考点突破第4节 分式(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 4 节 分式 一、单选题（本大题共 12小题） 1．要使分式 �−2�−2 �−3 有意义，�的取值应满足( ) A．� ≠ 2 B．� ≠ 3 C．� ≠ 2或� ≠ 3 D．� ≠ 2且� ≠ 3 2．若�，�两数互为相反数，且� > �，则以下结论：① � � =− 1；②��是负数；③ �−1 �+1 是负数；④ �+66 �+66 是正数；⑤ �+ 66)(� + 66 可以利用平方差公式计算．其中正确的是( ) A．③⑤ B．①③⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 3．已知�表示一个整式，若2� � 是最简分式，则�可以是( ) A．7 B．8� C．�2 − � D．�2 4．若将分式 3m m＋n 与 4n 2（m－n） 通分，则分式 3m m＋n 的分子应变为( ) A．6m2－6mn B．6m－6n C．2(m－n) D．2(m－n)(m＋n) 5．代数式 �−2 �2−4�+4 ÷ 1 �+6 的值为�（�取整数），则�为整数值的个数有( ) A．0 个 B．7 个 C．8 个 D．无数个 6．计算(2a b )3 的正确结果是( ) A．8a 3 b3 B．8a 3 b C．2a 3 b D．6a 3 b3 7．已知三个正数�，�，�满足��� = 1，则 � ��+�+1 + � ��+�+1 + � ��+�+1 的值为( ) A．2 B．3 C．−1 D．1 8．已知� + 1 � = 10，则� 2−1 � 的值为( ) A．− 6 B．8 C． 6 D．± 6 9．若 a+b=5，则代数式（ 2b a ﹣a）÷（ a b a  ）的值为（ ） A．5 B．﹣5 C．﹣ 1 5 D． 1 5 10．我们知道：21 = 2，22 = 4，⋯，210 = 1024，那么2−30接近于( ) A．10−10 B．10−9 C．10−8 D．10−7 11．一件工程，甲单独做需要 a 小时完成，乙单独做需要 b 小时完成．若甲、乙二人合作完成 此项工作，需要的时间是( ) A．a＋b 2 小时 B． 1 a ＋ 1 b 小时 C． 1 a＋b 小时 D． ab a＋b 小时 二、填空题（本大题共 7小题） 12．某种高控制芯片探针的面积为 0.0000162��2，数据 0.0000162用科学记数法表示 为 . 13．已知 � = 3， � = 5，且�� < 0，则� � 的值等于 . 14．若 3 �+2 无意义，且分式 � −1 �−1 的值等于零，那么 � � = . 15．当� = 3时，分式 �−� �+2� 没有意义，则�的值为 . 16．已知�,�,�是不为 0 的实数，且 �� �+� = 1 3 , �� �+� = 1 4 , �� �+� = 1 5 ,那么 ��� ��+��+�� 的值是 . 17．若�−2 �+2 ⋅ � + 3 = �−2 �+2 ，则� = . 18．如果� 3 = � 2 ≠ 0，那么代数式 3�−� 4�2−�2 ⋅ 2� + � 的值是 . 19．定义一种新运算：�⊗ � = ��，则 5⊗ −2 的值为 . 三、解答题（本大题共 7小题） 20．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，就是把式子变成其 倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算、求值的目的． 例：已知 x x2＋1 ＝ 1 5 ，求代数式 x2＋ 1 x2 的值． 解：∵ x x2＋1 ＝ 1 5 ，∴ x2＋1 x ＝5， 即 x2 x ＋ 1 x ＝5，∴x＋1 x ＝5. (1)请继续完成上面问题的求值过程； (2)请仿照上述方法解决问题：已知 x x2－x－1 ＝4，求 x 2 x4＋x2＋1 的值． 21．计算： （1） �2+� � ⋅ 2� �+1 ； （2） �−1 �2−4�+4 ÷ � 2−1 �2−4 ； （3） �+3 �2−2�+1 ÷ � 2+3� �−1 2； （4） �� − �2 ÷ �−� �� ； （5） �2−4 �+2 ÷ � − 2 ⋅ 1 �−2 . 22． 先化简，再求值： (1) x2－4x＋3 12－x－x2 2 ÷ 4＋2x－2x2 x2＋2x－8 2 ，其中 x＝－2； (2) a＋b 2ab2 3 ÷ a2－b2 ab3 2 ÷ 1 2（a－b） 2 ，其中 a＝－1 2 ，b＝2 3 . 23．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 � �−� = � �−� = � �−� （�,�,�互不相等），求� + � + �的值. 解：设 � �−� = � �−� = � �−� = �，则� = � � − � ，� = � � − � ，� = � � − � ， ∴ � + � + � = � � − � + � − � + � − � = � ⋅ 0 = 0，∴ � + � + � = 0. 依照上述方法解答下列问题： 已知 �+� � = �+� � = �+� � ，其中� + � + � ≠ 0，求�+�−� �+�+� 的值. 24．按要求化简： � − 1 ÷ � 2−1 �+1 ⋅ �+1 ��2 ，并选择你喜欢的整数�，�代入求值.小聪计算这一题的过 程如下： 解：原式= � − 1 ÷ �+1 �−1 ��2 …① = � − 1 ⋅ �� 2 �+1 �−1 …② = �� 2 �+1.…③ 当� = 1，� = 1时，原式= 1 2 .…④ 以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第 步（填序号），原因： ； 还有第 步出错（填序号），原因： . 请你写出此题的正确解答过程. 25．（新考法）已知 M＝x＋1 2 ，N＝ 2x x＋1 . (1)当 x>0 时，判断 M 与 N 的大小关系，并说明理由； (2)设 y＝ 2 M ＋N，若 y 为正整数，求满足条件的整数 x 的值． 26．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设 A 种糖的单价为 a 元 /千 克，B 种糖的单价为 b 元 /千克，且 a≠b，则 m 千克 A 种糖和 n 千克 B 种糖混合而成的什锦糖 的单价为 ma＋nb m＋n 元 /千克．现有甲、乙两种什锦糖，均由 A，B 两种单价不同的糖混合而成， 其中甲种什锦糖由 10 千克 A 种糖和 10 千克 B 种糖混合而成，乙种什锦糖由价值 100 元的 A 种糖和价值 100 元的 B 种糖混合而成． (1)甲、乙两种什锦糖的单价各是多少元？ (2)你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？ 答案 1，D 2，D 3，D 4，A 5，B 6，A 7，D 8，D 9，B 10，B 11，D 12，1.62 × 10−5 13，− 3 5 14，2 15，− 3 2 16，1 6 17，−4或 2 18，7 4 19， 1 25 20，(1)把 x＋1 x ＝5 两边分别平方，得 x＋1 x 2 ＝25，即 x2＋ 1 x2 ＋2＝25，则 x2＋ 1 x2 ＝23. (2)∵ x x2－x－1 ＝4，∴x 2－x－1 x ＝ 1 4 ，即 x－1－1 x ＝ 1 4 ，整理得 x－1 x ＝ 5 4 ，两边分别平方得 x－1 x 2 ＝ 25 16 ，即 x2＋ 1 x2 －2＝25 16 ，x2＋ 1 x2 ＝ 57 16 ，则原式＝ 1 x2＋ 1 x2 ＋1 ＝ 1 57 16 ＋1 ＝ 16 73 . 21，（1）� 2+� � ⋅ 2� �+1 = � �+1 � ⋅ 2� �+1 = 2�. （2） �−1 �2−4�+4 ÷ � 2−1 �2−4 = �−1 �−2 2 ⋅ �−2 �+2 �−1 �+1 = �+2 �−2 �+1 = �+2 �2−�−2 . （3） �+3 �2−2�+1 ÷ � 2+3� �−1 2 = �+3 �−1 2 ⋅ �−1 2 � �+3 = 1 � . （4） �� − �2 ÷ �−� �� =− � � − � ⋅ �� �−� =− � ⋅ �� =− �2�. （5） �2−4 �+2 ÷ � − 2 ⋅ 1 �−2 = �−2 �+2 �+2 ⋅ 1 �−2 ⋅ 1 �−2 = 1 �−2 . 22，(1)原式＝ （x－3）（x－1） －（x－3）（x＋4） 2÷ －2（x＋1）（x－2） （x－2）（x＋4） 2＝（ x－1）2 （x＋4）2 ÷4（x＋1） 2 （x＋4）2 ＝ （x－1）2 （x＋4）2 · （x＋4） 2 4（x＋1）2 ＝ （x－1）2 4（x＋1）2 . 当 x＝－2 时，原式＝ （－ 2－1）2 4×（－2＋1）2 ＝ 9 4 . (2)原式＝（a＋b） 3 8a3b6 ÷（a＋b） 2（a－b）2 a2b6 ÷ 1 4（a－b）2 ＝ （a＋b）3 8a3b6 · a 2b6 （a＋b）2（a－b）2 ·4(a－ b)2＝a＋b 2a .当 a＝－1 2 ，b＝2 3 时，原式＝ － 1 2 ＋ 2 3 2× － 1 2 ＝－ 1 6 . 23．设�+� � = �+� � = �+� � = �，则 � + � = ��,① � + � = ��,② � + � = ��,③ ①+②+③，得 2� + 2� + 2� = � � + � + � .∵ � + � + � ≠ 0，∴ � = 2，∴原式= 2�−� 2�+� = � 3� = 1 3 . 24．①;运算顺序错误;④;当� = 1时，�2 − 1 = 0，原式无意义.;正确解答过程： � − 1 ÷ � 2−1 �+1 ⋅ �+1 ��2 = � − 1 ⋅ �+1 �+1 �−1 ⋅ �+1 ��2 = �+1 ��2 ，当� = 2，� = 2时，原式= 3 8 .（�,�数值不唯一） 25．(1)M≥N.理由如下： ∵M－N＝x＋1 2 － 2x x＋1 ＝ （x＋1）2－4x 2（x＋1） ＝ （x－1）2 2（x＋1） ，且 x>0， ∴2(x＋1)>0，(x－1)2≥0. ∴ （x－1）2 2（x＋1） ≥0，∴M－N≥0，∴M≥N. (2)y＝ 2 M ＋N＝ 4 x＋1 ＋ 2x x＋1 ＝ 2x＋4 x＋1 ＝ 2（x＋1）＋2 x＋1 ＝2＋ 2 x＋1 . ∵y 为正整数， ∴ 2 x＋1 >－2，且 2 x＋1 为整数， ∴满足条件的整数 x 的值为－3 或 0 或 1. 26．(1)甲种什锦糖的单价为(10a＋10b)÷20＝1 2 (a＋b)(元 /千克)． 乙种什锦糖的单价为(100＋100)÷ 100 a ＋ 100 b ＝ 2ab a＋b (元 /千克)． (2)甲种什锦糖的单价较高．理由：1 2 (a＋b)－ 2ab a＋b ＝ （a＋b）2－4ab 2（a＋b） ＝ （a－b）2 2（a＋b） . ∵甲、乙两种什锦糖均由 A，B 两种单价不同的糖混合而成，∴a>0，b>0，且 a≠b， ∴ （a－b）2 2（a＋b） ＞0，∴甲种什锦糖的单价较高．