考点突破第5节 二次根式(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 5 节 二次根式 一、单选题（本大题共 11小题） 1．下列各式中 ,一定是二次根式的是( ) A． � + 1 B． � − 1 C． �2 − 1 D． �2 + 2 2． 如果�� > 0，� + � < 0，那么下列各式： ① � � ⋅ � � = 1；② � � = � � ；③ �� ÷ � � =− �，其中正确的有( ) A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 3．设 a＝ 7 ＋2，则( ) A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6 4．按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，则输出的结果是（ ） A．7 B． 6 + 4 2 C．2 D． 6 − 4 2 5．函数 � = �−1 �−1 中，自变量 � 的取值范围为（ ） A． � ≠ 1 B． � ≤ 1 C． � ≥ 0 且 � ≠ 1 D． �＞1 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． 0.3 B． 12 C． 1 3 D． 6 7．若 −�� = � · −� 成立,则( ) A．a≥0,b≥0 B．a≥0,b≤0 C．ab≥0 D．a≥0,b=0 8．已知 a＝ 5＋1，b＝ 4 5－1 ，则 a 与 b 的关系是( ) A．ab＝1 B．a＋b＝0 C．ab＝－1 D．a＝b 9．以下二次根式:① 12 ;② 0.3 ;③ 2 3 ;④ 27 ,其中与 3 是同类二次根式的 是 ( ) A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 10．下列计算正确的是( ) A． 6- 3= 2 B． 7+ 7=7 C． 8- 2= 2 D． 10- 5= 5 11．若 6－ 13的整数部分为 x，小数部分为 y，则(2x＋ 13)y 的值是( ) A．5－3 13 B．3 C．3 13－5 D．－3 二、填空题（本大题共 7小题） 12．当-1＜a＜0 时, � + 1� 2 − 4 - � − 1� 2 + 4 =____． 13．实数 1 3− 7 的整数部分� = ，小数部分� = . 14．已知正实数 a,b,c,d 满足关系式 a+b+c+d=1,设 s= 3�2 + 1 + 3�2 + 1 + 3�2 + 1 + 3�2 + 1 ,那么 s 与 5 的大小关系是____． 15．已知 a＝ 3＋ 2 2 ，b＝ 3－ 2 2 ，则 ab3＋a3b 的值为________． 16． 24－ 6 5 × 45＝2 P＋Q· 6＝M，则 P＋Q＝________，M＝________． 17．最简二次根式 1 + �与 4 − 2�的被开方数相同，则�的值为 . 18．若 |a－2|＋b2＋4b＋4＋ c2－c＋1 4 ＝0，则 b2· a· c＝________. 三、解答题（本大题共 7小题） 19．计算： （1） 14 ÷ 6 × 27 2 . （2） 4 15 × 2 3 ÷ 5. （3） 45 ÷ 3 3 × 3 5 . （4） − 5 × 2 ÷ −2 5 × − 2 2 ． 20．先阅读,后解答: (1)由二次根式的性质得① 32 =3,② 23 2 = 2 3 ,③ − 13 2 = 1 3 ,④ −5 2 =5,⑤ 0 =0． 请根据上述式子写出 �2 的结果(a 为任意实数)． (2)利用(1)中的结论,直接写出下列问题的答案: ① 3.14 − � 2 =____;②化简: �2 − 4� + 4 (x＜2)=____． (3)应用:若 � − 5 2 + � − 8 2 =3,则 x 的取值范围是_____． 21．若等式 3� + 1 2 − � = 3� + 1 ⋅ 2 − �成立，试化简： � − 4 + 9�2 + 6� + 1 + � − 2 . 22．（核心素养—运算能力）像( 5＋ 2)( 5－ 2)＝3， a· a＝a(a≥0)，( b＋1)( b－1)＝b－ 1(b≥0)，…，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为 有理化因式．例如， 3与 3， 2＋1 与 2－1，2 3＋3 5与 2 3－3 5等都互为有理化因 式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)计算：① 1 2 ＝______；② 1 3－1 ＝______； (2)计算： 1 2－ 3 － 2 3－1 ； (3)已知有理数 a，b 满足 a 3＋2 ＋ 2b 3－1 ＝2 3－1，求 a，b 的值． 23．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 3+2 2 =(1+ 2 )2． 设 a+b 2 =(m+n 2 )2(其中 a,b,m,n均为正整数),则有 a+b 2 =m2+2n2+2mn 2 ,由 此可得 a=m2+2n2, b=2mn．这样可以把部分形如 a+b 2 的式子化为平方式． 请你仿照上述方法探索并解决下列问题: (1)当 a,b,m,n 均为正整数时, 若 a+b 3 =(m+n 3 )2,用含 m,n 的式子分别表示 a,b,得 a=____,b=____． (2)利用所探索的结论,找一组正整数 a,b,m,n,使 a+b 5 =(m+n 5 )2． (3)化简: 1 16−6 7 - 1 11+4 7 ． 24．观察下列各式：① 2 − 2 5 = 8 5 = 2 2 5 ；② 3 − 3 10 = 27 10 = 3 3 10 ；③ 4 − 417 = 64 17 = 4 4 17. （1） 根据你发现的规律填空： 5 − 5 26 = 125 26 = 5 5 26 ； （2） 猜想 � − ��2+1（� ≥ 2，�为自然数）等于多少，并通过计算验证你的猜想 . 答案 1，D 2，B 3，C 4，C 5，D 6，D 7，B 8，D 9，C 10，C 11，B 12．2a 13．2 7−1 2 14，s＜5 15，5 8 16，3；－ 6 17，1 18，2 19．（1）原式= 14 6 × 27 2 = 3 14 2 . （2）原式= 8 15 × 3 ÷ 5 = 8 × 3 = 24. （3）原式= 3 5 ÷ 3 3 × 3 5 = 5 3 × 3 5 = 1. （4）原式=− 10 ÷ 2 5 × 2 2 =− 1 2 . 20．(1) �2 =|a|= � �＞0 , 0 � = 0 , −� �＜0 . (2)① 3.14 − � 2 =|3．14-π|=π-3．14,故答案为π-3．14． ② �2 − 4� + 4 = � − 2 2 =|x-2|,因为 x＜2,所以 x-2＜0,所以 �2 − 4� + 4 =2-x,故 答案为 2-x． (3) � − 5 2 + � − 8 2 =|x-5|+|x-8|．①当 x＜5 时,x-5＜0,x-8＜0,所以原式 =5-x+8-x=13-2x．②当 5≤x≤8 时,x-5≥0,x-8≤0,所以原式=x-5+8-x=3．③当 x＞8 时,x-5＞ 0,x-8＞0,所以原式=x-5+x-8=2x-13．因为 � − 5 2 + � − 8 2 =3,所以 x 的取值范围是 5≤x≤8,故答案为 5≤x≤8． 21．根据题意得 3� + 1 ≥ 0，2 − � ≥ 0，∴− 1 3 ≤ � ≤ 2，∴ � − 4 < 0，� − 2 ≤ 0，∴ 原式= � − 4 + 3� + 1 2 + � − 2 = � − 4 + 3� + 1 + � − 2 = 4 − � + 3� + 1 + 2 − � = � + 7. 22．(1)①原式＝ 2 2× 2 ＝ 2 2 .故答案为 2 2 . ②原式＝ 3＋1 （ 3－1）（ 3＋1） ＝ 3＋1 2 .故答案为 3＋1 2 . (2)原式＝ 2＋ 3 （2－ 3）（2＋ 3） － 2（ 3＋1） （ 3－1）（ 3＋1） ＝2＋ 3－( 3＋1)＝2＋ 3－ 3－1＝1. (3)∵ a 3＋2 ＋ 2b 3－1 ＝ a（2－ 3） （2＋ 3）（2－ 3） ＋ 2b（ 3＋1） （ 3－1）（ 3＋1） ＝2a－ 3a＋ 3b＋b＝(b－ a) 3＋(2a＋b)＝2 3－1， ∴b－a＝2，2a＋b＝－1，∴a＝－1，b＝1. 23．(1)∵a+b 3 =(m+n 3 )2=m2+2mn 3 +3n2,∴a=m2+3n2,b=2mn．故答案为 m2+3n2,2mn． (2)∵a+b 5 =(m+n 5 )2,∴a+b 5 =(m+n 5 )2=m2+2mn 5 +5n2,∴a=m2+5n2, b=2mn．若令 m=1,n=2,则 a=21, b=4,故 a,b,m,n 的值可以为 21,4,1,2．(答案不唯一) (3) 1 16−6 7 - 1 11+4 7 = 1 3− 7 2 - 1 7+2 2 = 1 3− 7 - 1 7+2 = 3+ 7 3− 7 3+ 7 - 7−2 7+2 7−2 = 3+ 7 2 - 7−2 3 = 3 2 + 2 3 + 7 2 - 7 3 = 13 6 + 7 6 = 13+ 7 6 ． 24．根据题意得 3x+1≥0,2-x≥0,∴-1 3 ≤x≤2,∴x-4<0,x-2≤0． ∵原式=|x-4|+ (3� + 1)2+|x-2|,0≤3x+1≤7, ∴原式=|x-4|+|3x+1|+|x-2|=4-x+3x+1+2-x=x+7． 25．（1）∵ ① 2 − 2 5 = 2 3 5 = 2 2 5 ， ② 3 − 3 10 = 3 3 10 = 3 3 10 ， ③ 4 − 417 = 43 17 = 4 4 17， ∴ 5 − 5 26 = 5 3 26 = 125 26 = 5 5 26 ， 故答案为 125 26 ，5 5 26 . （2）猜想： � − � �2+1 = � � �2+1 （� ≥ 2,�为自然数） .验证如下：当� ≥ 2，�为自然数时，原式 = � 3+� �2+1 − � �2+1 = � 3 �2+1 = � � �2+1.