考点突破第3节 因式分解(含答案)-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

考点突破 第 3 节 因式分解 一、单选题（本大题共 12小题） 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A．  m a b am bm   B．    21 1 1x x x    C． 2 2 1 1 4 2 y y y        D．  2 1 1 1x x x x     2．使用提公因式法分解 2 2 3 34 6 2a b ab a b  时，公因式是（ ） A． 3 312a b B． 3 32a b C．2ab D． 24a b 3．下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． 21 x B． 2 25x  C． 2 216 9b a  D． 2 1 4 x 4．下列因式分解变形正确的是（ ） A．  2 22 2a a a a   B．   2 4 2 2a a a     C．  22 2 1 1a a a      D．   2 5 6 2 3a a a a     5．多项式�2 − 4与�2 − 4� + 4的公因式是( ) A．�+ 2 B．�− 2 C．�+ 4 D．�− 4 6．把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是（ ） A．a (a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)( a-2) D．(a－2 )2 －4 7．已知�+ 2� = 3，�− 2� = 1，则代数式 16�2�2 − �2 + 4�2 2 的值为( ) A．8 B．−8 C．9 D．−9 8．把多项式 3 23 6 3x x x  分解因式，下列结果正确的是（ ） A．x(3x+1)(x-3) B．  23 2 1x x x  C．  23 6 3x x x  D．  23 1x x  9．若多项式 2 12x ax  可分解为   3x x b  ，则 a b 的值为（ ） A． 11 B． 3 C． 3 D． 7 10．若 a、b、c 为一个三角形的三条边，则  2 2a c b  的值（ ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为 0 D．可能为正数，也可能为负数 11．已知�2 = 4� + �，�2 = 4�+ �，� ≠ �，则�2 + 2�� + �2的值为( ) A．16 B．12 C．10 D．无法确定 12．若实数 x，y，z 满足     2 4 0x z x y y z     ，则下列式子一定成立的是（ ） A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．z+x-2y=0 二、填空题（本大题共 6小题） 13．将 xn－yn分解因式的结果为(x2＋y2)(x＋y)(x－y)，则 n 的值为________． 14．多项式 x2－9，x2＋6x＋9 的公因式是____________． 15．已知 3 1a = - ，则 2013 2012 20112 2a a a   ． 16．若 8, 5a b a b     ，那么 2 2a b  ． 17．因式分解：� �+8 + 9 − 2� = . 18．若 x2+mx+n 分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则 m+n 的值为_____． 三、解答题（本大题共 6小题） 19．分解因式： (1) 2 23 6 3a ab b  ． (2)    2 225 m n m n   ． (3) 2 29 6 2x x y y   ． 20．观察下列式子的因式分解做法： ①   2 1 1 1x x x    ； ②       3 3 2 21 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x             ； ③       4 4 3 3 21 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x              ； … （1）模仿以上做法．尝试对 5 1x  进行因式分解_____； （2）观察以上结果，猜想 1nx   _____；（ n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）根据以上结论，试求 6 4 3 259 9 9 9 9 9 1      的值． 21．已知 x﹣y＝2，xy 12 ，求代数式 x 3y﹣2x2y2+xy3 的值． 22．在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式    2 24 2 4 6 4a a a a     进行 因式分解．指导老师的讲解过程如下． 解：令 2 4a a t  ， 则原式 2 2 2( 2)( 6) 4 8 12 4 8 16 ( 4)t t t t t t t             ． ∵ 2 4t a a  ，∴原式  22 4 4a a   ． 老师解答到此就停止了，并提出了以下 2 个问题： (1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结 果______（如果是则不用填写）． (2)请模仿以上方法对多项式   2 22 2 2 1b b b b    进行因式分解． 23．请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①  2x   4x ；②  4x  1x  ；③  4y   2y  ；④  5y   3y  后发现，形如   x p x q  的 两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：   x p x q        x  ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算   x p x q  发现这个规律是正确的，小 明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘 法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式 分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式： 2 7 10x x  ． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张 1 号卡片、2 号卡片和 3 号卡 片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使 该矩形的面积为 2 22 3a ab b  并利用你所拼的图形面积对 2 22 3a ab b  进行因式分解． 24．阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看 成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项 数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小张同学用换元法对多项式    22 24 8 4 16x x x x    进行因式分解的过程． 解：设 2 4x x y  原式 2 8 16y y   （第一步）  24y  （第二步）  22 4 4x x   （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (3)请你用换元法对多项式   2 22 1 2 3 4x x x x     进行因式分解． 参考答案 1，C 2，C 3，B 4，C 5，B 6，A 7，D 8，D 9，C 10，B 11，A 12，D 13，4 14． x＋3 15． 0 16． 40 17． �+ 3 2 18．﹣1 19．(1)  23 a b (2) 4(3 2 )(2 3 )m n m n  (3) (3 )(3 2)x y x y   20．（1） 5 4 3 21 ( 1)( 1)x x x x x x       （2） 4 3 2( 1)( 1)x x x x x     （3） 79 1 8  21．2 22． (1)否；  42a  (2)  41b 23．（1）   x p x q   2 ( )x p q x pq   ， 故答案为： 2x p q pq， ， ； （2）长方形的面积为：    ,x p x q  长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为： 2 ( )x p q x pq   ， 所以   x p x q   2 ( )x p q x pq   ． （3）按照小明发现的规律： 2 7 10x x         2 2 5 2 5x x              2 5x x   （4）由 2 22 3a ab b  可得此长方形是有 2 张 1 号卡片、3 张 2 号卡片和 1 张 3 号卡片拼成的矩 形，所以拼图如下： ∴   2 22 3 2a ab b a b a b     ． 24．(1)C (2)  42x  (3)  41x 