江苏省扬州市江都区第三中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年江苏省扬州市江都三中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法中，错误的是(    ) A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 圆中最长的弦是直径 D. 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 3.下列各条件中，能判断∽的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，，， 4.如图，与是位似三角形，位似比为2：3，已知，则DE的长等于(    ) A. B. 2 C. D. 5.如图，AB、CD是的弦，且，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，C是上一点，，过点C作弦CD交OB于E，若，则与满足的数量关系是(    ) A. B. C. D. 7.如图，，若，则下面结论错误的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，AD是的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心若，则的半径长是(    ) A. 6 B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若一条弦把圆分成1：5两部分，则劣弧所对的圆心角为______. 10.若，则的值为______. 11.已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且，那么AP：AB的比值为______. 12.如图，AB是直径，，，的度数是______. 13.关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为______. 14.如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数相交于点D，且，则矩形OABC的面积为______. 15.已知的半径为5，弦，则上到弦AB所在直线的距离等于1的点有______个. 16.对于一元二次方程，下列说法：①若方程有一根，则；②若，则；③若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；④若c是方程的一个根，则一定有成立.其中正确的有______个填个数 17.已知E是矩形ABCD的边BC上一点，，连接AE，将沿AE翻折.若点B的对应点正好落在矩形的对角线上，则的值为______. 18.如图，的半径为6，点P在上，点A在内，且，过点A作AP的垂线交于点B、设，，则y与x的函数表达式为______. 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 用适当的方法解方程： ； 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若方程的两个实数根分别为、，且，求m的值. 21.本小题8分 在中，，AD是斜边BC上的高. 证明：∽； 若：：25，，求BD的长. 22.本小题8分 如图，的顶点均为网格中的格点. 选择合适的格点包括边界为点D和点E，请画出一个，使∽相似比不为 在图2中画一个，使其与相似，且面积为 23.本小题8分 如图，中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点 求证：； 若，求的度数. 24.本小题8分 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图.如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为求大拇指的高度. 25.本小题8分 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， 方程______“2倍根方程”填“是”或“不是”； 若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值； 若是“2倍根方程”，求代数式的值. 26.本小题8分 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 27.本小题8分 【阅读材料】如图1所示，对于平面内，在上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”.例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”.过点M作y轴的垂线交y轴于点N，线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”. 【类比应用】已知的圆心为，半径为4，弦AB的长度为4，弦AB的中点为 如图2所示，如果弦AB在上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗？若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由. 如图2所示，当轴时，弦AB到原点O的“密距”是______. 如图2所示，如果弦AB在上运动，在运动过程中直接写出弦AB到原点的“密距”d的取值范围______. 28.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且为常数，，分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为设BF的长为x，GH的长为 若，，则k的值是______. 若时，求y的最大值. 在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程． 故选： 根据一元二次方程的定义即可求出答案． 本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 2.【答案】B  【解析】解：直径相等的两个圆是等圆，故选项A正确，不符合题意； 平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故选项B错误，符合题意； 圆中最长的弦是直径，故选项C正确，不符合题意； 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧，故选项D正确，不符合题意； 故选： 根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 本题考查垂径定理、圆的认识，解答本题的关键是明确题意，利用圆的相关知识解答． 3.【答案】C  【解析】解：A、，，只有一角一边， 无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意； B、，，不是与的夹角， 无法判断两个三角形相似，故本选项错误，不符合题意； C、由，可得， 再由，得， 两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， 可判断∽，故本选项正确，符合题意； D、由，， 可得， 由，， 可得， 只有， 无法得∽，故本选项错误，不符合题意． 故选： 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 4.【答案】C  【解析】解：与是位似三角形，位似比为2：3， ：：3， ， ， 故选： 根据位似比的概念列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：如图，连接OA， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：连接OD， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故选： 连接OD，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据已知和等量代换可得，从而可得，再利用三角形是外角性质可得，最后利用等量代换进行计算，即可解答． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由，得，故A不符合题意； ， ，故B不符合题意； 根据已知条件得不出，故C符合题意； 由，得，故D不符合题意； 故选： 已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 8.【答案】A  【解析】解：如图，过点O作于点H，交于点M，连接AM， 将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O， 垂直平分OM， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 又， 即的半径长是6， 故选： 过点O作于点H，交于点M，连接AM，根据折叠的性质得到AB垂直平分OM，所以，再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到，然后证明OH是的中位线得到，最后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA的长即可． 本题考查了垂径定理和折叠的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：一条弦把圆周分成1：6的两段弧， 劣弧所对圆心角的度数， 故答案为： 先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理得出该弦所对圆周角的度数即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 10.【答案】2  【解析】解：， ， ， 故答案为： 利用比例的性质进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点P是线段AB的黄金分割点，且， ， ， 故答案为： 根据黄金分割的定义即可得出答案． 本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ， ， 故答案为： 根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 13.【答案】1  【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得，， 又， 的最小整数值为1， 故答案为： 根据题意可以得到，又因为，从而可以解答本题． 本题考查根的判别式、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14.【答案】25  【解析】解：过点D作轴于点E，如图所示： 设，， 则点， 点D在反比例函数的图象上， ， 四边形OABC为矩形， ， 轴， ， ∽， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 过点D作轴于点E，设，，则点，进而得，证明和相似得，进而得，然后根据矩形的面积公式可得出答案． 此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 15.【答案】4  【解析】解：如图，过O作半径于C，连接OA， 中，弦， ， ， ， ， 在上点D到弦AB所在直线的距离为2， 在上有2个点到弦AB的距离为1，在有2个点到弦AB所在直线的距离为1， 上到弦AB所在直线的距离为1的点有4个． 故答案为： 过O作半径于C，连接OA，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到上到弦AB所在直线的距离为1的点有4个． 本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理，勾股定理求出OC的长． 16.【答案】3  【解析】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是，， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为： ①若方程有一根，则，即可求解； ②若，则可知方程有一个根为，即可求解； ③若方程的两个根是，，即可求解； ④若c是方程的一个根，则，即可求解． 本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 17.【答案】或  【解析】解：设，，分两种情况： ①点在AC上，如图1， 由翻折可知，，， ， ， ， ，， ∽， ； ②点在BD上，如图2，由翻折可知，， 垂直平分， ， ， ， ∽， ，即， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或 设，，分两种情况：①点在AC上，求出，证明∽，根据相似三角形的性质可得答案；②点在BD上，证明∽，根据相似三角形的性质求出即可得出答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，正确分类讨论是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：连接PO并延长交于H，连接BH， 由圆周角定理得，，， ， ， ， ∽， ，即， ， 故答案为： 连接PO并延长交于H，连接BH，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19.【答案】解：， ， ， 或， 解得，； ， ， 或， 解得  【解析】利用因式分解法解方程即可； 利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20.【答案】证明： ， 方程总有两个实数根； 解：方程的两个实数根分别为、，且， ，， 即：， 解得：，  【解析】利用根的判别式判断出即可解题； 根据根与系数的关系得到方程，解题即可． 本题考查一元二次方程跟的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系进行解题． 21.【答案】证明：是斜边BC上的高， ， ， ， ， ， ∽ 解：∽， ， ， ， 的长是  【解析】由AD是斜边BC上的高，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽； 由相似三角形的性质得，则，而，即可求得 此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键． 22.【答案】解：如图所示：即为所求； 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ，，， ， ∽ ，，且∽， 则， ∽的相似比为1：， 则，，， 如图所示，即为所求．  【解析】根据要求，画出一个，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得∽； 根据题意可知，进而可知∽的相似比为1：，求出边长即可作图． 本题考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 23.【答案】证明：连接AD，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ； 解：连接OE，如图2所示： 是的直径， ， ，   【解析】连接AD，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； 连接OE，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 24.【答案】解：，， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， ，，， ， ， 解得， ，， ， 解得  所以大拇指的高度为  【解析】根据题意可得∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 本题考查相似三角形的应用以及生活中的平移现象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25.【答案】是  【解析】解：， ， 或， 解得，， ， 方程是“2倍根方程”， 故答案为：是； 设方程的两根为s，t， 一元二次方程是“2倍根方程”， 不妨设， ，， ， ，， ； ， ， 解得，， 是“2倍根方程”， 或， 或， 或 先利用因式分解法解方程得到，，再由即可得到方程是“2倍根方程”； 设方程的两根为s，t，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，，进而求出，，则； 解方程得到，，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可． 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确记忆相关知识点是解题关键． 26.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：不合题意，舍去，， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．  【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 根据月销售利润=每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27.【答案】   【解析】解：圆心P到弦AB的中点M的距离不变化；理由如下， 连接PM，PA，如图2， 点M是弦非直径的中点，P为圆心， ， ， ， 根据同圆中等弦的弦心距相等，可得圆心P到弦AB的中点M的距离不变化； 连接PM，PA，OM，如图3， 的圆心为， 由得，，又轴， 轴， 在中，由勾股定理得： ， 即由“密距”的定义得弦AB到原点O的“密距”是 故答案为：； 弦AB到原点的“密距”d的取值范围为；理由如下： 当弦AB在上运动时，，， 故答案为： 连接连接PM，PA，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理可求得PM，从而运用同圆中等弦的弦心距相等，即可得答； 连接OM，由得到，结合中可推出轴，根据勾股定理在中可求得OM的长，即可解答； 由三角形三边关系的应用，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围． 此题考查垂径定理，勾股定理，三角形三边关系的应用，解题关键是读懂题意，理解“密距”的定义． 28.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ，， ， ， ， ， ∽， ，即， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； 当时，，此时H与C重合，如图1， ，， ， 由知：，即， ， ， 有最大值是； 如图2， 当G在AD上时，， ， ， 由知：，即， ①， 线段AD上存在唯一的一点G， 方程①有一个解或两个相等的实根， ， 舍或 证明∽，列比例式可得结论； 当时，H与C重合，正确画图，根据中的比例式可得y关于x的二次函数，利用配方法可得结论； 先用k表示FH的长，利用中的比例式可得关于x的方程，根据方程有两个相等的实根列式可解答． 本题是四边形的综合题，主要考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式的应用，二次函数的最值等的综合运用，证明∽列比例式是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$