第7节 一元二次方程-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

方程(组)及不等式 第 7 节 一元二次方程 一、一元二次方程 1．一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 3．一元二次方程的解法 (1)一般思路 一元二次方程 ――→ 降次 一元一次方程． (2)方法 解法 形式 方程的根 直接开 平方法 x2＝p(p≥0) x＝± p (mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0) x＝± p－n m 配方法 (x－m)2＝n(n≥0) x＝m± n 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ －b± b2－4ac 2a 因式分解法 a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0) x＝x1或 x2 16/74 方程(组)及不等式 二、根的判别式 1．根的判别式 (1)一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac． (2)判别式与一元二次方程根的关系 ①Δ＝b2－4ac>0 ⇔方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝b2－4ac＝0 ⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ＝b2－4ac<0 ⇔方程没有实数根． 2．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为 x1，x2， 那么 x1＋x2＝－ba ， x1 x2＝ca 三、一元二次方程的应用 1．一般步骤 审题，找出等量关系→设未知数→列出一元二次方程→解一元二次方程→检验→写出答案． 2．列一元二次方程解应用题的几种常见类型 变化 率 问题 (1)增长率＝实际数量－基准数量 基准数量 ×100%； (2)降低率＝基准数量－降低后达到的量 基准数量 ×100%； (3)设 a 为原来的量， m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋m)n＝b； 当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，a(1－m)n＝b 利率 问题 本息和＝本金＋利息 利息＝本金×利率×期数 销售 利润 问题 毛利润＝销售总额－进货总额 纯利润＝销售总额－进货总额－其他费用 利润率＝利润÷成本×100% 销售总额＝售价×销量 进货总额＝进价×进货数量 单循 环 问题 设共有 n 个队，每个队与其余队各比赛一场，则总的比赛场次为 n（n－1） 2 17/74