专题6.2 指数函数（九个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题6.2 指数函数 一、指数函数的概念及应用 六、指数函数的图象 二、指数型函数的定义域 七、指数幂比较大小 三、指数型函数的值域 八、指数不等式问题 四、指数型函数的单调性 九、指数型函数的奇偶性 五、指数函数的定点问题 知识点1 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 重难点一 指数函数的概念及应用 1．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【详解】由指数函数的概念得，解得或． 当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意. 故选：C． 3．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 4．若指数函数的图象经过点，则 ， ． 【答案】 【详解】设（且），因为的图象经过点， 所以，可得，所以， 所以， 故答案为：；. 5．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 【答案】/0.25 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1. 重难点二 指数型函数的定义域 6．指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 【答案】A 【详解】因为指数函数为：且，它的定义域为：， 故选：A 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 8．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题知，，解得， 所以函数的定义域是， 故答案为： 9．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意可知，解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：. “”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同． 重难点三 指数型函数的值域 10．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数的值域为, 故答案为： 11．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 12．设函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， ∴函数的值域为， 另解：作出函数图象如下图所示， 从图象上可以看出函数的值域为. 故答案为： 13．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 14．已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 16．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. “”型函数值域的步骤：①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域． 重难点四 指数型函数的单调性 17．设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 18．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 19．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 20．已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为 . 【答案】或. 【详解】对于任意的，且，均有， 故在R上单调递增， 当时，在R上单调递增，此时需，所以， 当时，在R上单调递减，此时需，所以， 综上，或. 故答案为：或. 21．设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 22．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 23．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 重难点五 指数函数的定点问题 24．函数（且）的图象必经过点 ． 【答案】 【详解】因为函数（且）的图象必经过点， 所以函数的图象必经过点. 故答案为：. 25．已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】1 【详解】由题意知函数的图象经过定点， 故,解得,故, 故答案为；1 26．函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 27．已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为且，令可得，， 所以该函数过定点； 又点在一次函数的图象上，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 28．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点. 故选：D. 29．已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． 重难点六 指数函数的图象 30．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由指数函数的图象可知：. 令，解得， 则， 对应只有B选项符合题意. 故选：B 31．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但不与该直线相交，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意得，即， 时，，故， 故，解得. 故选：A 32．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合. 故选：D 33．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 34．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 35．如果且，那么函数的图像在第 象限． 【答案】一、三、四 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 36．指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 【答案】 【详解】由指数函数的图象可知， 所以二次函数图象顶点的横坐标. 故答案为：. 处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住指数函数的特殊点——定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 重难点七 指数幂比较大小 37．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由指数函数的性质可得当时为增函数，当时为减函数， 所以，而，所以， 故选：A. 38．设，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，所以. 故选：D 39．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增. ，所以，即. 又因为，. 对于，，即. 则. 故选：B. 40．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】则已知，，所以， 由，则，因此，又，所以， 故选：B． 41．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 再比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 又因为，所以， 故选：. 42．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以为偶函数，所以 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 比较幂的大小的3种类型及方法： （1）对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． （3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如或)来比较． 重难点八 指数不等式问题 43．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，∴，则， 解，∴，则， ∴. 故选：B. 44．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 45．已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 且对，都有，则为常数， 设这个常数是，则，即， 又，即，所以， 因为在上单调，所以方程有唯一解，则， 所以，且在上单调递增，又， 由可得，解得，所以不等式的解集为. 故选：C 46．设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的图象经过第二、三、四象限， ，解得：，在上单调递减， 则由得：，即， ，解得：， 实数的取值范围为. 故选：B. 47．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，得，即， ，即，得，即， 所以. 故选：B 48．设函数，则 ，不等式的解集为 ． 【答案】 2 【详解】由题可知，， 所以， ， 显然， 所以有， 得， 显然， 所以得， 即， 解得. 故答案为：2； 49．解下列关于 的不等式: (1): (2) 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式， 则，解得或， 所以原不等式的解集为. 指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 重难点九 指数型函数的奇偶性 50．已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）法1：函数是定义域为的奇函数， ，即， 又，即， 由①②解得，， 经检验，，符合题意. 法2：函数是定义域为的奇函数， ，即， ，即， ， 又，即， 由①②解得，. （2）函数在上为减函数. 证明如下： 由（1）得函数，任取且， 则， ，，又， ，即， 函数在上为减函数. （3）函数为奇函数， 可化为， 又函数在上为减函数， ，解得：， 原不等式的解集为. 51．已知函数为奇函数， (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义加以证明； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为为奇函数，且定义域为， 所以，则，解得，此时， 则，即为奇函数， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则， 则 ， 所以，故在上单调递增. （3）因为， 所以， 则，即，解得， 所以的解集为. 52．已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以恒成立，所以； 所以，即， 所以恒成立，所以 （2）因为， 则的定义域为， 因为，所以为奇函数； 因为， 于是任取，且， 则 ， ， 所以为上增函数； （3）解：因为， 所以即， 又因为为上增函数，所以对任意恒成立， 当时，解集不为，所以； 当时，只需，可得到. 综上实数的取值范围是 53．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 54．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 函数在上单调递增，依题意，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 55．已知函数，且为偶函数． (1)求实数的值； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，是偶函数， 则，故， 则， 则或， 解得． （2）由（1）可知，， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 故， 故，即实数λ的取值范围为． 56．已知函数是定义域为R的偶函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意，都有成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即，整理得，而不恒为0， 所以. （2）由（1）知，，不等式， 依题意，对任意，恒成立，令，当且仅当时取等号， ，函数在上单调递增， 当时，，即当时，，因此， 所以实数k的取值范围是. 一、单选题 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】由已知得，即得. 故选：C 2．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 3．若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】由，可得， 所以，因为，所以， 所以，又因为，所以，所以. 故选：B. 4．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称， 作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图， 函数的图象与函数的图象交于点， 观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方， 即当或时，不等式成立， 所以不等式的的取值范围是. 故选：B 6．已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 任设，则， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值为， 当时，， 令，则，所以，开口向上，对称轴， 又因为函数的最小值为，即时，取最小值， 所以，解得, 故选：A. 二、多选题 7．已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】由，A正确； 由的值域是，故的值域是，B错误； 由恒正且在R上递增，故是R上的减函数，C正确； 由于，D正确． 故选：ACD 8．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AD 【详解】的定义域为，且是上的奇函数，所以A对B错； 又是上的增函数，是上的减函数，函数是上的增函数，所以C错D对. 故选：AD. 三、填空题 9．已知函数，若，则的值是 【答案】3 【详解】令，则为偶函数， 所以，即， 又，所以. 故答案为：3. 10．已知函数在区间上单调递减，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在上单调递减. 因为的单调递减区间为，所以，所以的最小值为1. 故答案为：1 11．设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是 ． 【答案】 【详解】函数，即， 因为，所以， 则，即， 则， 又表示不超过x的最大整数， 所以函数的值域是. 故答案为：. 四、解答题 12．求函数的定义域、值域． 【答案】定义域为R，值域为． 【详解】因，则，即函数的定义域为R． 因， 由可得，，则， 于是，，则，即 故函数的值域为． 13．已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）函数的图象经过点，， 得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得， 即的取值范围为 14．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【答案】(1)，其中且 (2) (3)见解析 【详解】（1）令，则 故，其中且 （2）当时，，则， 故，则，解得,解得， 故的定义域为 （3）由于，故 当时，故值域为， 当时，故值域为 15．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增函数，证明见详解 (3) 【详解】（1）当时，， 任取，则,， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴， 又∵， ∴∴在上单调递增； （3）由得， ∴∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 指数函数 一、指数函数的概念及应用 六、指数函数的图象 二、指数型函数的定义域 七、指数幂比较大小 三、指数型函数的值域 八、指数不等式问题 四、指数型函数的单调性 九、指数型函数的奇偶性 五、指数函数的定点问题 知识点1 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 重难点一 指数函数的概念及应用 1．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 3．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 4．若指数函数的图象经过点，则 ， ． 5．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1. 重难点二 指数型函数的定义域 6．指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是 . 9．函数的定义域为 . “”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同． 重难点三 指数型函数的值域 10．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 11．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12．设函数，的值域是 ． 13．函数的值域为 ． 14．已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 15．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 16．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． “”型函数值域的步骤：①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域． 重难点四 指数型函数的单调性 17．设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 19．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为 . 21．设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 重难点五 指数函数的定点问题 24．函数（且）的图象必经过点 ． 25．已知函数的图象经过定点，则 . 26．函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 27．已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 28．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． 重难点六 指数函数的图象 30．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   31．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但不与该直线相交，则（    ） A．， B．， C．， D．， 32．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   33．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 34．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   35．如果且，那么函数的图像在第 象限． 36．指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住指数函数的特殊点——定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 重难点七 指数幂比较大小 37．设，，，则（    ） A． B． C． D． 38．设，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 39．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 40．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 41．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 42．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 比较幂的大小的3种类型及方法： （1）对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． （3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如或)来比较． 重难点八 指数不等式问题 43．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 44．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46．设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 48．设函数，则 ，不等式的解集为 ． 49．解下列关于 的不等式: (1): (2) 指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 重难点九 指数型函数的奇偶性 50．已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 51．已知函数为奇函数， (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义加以证明； (3)求关于的不等式的解集. 52．已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 53．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 54．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 55．已知函数，且为偶函数． (1)求实数的值； (2)若，，求实数λ的取值范围． 56．已知函数是定义域为R的偶函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意，都有成立，求实数k的取值范围． 一、单选题 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 2．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 3．若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 4．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 8．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 9．已知函数，若，则的值是 10．已知函数在区间上单调递减，则的最小值为 . 11．设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是 ． 四、解答题 12．求函数的定义域、值域． 13．已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 14．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 15．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$