考点突破第6节 一元一次方程与二元一次方程(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 6 节，一元一次方程与二元一次方程 一、单选题（本大题共 11小题） 1．方程 2y－1 2 ＝ 1 2 y－ 中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是 y＝－5 3 ，则这个常数 应是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体， 如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为 x，y，则下列关系式正确的是（ ） A． x y B． 2x y C． 4x y D． 5x y 3．现定义运算“*”，对于任意有理数 a，b 满足 a*b＝ 2a－b（a≥b）， a－2b（a<b） . 如 5*3＝2×5－3＝7，1 2 *1 ＝ 1 2 －2×1＝－3 2 .若 x*3＝5，则有理数 x 的值为( ) A．4 B．11 C．4 或 11 D．1 或 11 4．给出下列方程： 12 7 2 x   ， 2 3x y z  ， 1 0xy   ， 1x y  ， 1 1 1 x y   .其中是二元一次方程的 有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．已知关于 ,x y的二元一次方程组 3 4 1 2 5 x y m x y m        的解满足 4x y  ，则 m 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若 干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的三分之二， 那么乙也共有钱 48 文，问甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可 列方程组是（ ） A． 1 48 2 2 48 3 x y x y         B． 1 48 2 2 48 3 x y x y         C． 1 48 2 2 48 3 x y x y         D． 1 48 2 2 48 3 x y x y         7．已知 � = 1, � = 2, � = 3 是方程组 �� + �� = 2, �� + �� = 3, �� + �� = 7 的解，则� + � + �的值是( ) A．3 B．2 C．1 D．无法确定 8．对于两个不相等的有理数 a，b，我们规定符号 min{a，b}表示 a，b 两数中较小的数，例如 min{－2，3}＝－2.按照这个规定，方程 min{x，－x}＝－2x－1 的解为( ) A．x＝－1 3 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝－1 或 x＝－1 3 9．方程(a＋2)x2＋5xm－3－2＝3 是关于 x 的一元一次方程，则 a＋m＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四 .问人数、物价各 几何？”其大意：“现有一些人共同买一个物品，每人出 8 钱，还盈余 3 钱；每人出 7 钱，还差 4 钱 .问人数、物品价格各是多少？”设人数为�人，物品的价格为�钱 .根据题意，可列方程组为 ( ) A． � = 8� − 3, � = 7� + 4 B． � = 8� + 3, � = 7� − 4 C． � = 8� + 3, � = 7� − 4 D． � = 8� − 3, � = 7� + 4 11．二元一次方程� + 3� = 10的非负整数解共有( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 二、填空题（本大题共 7小题） 12．已知关于 x 的方程 5x－2＝3x＋16 的解与方程 4a＋1＝4(x＋a)－5a 的解相同，则 a＝ ________． 13．已知 x－3y＝3，则 7＋6y－2x＝________． 14．关于 x 的方程(a－2)x |a |－1－2＝0 是一元一次方程，则 |2x|＝________. 15．（新考法）对于任意有理数 a，b，我们规定：a b＝a2－2b，例如：3 4＝32－2×4＝9 －8＝1. (1)计算：(－2)  3＝________； (2)若 2 x＝3＋x，则 x 的值为________． 16．已知关于�，�的二元一次方程组 �� + � = 7, 2� − � = 5和 � + � = 4, 3� + �� =− 2有相同的解，则� − �的值 是 . 17．长方形����中放置了 6 个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴 影部分的面积是 ��2. 18．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值 5 钱，一只母鸡值 3 钱，3 只小鸡值 1 钱，现花 100 钱买了 100 只鸡 .若公鸡有 8 只，设母鸡有�只，小鸡有�只，可列方 程组为 . 三、解答题（本大题共 12小题） 19．甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为 336m ，工作期间需同时排水，乙池的排水速度是 38m / h．若排水 3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的 2 倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于 324m ，那么最多可以排水几小时？ 20．2024 年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售 A，B 两类特产．A 类特产进价 50 元/件，B 类特产进价 60 元/件．已知购买 1 件 A 类特产和 1 件 B 类特产需 132 元，购买 3 件 A 类特产和 5 件 B 类特产需 540 元． (1)求 A 类特产和 B 类特产每件的售价各是多少元？ (2)A 类特产供货充足，按原价销售每天可售出 60 件．市场调查反映，若每降价 1 元，每天可 多售出 10 件（每件售价不低于进价）．设每件 A 类特产降价 x 元，每天的销售量为 y 件，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于 B 类特产供货紧张，每天只能购进 100 件且能按原价售完．设该店 每天销售这两类特产的总利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式，并求出每件 A 类特产降价多 少元时总利润 w 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 21．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投 10 次飞镖，若投到边界则不计入次 数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A 区 B 区 脱靶 一次计分（分） 3 1 −2 在第一局中，珍珍投中 A 区 4 次，B 区 2 次，脱靶 4 次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中 A 区 k 次，B 区 3 次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13 分， 求 k 的值． 22．七年级 1 班共有学生 45 人，其中男生人数比女生人数少 3 人．某节课上，老师组织同学 们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身 30 个或筒底 90 个． (1)七年级 1 班有男生、女生各多少人？ (2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配 2 个筒底，那么每节课做出的筒 身和筒底配套吗？如果不配套，安排几个男生去支援女生，才能使筒身和筒底配套？ 23．松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天 能加工这种校服 16 件，乙工厂每天能加工这种校服 24 件，且单独加工这批校服甲工厂比乙工 厂要多用 20 天．在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用 80 元，乙工厂费用 120 元． (1)这批校服共有多少件？ (2)在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工 厂每天的生产效率提高 25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工 作时间的 2 倍还多 4 天，则乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方 案三：按第(2)问方式完成．并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术 指导，并由学校提供每天 10 元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的 加工方案． 24．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有 88 个，白色琴键比黑色琴 键多 16 个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 25．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过 6 m3 的部分 2 元 /m3 超过 6 m3 不超过 10 m3 的部分 4 元 /m3 超出 10 m3 的部分 8 元 /m3 例如：某用户 2 月份用水 9 m3，则应缴水费 2×6＋4×(9－6)＝24(元)． (1)某用户 3 月份用水 14 m3，应缴水费多少元？ (2)已知某用户 4 月份缴水费 16 元，求该用户 4 月份的用水量． (3)如果某用户 5，6 月份共用水 20 m3(6 月份用水量超过 5 月份用水量)，共缴水费 64 元，则 该用户 5，6 月份各用水多少立方米？ 26．列方程解应用题：(1)甲、乙两地路程为 180 千米，一人骑自行车从甲地出发每小时走 15 千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的 3 倍．若两人同向而行， 骑自行车的人先出发 2 小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？ (2)某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时．已知此船在静水中的速度为 8 千米 /时，水流速度为 2 千米 /时，A、C 两地之间的距离 为 10 千米，求 A、B 两地之间的距离． 27．解方程组： 2 23 4 0 2 6 x xy y x y        ① ② ． 28．某小区物管中心计划采购 A，B 两种花卉用于美化环境．已知购买 2 株 A 种花卉和 3 株 B 种 花卉共需要 21 元；购买 4 株 A 种花卉和 5 株 B 种花卉共需要 37 元． (1)求 A， B 两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购 A， B 两种花卉共计 10000 株，其中采购 A 种花卉的株数不超过 B 种花 卉株数的 4 倍，当 A， B 两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 29．A，B 两个组生产如图所示的四条腿的凳子 .A 组和 B 组共 16 人，且 B 组人数比 A 组人数 的 2 倍还多 1 人，已知每名工人每小时可生产 5 个凳子面或者 12 个凳子腿 . （1）求 A 组和 B 组各有多少员工 . （2）原计划 A 组负责生产凳子面，B 组负责生产凳子腿，请说明每小时生产的凳子面和凳子 腿能否配套 .如果不配套，请说明 A，B 两组应该如何调配人员，才能使每小时生产的凳子面和 凳子腿刚好配套 . 30．（新考向—传统文化）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其中“方程”章节中的第 一个问题译成现代汉语类似这样：上等谷 2 束，下等谷 1 束，可得粮食 13 斗；上等谷 1 束， 下等谷 1 束，可得粮食 8 斗．求上、下两等谷每束各可得粮食几斗． 答案 1，C 2，C 3，A 4，A 5，B 6，C 7，A 8，A 9，B 10，A 11，D 12．7 13．1 14．1 15．(1)(－2)  3＝(－2)2－2×3＝4－6＝－2.故答案为－2. (2)因为 2 x＝3＋x，所以 42－2x＝3＋x，即 16－2x＝3＋x，所以－2x－x＝3－16， 所以－3x＝－13，x＝ 13 3 . 故答案为 13 3 . 16． 13 17． 33 18． 5 × 8 + 3� + 1 3 � = 100, � + � + 8 = 100. 19．(1) 34m / h；(2)4 小时 20．(1)A 类特产的售价为 60 元/件，B 类特产的售价为 72 元/件 (2) 10 60y x  （ 0 10x  ） (3)A 类特产每件售价降价 2 元时，每天销售利润最犬，最大利润为 1840 元 21． （1）由题意得 4 × 3 + 2 × 1+ 4 × −2 = 6 （2）由题意得 3� + 3 × 1 + 10 − � − 3 × −2 = 6 + 13 ，解得 � = 6 ． 22． (1)设女生有 x 人，则男生有(x－3)人． 由题意可得 x＋(x－3)＝45， 解得 x＝24，所以 x－3＝21. 答：七年级 1 班有男生 21 人，女生 24 人． (2)女生可以做筒身：24×30＝720(个)，男生可以做筒底：21×90＝1 890(个)． 因为 720×2＜1 890，所以原计划每节课做出的筒身和筒底不配套． 设安排 a 个男生去支援女生，才能使筒身和筒底配套．(24＋a)×30×2＝(21－a)×90， 解得 a＝3.答：安排 3 个男生去支援女生，才能使筒身和筒底配套． 23．(1)设这批校服共有 x 件． 由题意，得 x 16 － x 24 ＝20，解得 x＝960. 答：这批校服共有 960 件． (2)设甲工厂加工 a 天，则乙工厂共加工(2a＋4)天．依题意得(16＋24)a＋24×(1＋25%)(2a ＋4－a)＝960，解得 a＝12. 2a＋4＝24＋4＝28. 答：乙工厂共加工 28 天． (3)①方案一：需要耗时 960÷16＝60(天)，费用为 60×(10＋80)＝5 400(元)； ②方案二：需要耗时 960÷24＝40(天)，费用为 40×(120＋10)＝5 200(元)； ③方案三：甲工厂耗时 12 天，乙工厂耗时 28 天，故需要耗时 28 天，费用为 12×(10＋80)＋ 28×(10＋120)＝4 720(元)． 综上，方案三既省时又省钱． 24． 白色琴键 52 个，黑色琴键 36 个 25．(1)应缴水费 2×6＋4×(10－6)＋8×(14－10)＝60(元)． 答：应缴水费 60 元． (2)当用水 6 m 3 时应缴水费 2×6＝12(元)， 当用水 10 m 3 时应缴水费 2×6＋4×(10－6)＝28(元)． ∵该用户 4 月份缴水费 16 元，12＜16＜28，∴该用户 4 月份用水超过 6 m 3 且少于 10 m 3 .设该 用户 4 月份用水 x m3(6＜x＜10)．根据题意得 2×6＋4×(x－6)＝16，解得 x＝7. 答：该用户 4 月份用水 7 m 3 . (3)设 5 月份用水 y m3，则 6 月份用水(20－y)m3.∵6 月份用水量超过 5 月份用水量，∴y＜10. ①当 5 月份用水不超过 6 m 3 时，根据题意得 2y＋2×6＋4×(10－6)＋8(20－y－10)＝64，解 得 y＝ 22 3 ＞6，不符合题意，舍去．②当 5 月份用水超过 6 m 3 但不超过 10 m 3 时，根据题意得 2 ×6＋4(y－6)＋2×6＋4×(10－6)＋8×(20－y－10)＝64，解得 y＝8＜10，符合题意．∴6 月份用水 20－8＝12(m 3 )． 答：该用户 5 月份用水 8 m 3 ，6 月份用水 12 m 3 . 26．(1)设摩托车经过 x 小时追上自行车．由题意得 2×15＋15x＋180＝3×15×x， 解得 x＝7. 答：摩托车经过 7 小时追上自行车． (2)设 A、B 两地之间的距离为 y 千米，则 B、C 两地之间的距离为(y－10)千米． 根据题意可得 y 8＋2 ＋ y－10 8－2 ＝7， 解得 y＝32.5. 答：A、B 两地之间的距离为 32.5 千米． 27． 4x  ， 1y  或者 6x   ， 6y  ． 28． (1)A 种花卉的单价为 3 元/株， B 种花卉的单价为 5 元/株; (2)当购进 A 种花卉 8000 株， B 种花卉 2000 株时，总费用最少，最少费用为 34000 元 29． （1）设 A 组有员工�人，B 组有员工�人.由题意得 � + � = 16,� = 2� + 1,解得 � = 5, � = 11.答：A 组有员工 5 人， B 组有员工 11 人. （2）A组每小时生产的凳子面的个数为 5 × 5 = 25，B组每小时生产的凳子腿的个数为 11 × 12 = 132. ∵ 1个凳子面和 4 个凳子腿恰好做成一个凳子，而 25: 132 ≠ 1: 4，∴原计划每小时生产的凳 子面和凳子腿不能配套.设 B 组向 A 组支援�人.由题意得 5(5 + �) × 4 = 12 11 − � ，解得� = 1. 答：B 组向 A 组支援 1 人，才能使每小时生产的凳子面和凳子腿刚好配套. 30．设上等谷每束可得粮食 x 斗，下等谷每束可得粮食 y 斗． 依题意得 2x＋y＝13， x＋y＝8， 解得 x＝5， y＝3. 答：上等谷每束可得粮食 5 斗，下等谷每束可得粮食 3 斗．