第1节 实数及其运算-2025年中考数学总复习考点笔记+考点突破

数与式 第 1节 实数及其运算 一、实数的分类 1．按定义分 实数 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 有限小数或无限 循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 2．按大小分 实数 正实数（>0） 0（既不是正数，也不是负数） 负实数（<0） 二、实数的相关概念 1， 数 轴 三要素： 性质：实数与数轴上的点是一一对应的 2， 相 反 数 非零实数 a的相反数为－a．特别地，0的相反数为 0 实数 a，b互为相反数⇔a＋b＝0 几何意义：互为相反数的两个数分别位于数轴上原点的两侧，且到 原点的距离相等 3， 绝 对 值 性质：|a|＝ a（a>0） 0（a＝0），|a|具有非负性 －a（a<0） 几何意义：数轴上表示数 a的点到原点的距离，离原点越远的 数的绝对值越大 2/74 数与式 4， 倒 数 非零实数 a的倒数是1 a ．特别注意：0没有倒数，倒数是它本身 的数是 1，－1 实数 a，b互为倒数⇔ab＝1 三、科学记数法 科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示绝对值大于 10的数时，n等于原数的整数位数减去 1； 用科学记数法表示绝对值小于 1的数时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非 零数字前面零的个数(含小数点前的零). 温馨提示：将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把 计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示． 常考的计数单位：1万＝104，1亿＝108； 常考的计量单位：1 mm＝10－3m，1 μm＝10－6m，1 nm＝10－9m. 四、实数的大小比较 1．法则比较法：正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2．数轴比较法：数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大． 3．特殊比较法 (1)作差比较法 a－b>0⇔a>b a－b＝0⇔a＝b a－b<0⇔a<b (2)平方法：a>b>0⇔ a > b (主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较). (3)倒数法：对于任意正实数 a，b，若1 a >1 b ，则 a<b. (4)估算近似值法． 3/74 数与式 五、数的开方 六、实数的运算 1，法则 (1)加法 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同 0相加，仍得这个数． (2)减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，常用于减数是负数的情况． (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负．一个数同 0相乘，结果为 0. (4)除法 除以一个不为 0的数等于乘这个数的倒数． 4/74 数与式 2，几种常见的运算 运算 法则/方法 乘方 an＝a·a·…·a(n个 a相乘) 零次幂 任何非零实数的零次幂都为 1，即 a0＝1(a≠0) －1的奇、 偶次幂 －1的偶次幂为 1，奇次幂为－1 负整数 指数幂 任何不为零的数的－p(p为正整数)次幂，等于这个数 p次幂的倒数；特 别地，一个不为零的数的－1次幂是其倒数， 即 a－P＝ 1 ap (a≠0，p为正整数)，a－1＝ 1 a (a≠0) 3，实数的混合运算 第一步：先计算每一小项的值．一般涉及的有：平方根、立方根、乘方、0次幂、负整数指数 幂、去绝对值符号、－1的奇偶次幂、特殊角的三角函数值等． 第二步：再根据实数的运算顺序计算．先乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的，同级运 算按照从左到右的顺序进行． 第三步：计算结果． 5/74