山东省淄博市张店实验中学2024—2025学年上学期九年级）第一次月考数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市张店实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是(    ) A. 点A位于第二或四象限 B. 图象一定经过 C. 在每个象限内，y随x的增大而减小 D. 图象一定经过 2.已知反比例函数的图象在一、三象限，则化简代数式得(    ) A. B. C. D. 3.已知，那么锐角的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.在中，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，曲线是双曲线：绕原点O逆时针旋转得到的图形，P是曲线上任意一点，点A在直线l：上，且，则的面积等于(    ) A. B. 6 C. 3 D. 12 6.如图，已知动点P在反比例函数的图象上，轴于点A，动点B在y轴正半轴上，当点A的横坐标逐渐变小时，的面积将会(    ) A. 越来越小 B. 越来越大 C. 不变 D. 先变大后变小 7.近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，，，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为参考数据：，， A. 143 B. 77 C. 62 D. 158 8.如图，在中，，，的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为，双曲线经过点A，则k的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图所示，正方形ABCD与其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上的公共顶点A在反比例函数的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，若这两个正方形的面积之和是，且则k的值是(    ) A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 10.已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、下列结论： ①若点，在图象上，且，则； ②当点P坐标为时，是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有，； ④当点P移动到使时，点A的坐标为 其中正确的结论个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.已知为锐角，且，则等于______ 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，已知，，则方程的根是______. 13.设函数与的图象的交点坐标为，则的值为______. 14.如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差为______. 15.如图，已知点A在反比例函数上，作，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若的面积为6，则______. 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算； 17.本小题10分 如图，在中，，，，求AB的长. 18.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函的图象交于点， 求一次函数和反比例函数的表达式； 请根据函数图象直接写出关于x的不等式的解. 连接OA，OB，求的面积. 19.本小题10分 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米.已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度. 20.本小题12分 如图，在中，，，是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点 求线段CE的长； 求的值. 21.本小题12分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与x，y轴分别相交于点C，且 分别求这两个函数的表达式； 以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，求的面积； 根据函数的图象直接写出关于x的不等式的解集. 22.本小题13分 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向.有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里. 求A、C两处的距离； 突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援.此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处.求救援船到达C处所用的时间结果保留根号 23.本小题13分 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点 求m的值； 点M是函数图象上一动点不与P点重合，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ，故选项B、D正确，不符合题意； ， 图象位于第一、三象限，故选项A不正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意． 故选： 先求出k的值，再根据反比例函数的性质解答即可． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2.【答案】C  【解析】解：反比例函数的图象在一、三象限， ， ， 故选： 根据反比例函数的图象在一、三象限得出，求出m的取值范围即可． 本题考查的是反比例函数的图象和二次根式的性质，根据题意得出m的取值范围是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：，， 又， 故选： 由于是锐角，所以，即，又，，而余弦函数随角度的增大而减小，从而得出锐角的取值范围． 熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：在中，， ， 设，，则， 故选： 利用余弦的定义得到，设，，则可求出，然后根据正切的定义求解． 本题考查了锐角三角函数的定义． 5.【答案】B  【解析】解：如图，将及直线绕点O逆时针旋转，则得到双曲线，直线l与y轴重合． 双曲线，的解析式为， 过点P作轴于点B 为OA中点． 由反比例函数比例系数k的性质， 的面积是6 故选： 将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题． 本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．. 6.【答案】C  【解析】解：如图，连接OP， 轴， ， 轴， ， 当点A的横坐标逐渐变小时，的面积不变，始终等于 故选： 根据反比例函数系数k的几何意义得出，即可得出结论． 本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 7.【答案】A  【解析】解：如图，过点E作于点M，过点E作，过点F作于点N， 在中，，， ， 在中，，， ， 机器人的最高点F距地面AB的高度为， 故选： 通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8.【答案】B  【解析】解：如图，过点A作轴于点C， 在中，，， ， 设，则，， 由题意可知，， ，， ∽， ，即， ， ， 故选： 过点A作轴于点C，易得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，易证∽，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数k的几何意义即可求解． 本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 9.【答案】C  【解析】解：设，， 由题意得： 正方形ABCD与其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上的公共顶点A在反比例函数的图象上， ，， ， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， 故选： 设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：①错误．，函数y随x是增大而减小， ，故①错误． ②正确．， ，， ，， ， 是等腰三角形，故②正确． ③正确．设，则，， ，， ， ，故③正确． ④正确．设，则，， ，，， ，， ，， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． ②③④正确， 故选 ①错误．因为，函数y随x是增大而减小，所以； ②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题； ③正确．设，则，，可得，，推出，； ④正确．设，则，，推出，，，由∽，可得，列出方程即可解决问题； 本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11.【答案】80  【解析】解：为锐角，，， ， 故答案为 根据解答． 此题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特特殊角的三角函数值即可． 12.【答案】或  【解析】解：由题意，由方程的根就是直线与双曲线的交点的横坐标， 又直线与双曲线的交点是，， 方程的根为或 故答案为：或 依据题意，由方程的根就是直线与双曲线的交点的横坐标，进而可以得解． 本题主要考查了一次函数、反比例函数与方程的根的意义，解题时要熟练掌握并理解． 13.【答案】  【解析】解：函数与的图象的交点坐标为， ， ，， 故答案为： 根据两个函数的交点分别满足两个函数解析式得到，，代入所求代数式进行代值求解即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，完全平方公式的变形求值，分式的求值，熟知函数图象上的一点一定满足对应的函数解析式是解题的关键． 14.【答案】3  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值是解题的关键．根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差． 【解答】解：和都是等腰直角三角形， ，， 设，，则点B的坐标为， 反比例函数在第一象限的图象经过点B， ， 故答案为 15.【答案】12  【解析】解：的面积为8， ， ， 点D为斜边AC的中点， ， ， 又， ∽， ， 故答案为： 根据反比例函数系数k的几何意义，证明∽，根据相似比求出的值，从而求出的面积． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明∽，得到 16.【答案】解：原式 ； 原式   【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案； 直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 17.【答案】解：作于D，如图， 在中，，， ，， 在中，， ，   【解析】作于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到，，再在中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可． 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．掌握三角函数的概念是解题的关键． 18.【答案】解：点，在反比例函数的图象上， ，， 反比例函数表达式为，点A的坐标为 点和在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数表达式为； 由图象可知，关于x的不等式的解为或； 是直线AB与y轴的交点， 当时， 点   【解析】利用待定系数法即可求得； 通过观察图象即可求得； 把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键． 19.【答案】解：如图，延长AC交BF延长线于D点，作于点 在中，，米， 米，米 在中， 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，米，CE：：2， 米， 米 在中，米， 故树的高度是米．  【解析】要求树的高度，考虑将其放在直角三角形中求解．在中，，则， 本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的概念、熟练运用勾股定理是解题的关键． 20.【答案】解：，，， ， ， ， 又为AB中点， ， ， 又， ，， 即， ， ； 如图，作交AB于点F， 由知， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 即，，   【解析】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的应用． 先由余弦的定义求出AB，再由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，，由余弦的定义列比例式求出CE； 作交AB于点F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出的正弦值． 21.【答案】解：由得， ， ， ， 代入得， 一次函数解析式为 过A作轴，如图 ， ， ， ， ， 代入得， 反比例函数解析式为 如图2：过A作轴，交BE于 联立和得， 或1， ， ， ， ， 设直线BE解析式为， ， ，， 直线BE解析式为， ， 面积 看图得：当或时，，即  【解析】由得，由，，故一次函数解析式为过A作轴，由，得，故反比例函数解析式为 过A作轴，联立和得，得，求出直线BE解析式为，得，故面积 看图得：当或时，，即 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题关键． 22.【答案】解：如图1，过C作于点E， 由题意得：海里，，， 海里，是等腰直角三角形， 海里， 答：A、C两处的距离为20海里； 如图2，过点D作于点F， 在中，海里，， 海里， 海里， 海里， 在中，由勾股定理得：海里， 小时， 答：救援船到达C处所用的时间为小时．  【解析】过C作于点E，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； 过点D作于点F，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出CD的长，即可解决问题． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23.【答案】解：对于，当时，， ， 将点代入得，； 过点D作，交BP的延长线于G，作于H， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ≌， ，， 设， ，， ，， ， 点M在反比例的图象上， ， 解得，， 当时，舍， 当时，，   【解析】【分析】 根据一次函数表达式可得点P的坐标，再将点P代入反比例函数，可得答案； 过点D作，交BP的延长线于G，作于H，利用AAS证明≌，得，，设，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可． 本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$