范围是（ ） A．� >− 2 3 B．� < 43 C．� >− 2 3 且� ≠ 0 D．� < 43且� ≠ 2 3 5．关于�的分式方程�−2 �−4 = � 2 2�−8有增根，则 �的值为( ) A．1 B．±1 C．2 D．±2 6．关于 x 的分式方程 x x－1 －2＝ k 1－x 的增根为( ) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝－2 D．x＝1 7．定义一种“⊗ ”运算：a⊗ b＝ b a－b (a≠b)，例如：1⊗ 3＝ 3 1－3 ＝－ 3 2 ，则方程 2⊗ x＝ 1 x－2 ＋1 的 解是( ) A．x＝－1 B．x＝1 2 C．x＝3 2 D．x＝2 8．如果关于 x 的分式方程 1 0 1 m x x    的解是负数，那么实数 m的取值范围是（ ） A． 1m 且 0m  B． 1m C．  1m D． 1m 且 1m   9．已知关于�的分式方程 � �+6 = 1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当� < 4时， 方程的解是负数；乙：当� > 6时，方程的解是正数．下列判断正确的是( ) A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 10． 如果关于 x 的不等式组 x－m 2 ＞0， x－4＜3(x－2) 的解集为 x＞1，且关于 x 的分式方程 1－x 2－x ＋ m x－2 ＝ 3 有非负整数解，则符合条件的所有整数 m 的值的和是( ) A．－2 B．－4 C．－7 D．－8 二、填空题（本大题共 8小题） 11．若关于 x 的方程 3 1 1 2 2 k x x      无解，则 k 的值为 ． 12．当 x＝________时，分式 1 5－x 与分式 2 2－3x 的值互为相反数． 13．已知关于 x 的分式方程m－2x x－2 ＝ 1 3 . (1)若该方程有增根，则增根是__________． (2)若该方程的解大于 1，则 m 的取值范围是__________． 14．关于�的分式方程 � �−3 = 1 3 的解是� = �，若� = � + 1，则� = . 15．1275 年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八 百六十四步，只知阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积 864 平方步，宽比 长少 12 步，问宽和长各几步．若设长为 x 步，则可列方程为 ． 16．若关于 x 的方程 1 x＋1 － a x－3 ＝ 2（a－1） x2－2x－3 的解为整数，则满足条件的所有整数 a 的和等于 ________． 17．若关于 x的一元二次方程 2( 2) 4 2 0m x x    有两个不相等实数解，且关于 y 的分式方程 3 2 2 2 my y y y      有整数解，那么满足条件的所有整数 m 的和为 . 18．阅读下面的问题：解方程 2 2 0x x   ． 解：（1）当 0x  时，原方程化为 2 2 0x x   ，解得 1 2x  ， 2 1x   （不合题意，舍去） （2）当 0x  时，原方程化为 2 2 0x x   ，解得 1 2x   ， 2 1x  （不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是 1 2x  ， 2 2x   ， 参照上述解题方法，则 2 1 1 0x x    的解为 ． 三、解答题（本大题共 7小题） 19．分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现 场考试项目评分准（试行）》，2024 年中考中对于体育现场考试项目中的男生 1000 米和女生 800 米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到 3 分 55 秒即可得到满分．在一次计时跑 步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完 800 米所用时间比这名男生 跑完 1000 米所用时间少 56 秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？ 20．为了响应国家号召，我市开展公益直播拓展兴企助农新渠道．已知，西红柿和土豆两种蔬 菜单价分别是每斤 5 元和每斤 2 元，售卖这两种蔬菜一天的销售总额为 600 元，其中西红柿比 土豆少卖 20 斤， (1)求这一天中，西红柿和土豆各卖了多少斤？ (2)线上开展直播平台后，两种蔬菜每天售卖数量大幅提升，据统计，线上这段时间西红柿共 销售了 4800 斤，土豆共销售了 5000 斤，西红柿每天销售数量是土豆的 12 25 ，西红柿销售天数 比土豆多了 10 天，求线上土豆的每天销售量． 21．随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型 5G 商品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每天比更新技术前多生产 30 万件产品，在 生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，求更新技术前每天 生产多少件产品？ 22．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经 销某品牌新能源汽车，去年 A 型车的销售总额为 5000万元，今年每辆车的售价比去年减少 2万 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少1000万元，求今年每辆 A 型车的售价 . 23．某茶具生产车间有 25 名工人生产茶壶和茶杯，1 个茶壶和 6 个茶杯配成一套．已知一名 工人一天可以生产 3 个茶壶或 7 个茶杯． (1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ (2)10 月一套茶具的成本比 9 月提高了 20%，9 月投入了 10 万元，10 月投入的比 9 月多 5000 元，结果生产的茶具比 9 月少 50 套，求 10 月每套茶具的成本是多少元？ 24．中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、团圆节等，是中国民间传统节日．中秋节这 天人们都要吃月饼以示“团圆”．商家购甲，乙两种月饼礼盒，已知每盒乙月饼礼盒进价比甲月 饼礼盒进价多 40 元，用 8000 元购进甲月饼礼盒和用 10000 元购进乙月饼礼盒的数量相同． (1)求甲，乙月饼礼盒的进价各为多少元？ (2)甲月饼礼盒每盒售价为 210 元，每天可卖出 30 盒；乙月饼礼盒每盒售价为 260 元，每天可 卖出 15 盒．在销售过程中为了增大甲月饼礼盒的销量，商家决定对甲月饼礼盒进行降价销售， 在现有售价的基础上，每降价 1 元，可多售出 2 盒．为更大程度让利顾客，每盒甲月饼礼盒售 价多少元时，商家日盈利可达到 3000 元？ 25．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素 C、叶 酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考 生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师 用 18 元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨 了 1 2 ，生物老师花了 30 元，但只比上周多买了 2 斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供 12 名同学使用，两个洋葱正好 1 斤，本校参加生物实验的同学 共 1392 人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加 生物实验的同学所用？ 答案 1，B 2，A 3，A 4，D 5，D 6，D 7，B 8，A 9，B 10，C 11，4 12． 12 5 13． (1)x＝2；(2)m＞5 3 且 m≠4 14． −3 15． x（x﹣12）＝864． 16． 7 17． 4 18． 1 1x  ； 2 2x   19．这名女生能拿到满分． 20． (1)西红柿卖了 80 斤．土豆卖了 100 斤 (2)线上土豆每天销售量为 500 斤 21． 解：设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产  30x  万件产品， 依题意，得： 400 500 30x x   ． 解得： 120x  ． 经检验， 120x  是原方程的解． 答：更新技术前每天生产 120 万件产品． 22．设今年每辆 A 型车的售价为 x 万元， 根据题意，得 5000 5000 1000 2x x    ， 解得 8x  ， 经检验： 8x  是原方程的解，且符合题意， 答：今年每辆 A 型车的售价为 8万元． 23．（1）解：设安排 x名工人生产茶壶，则安排  25 x 名工人生产茶杯， 每天生产的茶壶数为 3x个，每天生产的茶杯为  7 25 x 个， 根据题意得  6 3 7 25x x   ， 解得 7x  ， 25 7 18  ， 答：应安排 7 名工人生产茶壶，安排 18 名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：设 9 月的成本是每套 y 万元，则 10 月的成本是每套  1+20% y万元， 根据题意得   10 10 0.5 50 1 20%y y     ， 解得 0.025y  ， 经检验， 0.025y  是原方程的解，  0.025 1+20% 10000=300   （元）． 答：10 月每套茶具的成本是 300 元． 24． (1)甲月饼礼盒的进价为 160 元，乙月饼礼盒的进价为 200 元 ; (2)190 元 . 25． (1)上周生物老师购买洋葱的单价为 1 元/斤； (2)生物老师至少要再购买 20 斤洋葱 .