考点突破第7节 一元二次方程(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 7 节 一元二次方程 一、单选题（本大题共 11小题） 1．下列关于 x 的方程:①ax2+bx+c=0;②2(x-1)2=2x2;③x2-4+x5=0;④x2+2x= 1 � ;⑤(a2+1)x2=0;⑥xy+x-1=0,其中是一元二次方程的有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．  22 1x    B．  22 0x   C．  22 1x   D．  22 2x   3．若关于 x 的一元二次方程 2 6 9 0kx x   有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A． 1k  B． 1k  C． 1k  ，且 0k  D． 1k  ，且 0k  4．若 x= 2± 4−4×3× −1 2×3 是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是( ) A．3x2+2x-1=0 B．2x2+4x-1=0 C．-x2-2x+3=0 D．3x2-2x-1=0 5．若关于 x 的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5 不含一次项，则 m 的值为（ ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 6．输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如表: x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0 的一个正数解 x 的大致范围为( ) A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 7．用配方法解一元二次方程 22 3 1 0x x   ，配方正确的是（ ）． A． 23 17 4 16 x      B． 23 1 4 2 x      C． 23 13 2 4 x      D． 23 11 2 4 x      8．一个三角形的两条边长分别是方程 x2﹣8x+15＝0 的两根，三角形的周长是 12，则该三角形 的面积是（ ） A．5 B．6 C．7.5 D．12 9．若实数 m,n 满足(m2+3n2)2-4(m2+3n2)-12=0,则 m2+3n2 的值为 ( ) A．2 B．6 C．6 或-2 D．6 或 2 10．已知 m 是方程 �2 − 2� − 1 = 0 的一个根，则代数 1 2 �2 −� 的值等于（ ） A．− 1 2 B．0 C．12 D．1 11．等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x的方程 2 4 0x x k   的两个根，则 k的值为 （ ） A． 3 B． 4 C． 3或 4 D． 7 二、填空题（本大题共 7小题） 12．关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0kx x   有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ． 13．若一元二次方程 22 4 1 0x x   的两根为 m，n，则 2 23 4m m n  的值为 ． 14．定义新运算：     2 0 0 a b a a b a b a        例如： 22 4 ( 2) 4 0      ， 2 3 2 3 1     ．若 31 4 x   ， 则 x的值为 ． 15．若关于 x的方程 2 1 0 2 x x c   有两个相等的实数根，则 c 的值为 ． 16．已知方程 2 2 0x x   的两根分别为 1 2x x， ，则 1 2 1 1  x x 的值为 ． 17．若 m， n是一元二次方程 2 5 2 0x x   的两个实数根，则  22m n  的值为 ． 18．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去， 第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的 3 倍． 三、解答题（本大题共 9小题） 19．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后，就会有 81 台电脑被 感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 720 台？ 20．发现:四个连续的整数的积加上 1 是一个整数的平方． 验证: (1)3×4×5×6+1 的结果是哪个整数的平方? (2)设四个连续的整数分别为 n-1,n,n+1,n+2(n 为整数),试证明它们的积加上 1 是一个整数的 平方． 延伸: (3)有三个连续的整数,前两个整数的平方和等于第三个整数的平方,试求出这三个整数分别是 多少． 21．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头， 左、右空白处统称为边，已知原作品的长为 60cm，宽为 24cm，在装裱后左右两边的边宽相等， 天头长与地头长也相等，且均为一边宽的 5 倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作 品总面积的 9 20 ，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 22．随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口 .某制药企业及时引进一条疫苗生产线生 产新冠疫苗 .开工第一天生产疫苗 10 000 盒，第三天生产疫苗 12 100 盒，若每天增长的百分率 相同 . (1)求每天增长的百分率 . (2)经调查发现，1 条生产线的最大产能是 15 000 盒 /天，若每增加 1 条生产线，则每条生产线 的产能将减少 500 盒 /天 .现该企业要保证每天生产疫苗 105 000 盒 .在增加产能同时又要节省投 入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线? 23．已知关于 x的一元二次方程 2 1 0x px   （ p为常数）有两个不相等的实数根 1 2x x和 ． (1)填空： 1 2x x  ________， 1 2x x ________； (2)求 1 2 1 1  x x ， 1 1 1x x  ； (3)已知 2 21 2 2 1x x p   ，求 p的值． 24．某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元，标价为 3000元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以 2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为 2900元时，平均每天能售出 8台，当每台售价每降 50元时， 平均每天就能多售出 4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000元，则每台冰 箱的定价应为多少元？ 25．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19 元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函 数关系，部分数据如下表所示： 销售单价 x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量 y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利 w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多 少元？ 26．在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年 3 月份的每平方米 10 000 元下降到 5 月份的每平方米 8 100 元． (1)求 4、5 两月平均每月降价的百分率； (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到 6 月份该市的商品房成交均价是否会 跌破每平方米 7 200 元？请说明理由． 27．某工厂生产并销售 A，B 两种型号车床共 14 台，生产并销售 1 台 A 型车床可以获利 10 万元；如果生产并销售不超过 4 台 B 型车床，则每台 B 型车床可以获利 17 万元，如果超出 4 台 B 型车床，则每超出 1 台，每台 B 型车床获利将减少 1 万元．设生产并销售 B 型车床 x 台． 当 x＞4 时，完成以下两个问题： (1)请补全下面的表格： A 型 B 型 车床数量 /台 ______ x 每台车床获利 /万元 10 ______ (2)若生产并销售 B 型车床比生产并销售 A 型车床获得的利润多 70 万元，问：生产并销售 B 型车床多少台？ 答案 1，A 2，B 3，D 4，D 5，D 6，C 7，A 8，B 9，B 10，C 11，C 12， 1k   且 0k  13． 6 14． 1 2  或 7 4 15． 1 2 16． 1 2 17．7 18．12 19．设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑． 由题意得 1＋x＋x(1＋x)＝81， 解得 x1＝8，x2＝－10(舍去)． ∴每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑． 3 轮感染后，被感染的电脑为 81＋81×8＝729(台)， 729＞720， ∴3 轮感染后，被感染的电脑会超过 720 台． 20． (1)3×4×5×6+1=361=192,即 3×4×5×6+1 的结果是 19 的平方． (2)已知这四个连续整数依次为 n-1,n,n+1,n+2(n 为整数),则 n(n-1)(n+1)(n+2)+1= [(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n-2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n-1)2．故四个连续整数 的积加上 1 是一个整数的平方． (3)设中间的整数是 x,则第一个整数是 x-1,第三个整数是 x+1．根据题意得(x-1)2+x2=(x+1)2, 解得 x1=4,x2=0．当 x=4 时,x-1=3,x+1=5;当 x=0 时,x-1=-1,x+1=1． 答:这三个整数分别是 3,4,5 或-1,0,1． 21．解：设装裱后左右两边的边宽为 cmx ，则天头长与地头长为 5 cmx ，     960 2 5 24 2 60 24 20 x x      ， 整理得 2 18 88 0x x   ， 解得 1 24, 22x x   （舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽为 4 厘米． 22．(1)设每天增长的百分率为 x. 依题意，得 10 000(1+x)2=12 100，解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去). 答 :每天增长的百分率为 10%. (2)设增加 y 条生产线，则每条生产线的产量为(15 000-500y)盒 /天 . 依题意，得(1+y)(15 000-500y)=105 000， 整理，得 y2-29y+180=0， 解得 y1=9，y2=20. 又∵要节省投入，∴y=9. 答 :应该增加 9 条生产线 . 23．(1) p，1；(2) 2 1 2 1 1 2p x x    ， 1 1 1x p x   ；(3) 3p  ． 24．(1)10%； (2) 2750元 25．(1) 2 60y x    10 19x  ； (2)18元； (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 . 26．(1)设 4、5 两月平均每月降价的百分率为 x.根据题意得 10 000(1－x)2＝8 100，解得 x1＝0.1 ＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)． 答：4、5 两月平均每月降价的百分率为 10%. (2)不会．理由： ∵8 100×(1－10%)＝7 290(元)，且 7 290 元＞7 200 元，∴到 6 月份该市的商品房成交均价不会 跌破每平方米 7 200 元． 27．(1)由题意得，生产并销售 B 型车床 x 台时，生产并销售 A 型车床(14－x)台．当 x＞4 时， 每台 B 型车床可以获利 17－(x－4)＝(21－x)万元．故答案为 14－x，21－x. (2)由题意得 10(14－x)＋70＝x(21－x)，解得 x1＝10，x2＝21(舍去)． 答：生产并销售 B 型车床 10 台．