第1章二次函数 单元测试 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

第1章二次函数 单元训练卷 时间: 120分钟 满分: 120分 一、单选题(每题3分，共30分) 1．抛物线y＝－3(x－2)2＋4的顶点坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 2．下列各点中，不在抛物线y＝x2－2x上的点是(　　) A．(－3，－14) B． C．(－1，3) D．(2，0) 3．若二次函数y＝axa2－1的图象开口向上，则a的值为(　　) A．3 B．－3 C． D． － 4．函数y＝－x2－2x＋3的图象可以由函数y＝－x2的图象怎么平移得到？(　　) A．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 5．已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，则它对应的函数表达式为(　　) A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3 C．y＝3(x＋1)2＋3 D．y＝－3(x＋1)2＋3 6．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝a(x＋m)2＋k(a<0)．某运动员进行了两次训练．某一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为(　　) 第一次训练数据 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 A．23.20 m B．22.75 m C．21.40 m D．23 m 7．若二次函数y＝x2＋2x＋c－1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为(　　) A．2 B．1 C．－2 D．0 8．已知反比例函数y＝(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象如图所示，则函数y＝mx2＋nx－k＋1的图象可能为(　　) 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的对称轴为直线x＝1，且(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上的两点，下列命题正确的是(　　) A．若x1>x2>1，则(y1－y2)＋2a(x1－x2)<0 B．若1>x1>x2，则(y1－y2)＋2a(x1－x2)<0 C．若x1>x2>1，则(y1－y2)＋a(x1－x2)>0 D．若1>x1>x2，则(y1－y2)＋a(x1－x2)>0 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc<0；②a＋b＋c≥ax2＋bx＋c；③若M(n2＋1，y1)，N(n2＋2，y2)为函数图象上的两点，则y1<y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋ bx＋c＝p(p>0)有整数根，则p的值有2个．其中正确的结论为(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题(每题3分，共24分) 11．抛物线y＝－x2－3x＋3与y轴交点的坐标为__________________． 12．将二次函数y＝x2－4x＋5的图象绕顶点旋转180°后对应的函数表达式是____________________． 13．若抛物线y＝x2－4x＋k与坐标轴有且只有两个交点，则k的值为________ . 14．已知抛物线y＝－3x2＋bx＋c经过点A(0，2)，B(4，2)，则不等式－3x2＋ bx＋c<2的解集是______________． 15．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点， OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是________________． 16．某农场拟用围栏围两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为22 m.若要使得饲养室面积最大，则利用墙的长度为__________m. 17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝t，A(x1，y1), B(x2，y2)是抛物线上两点，当0<x1<2，2<x2<4时，总有y1>y2，则t的取值范围为____________． 18．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5 m时，水柱落点距O点5 m；喷头高8 m时，水柱落点距O点6 m．现要使水柱落点距O点8 m，则喷头高应调整为________ m. 三、解答题(共66分) 19．(6分)已知，抛物线y＝4x2－(k＋2)x＋k－4， (1)求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； (2)若抛物线与x轴有一个交点A(－1，0)，另一交点为B，求k的值及线段AB的长． 20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 … (1)求该二次函数的表达式； (2)写出将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式． 21．(8分)如图，已知抛物线y＝－2x2＋2与直线y＝2x＋2交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求△ABO的面积． 22．(9分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)求S随t变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当S＝20时，t的值是多少？ (3)当t取何值时，△PBQ的面积最大？最大是多少？ 23．(8分)(1)将二次函数y＝x2－2x－1配方为y＝a(x－h)2＋k的形式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2－2x－1的图象； (3)利用所作的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的根的范围(保留整数)． 24．(8分)已知二次函数y＝－x2＋2x＋m. (1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； (2)若二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标． 25．(9分)某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场每天可通过销售A商品获利y元． (1)求y与x之间的函数表达式(不必写出自变量x的取值范围)； (2)A商品的销售单价为多少时，该商场每天通过销售A商品所获的利润最大？ 26．(10分)根据以下素材，探索完成任务． 拟定喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．自动喷灌系统从喷水口喷出的水柱呈抛物线形，如图①是某喷灌器OA喷水时的截面示意图．喷水口点A离地高度为0.25 m，喷出的水柱在与喷水口水平距离为2 m处达到最高，高度为0.45 m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处 素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4 m，宽0.8 m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图②.调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛截面的DE边上(大理石厚度不计)，达到给花坛喷灌的效果 问题解决 任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距离 任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值 答案 一、1．C　2．A　3．C　4．C　5．D　6．A　7．A　8．A 9．C　点拨：由题意得当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，∴当x1>x2＞1时，y1>y2；当1>x1>x2时，y1<y2.若x1>x2>1，则 x1－x2>0，y1－y2>0，又∵a>0，∴(y1－y2)＋2a(x1－x2)>0，(y1－y2)＋a(x1－x2)>0，故A错误，C正确；若1>x1>x2，则x1－x2>0，y1－y2<0，又∵a>0，∴无法判断(y1－y2)＋2a(x1－x2)和(y1－y2)＋a(x1－x2)的符号，故B、D错误.故选C. 10．C 二、11．(0，3) 12．y＝－(x－2)2＋1 13．4 14．x<0或x>4 15．y＝x2－2x－3 16．12 17．t≥3　点拨：∵0<x1<2，2<x2<4， ∴2<x1＋x2<6，x1<x2. ∴1<<3. 由x1<x2，总有y1>y2，且a>0， 可知A，B的中点在对称轴左侧． ∴<t. ∴t≥3. 18．16 三、19．(1)证明：由题意得Δ＝[－(k＋2)]2－4×4(k－4)＝k2－12k＋68＝(k－ 6)2＋32>0， ∴不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； (2)解：将(－1，0)代入y＝4x2－(k＋2)x＋k－4，得4＋(k＋2)＋k－4＝0，解得k＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝4x2－x－5， 令4x2－x－5＝0，解得x1＝，x2＝－1，∴B， ∴AB＝－(－1)＝. 20．解：(1)由表格可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(0，－3)，(2，－3)，(1，－4)， ∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝＝1， ∴其顶点坐标为(1，－4)， 设该二次函数表达式为y＝a(x－1)2－4， 将x＝－1，y＝0代入得4a－4＝0，解得a＝1. ∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4. (2)将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式为 y＝(x－1－1)2－4＋2， 即y＝(x－2)2－2. 21. 解：(1)联立 解得或 ∴A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)． (2)∵A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)， ∴OA＝1，OB＝2， ∴S△ABO＝OA·OB＝×1×2＝1. 22．解：(1)根据题意得AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则BP＝(12－2t) cm， ∴S＝BP·BQ＝(12－2t)·4t＝－4t2＋24t(0<t<6)． (2)当S＝20时， －4t2＋24t＝20，解得t1＝1，t2＝5， ∴t的值为1或5. (3)S＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大是36 cm2. 23. 解：(1) y＝x2－2x－1＝(x2－2x＋1)－1－1 ＝(x－1)2－2. (2)如图所示． (3)方程x2－2x－1＝0的根是抛物线y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间． 24. 解：(1)根据题意，得Δ＝22－4×(－1)×m＞0， 解得m＞－1. (2)将点A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋2x＋m， 得－9＋6＋m＝0，解得m＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴其图象的对称轴为直线x＝1. ∵直线AB与该二次函数图象的对称轴交于点P， ∴点P的横坐标为1. 对于y＝－x2＋2x＋3， 当x＝0时，y＝3，即点B(0，3)． 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 将点A(3，0)，B(0，3)的坐标代入，得 解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝2，∴点P的坐标为(1，2)． 25. 解：(1)由题意得，该商品每件降价x元时，销售单价为(100－x)元，日销量为(128＋8x)件， 则y＝(128＋8x)(100－x－80)＝－8x2＋32x＋2 560， 即y与x之间的函数表达式是y＝－8x2＋32x＋2 560. (2)∵y＝－8x2＋32x＋2 560＝－8(x－2)2＋2 592， ∴当x＝2时，y取得最大值， 此时销售单价为100－2＝98(元)． 答：A商品的销售单价为98元时，该商场每天通过销售A商品所获的利润最大． 26. 解：任务1：以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(OA，OB方向为正方向)．根据题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋0.45，把点A(0，0.25)的坐标代入，得0.25＝a(0－2)2＋0.45，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋0.45.令y＝0，得0＝－(x－2)2＋0.45，解得x1＝5，x2＝－1(不合题意，舍去)， ∴B(5，0)，∴OB＝5 m， ∴喷灌器OA与围墙的距离为5 m. 任务2：由题意，得CD＝0.4 m，BC＝0.8 m， ∴D(4.2，0.4)． 由题易知当水柱经过点D时，OA的高度最小， 设此时抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋k， 把D(4.2，0.4)的坐标代入，得0.4＝－×(4.2－2)2＋k， 解得k＝0.642， ∴y＝－(x－2)2＋0.642. 当x＝0时，y＝－×(0－2)2＋0.642＝0.442， ∴OA＝0.442 m，即喷水口距离地面高度的最小值为0.442 m. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$