四川省成都市青羊区树德中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是(    ) A. B. C. D. 2.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 3.如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为(    ) A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(    ) A. 当，▱ABCD是矩形 B. 当，▱ABCD是菱形 C. 当，▱ABCD是菱形 D. 当，▱ABCD是正方形 6.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形图，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素忽略误差，图2中的四边形ABCD与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段OA的中点，那么以下结论正确的是(    ) A. 四边形ABCD与四边形的相似比为1：1 B. 四边形ABCD与四边形的相似比为1：2 C. 四边形ABCD与四边形的周长比为3：1 D. 四边形ABCD与四边形的面积比为4：1 7.如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.一元二次方程配方为，则k的值是__________. 10.若，且，则的值为______. 11.如图，在九年级颁奖典礼上，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______米. 12.将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______. 13.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E：分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点若，则的值为______. 14.已知，则代数式的值是______. 15.已知a，b是方程的两根，则______. 16.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案阴影部分，若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______. 17.如图，直角坐标系中，点，，线段AB绕点B按顺时针方向旋转得到线段BC，则点C的纵坐标为______. 18.如图，在菱形ABCD中，对角线BD，AC交于点O，将点D绕点A顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 ①解方程：； ②解不等式组：； 先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值. 20.本小题6分 如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为， 画出绕点O顺时针旋转后得到的； 在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形OEF，使与的位似比为2：1； 直接写出线段CD与线段EF的位置关系与数量关系. 21.本小题8分 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： 本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； 扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数______； 学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 22.本小题8分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，连接OE并延长到点F，使得 判断四边形DOCF的形状，并说明理由； 连接AF，若，，求 23.本小题10分 如图1，雯雯同学将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为AE，延长EG交CD于点F，连接 求证：； 如图2，过点F作与点M，连接BM，求证BM平分； 如图3，过点G作交AE于点H，当时，求GH与AB的数量关系，并证明你的结论. 24.本小题8分 某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价元与购买件数件之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元. 直接写出当和时，y与x的函数关系式； 该学校预计购买甲、乙两款运动服共1000件，最终花费为56000元，请问有哪几种购买方案. 25.本小题10分 已知直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线：与y轴交于点C，与直线交于点 如图1，点D的横坐标为4，若点E是：上一动点， ①求直线的函数表达式； ②连接CE，若的面积为4，求E的坐标； 如图2，点P是线段OA上一点，，在线段CP上取点M，将线段MP绕点P顺时针旋转得到线段PN，点N恰好在直线上，且，在平面内是否存在一点H，使得四边形MPNH为正方形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 26.本小题12分 如图1，与都是等腰直角三角形，且，求证：∽ 如图2，在中，，，，点E是射线BE上一动点，连接AE，AE绕点E逆时针旋转，得到EF连接AF，FC； ①求证：； ②若，求AE的长； 如图3，菱形ABCD中，，点E是线段BD上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE的左侧作菱形AEFG，使得，线段EF交线段CD与点P，若，求用含有k的式子表示 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：该几何体的主视图是： 故选： 根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 2.【答案】D  【解析】解：关于x的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 的取值范围是且， 故选： 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出k的取值范围即可得出答案． 此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：， ， ，， ， 即， 故选： 本题考查了平行线分线段成比例定理， 注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 4.【答案】D  【解析】解：由题意知，袋中球的总个数约为个， 所以袋中白球的个数， 故选： 由题意知，袋中球的总个数约为个，继而可得答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5.【答案】D  【解析】解：有一个直角的平行四边形是矩形，故A对； B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B对； C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C对； D.对角线相等的平行四边形是长方形或正方形，故D错； 故选： 根据矩形、正方形、菱形的定义进行判断即可． 本题考查特殊平行四边形的判定定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线． 根据位似图形的性质逐一判断即可. 【解答】 解：四边形ABCD与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段OA的中点， ：：2， ：：2， 四边形ABCD与四边形的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4： 故选： 7.【答案】A  【解析】解：由题意可得， ， 故选： 根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积=长宽，即可列出相应的方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化． 8.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形， ，，， 在与中， ， ≌， ， ， 故选： 根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌可得答案． 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出≌是解此题的关键． 9.【答案】1  【解析】解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为： 根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值． 本题考查解一元二次方程-配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 10.【答案】76  【解析】解：设， ，，， ， ， ， ， ，，， ， 故答案为： 利用设k法，进行计算即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点C是线段AB上靠近点A的黄金分割点，，米， 米， 米， 主持人与点A的距离为米， 故答案为：米． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 12.【答案】24  【解析】解：如图，连接AC，BD，过A作于E，作于F， 由纸条的对边平行可得：，， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 纸条等宽，则， ， 四边形ABCD为菱形， 菱形ABCD的面积， 故答案为： 连接AC，BD，过A作于E，作于F，证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的面积公式即可解决问题． 本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， 由作图得：AE平分，MN垂直平分AE， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， 故答案为： 先根据作图得出AE平分，MN垂直平分AE，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解： 当时， 故答案为： 把看成一个整体，先利用因式分解的完全平方公式，再代入求值． 本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式是解决本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：，b是方程的两根， ，， ， ； 故答案为： 由a，b是方程的两根，可得，，代入即可得到答案． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 16.【答案】  【解析】解：如图： 由题意可知，，， ， 在中，， 大正方形的面积 中间小正方形的面积，小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为 故答案为： 根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 17.【答案】  【解析】解：过点A作交BC的延长线于点D，过D作轴，轴，过点C作轴， 则，，， 点，， ，， ， 经过旋转， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ≌， ， ， ， ∽， ， 点的纵坐标为， 故答案为： 过点A作交BC的延长线于点D，过D作轴，轴，过点C作轴，由勾股定理，旋转求出AB，BC的长，先证明≌，求出DG的长，证明∽，利用相似比，求出CF的长即可． 本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，属于填空择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形． 18.【答案】  【解析】解：设菱形的边长为a， 如图，连接延长到T，使得，连接CT，DT， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 四边形ABCD是菱形， ， ， ， 当点T在DC的延长线上时，的值最小，如图2中， 过点作于点 ，， ， ， ，， ， 解得负值舍去， 菱形的边长为， 故答案为： 如图，连接延长到T，使得，连接CT，DT，构造三角形的中位线，求出CT最小时，的位置，可得结论． 本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 19.【答案】解：， ， 或， 解得，； 解不等式①：， 解得， 解不等式②：， ， 解得， 不等式组的解集为； ， 当时，原式； 当时，不符合题意； 当时，原式； 当时，不符合题意．  【解析】利用因式分解法即可求解； 根据一元一次不等式组的解法即可求解； 先根据分式的化简求值方法将式子化简，再将，代入即可． 本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，分式的化简求值，掌握求解方法是解题的关键． 20.【答案】解：如图所示，即为所求； 如图所示，即为所求； 由作图可知，线段CD与线段EF的位置关系与数量关系分别为平行、   【解析】根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； 根据位似变换的性质找出对应点即可求解； 由图形可直接得出结论． 本题考查了作图-位似变换，旋转变换，熟记位似变换，旋转变换的性质是解题的关键． 21.【答案】解：， 补全条形统计图如下： ； 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为  【解析】解：本次被调查的学生人数为名 选择“足球”的人数为名 补全条形统计图如下： 扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为  故答案为： 见答案． 用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可． 用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可． 画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】解：四边形DOCF的形状为矩形，理由如下： 四边形ABCD为菱形， ，对角线分别平分一组对角， 由菱形的性质可知O为AC，BD的中点， 又E为CD中点，故EO为的中位线， ， ， 又， ， 故四边形ADFO为平行四边形． ，又， ， ， 又， 故四边形DOCF为矩形对角线相等且互相平分的四边形为矩形 如图所示，设DO，AF相交于点G， 由中可知， 又，即 ，， ，又， ∽ ，即， 即，   【解析】由四边形ABCD为菱形可知O为AC，BD的中点，又E为CD中点，故EO为的中位线．先证明四边形ADFO为平行四边形，再证明，又，从而得到四边形DOCF的对角线相等且互相平分证明为矩形； 先证明∽得比例式，即，解出BO即可． 本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定，三角形的中位线性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性很强，熟练掌握以上知识是解此题的关键所在． 23.【答案】证明：如图1所示： ，，， 由折叠的性质得：，，， ， 的延长线交CD于F， ， 在和中， ， ， ； 证明：如图2所示： 由折叠的性质得：，， 由可知：， ， ， ， ， 即， ， ， 又， ∽， ， 又， ∽， ， ， ， 平分； 解：GH与AB的数量关系是：或，证明如下： 延长EF于AD的延长线交于M，如图3所示： 设正方形的边长为6a，，则， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，， ①当时，则，，，， ， ∽， ， ， ，， ，， ， ∽， ， ， ， ， ； ②当时，则，，，， 同理可证：∽， ， ， ，， ，， ， ∽， ， ， ， ， ， 综上所述：GH与AB的数量关系是：或  【解析】根据正方形的性质及折叠性质得，，，则，然后根据“HL”判定和全等即可得出结论； 先由正方形的性质及折叠性质得，证明和相似得，再根据得和相似，则，据此可得出结论； 延长EF于AD的延长线交于M，设正方形的边长为6a，，根据已知条件得，则，，，在中，由勾股定理可求出或，①当时，则，，，，证明和相似得，，则，，再证明和相似得，则；②当时，则，，，，同理可证∽，则，，进而得，，再证明和相似得，则，综上所述即可得出GH与AB的数量关系． 此题主要考查了正方形的性质，图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，图形的折叠变换及其性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 24.【答案】解：设当时，y与x的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， 与x的函数关系式为； 当时，， 由题意可知，当时，y与x的函数关系式为； 综上所述，y与x的函数关系式为； 设甲款运动服购买x件，则乙款运动服购买件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 有2种购买方案： ①甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件； ②甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件．  【解析】由待定系数法求出当时，y与x的函数关系式，即可解决问题； 设甲款运动服购买x件，则乙款运动服购买件，根据最终花费为56000元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：由待定系数法求出一次函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25.【答案】解：①当时，， ， ，解得：， 直线：； ②设，由题意得：，， 则， 解得：， ； 存在，理由： 过点M作轴交于点E，过点N作轴交于点F， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 由点C、P的坐标得，直线CP的表达式为：， 设， ，， ， ， ， 则， 则点， ， ， 解得：舍去或， 则点、， 四边形MPNH为正方形， 则PH的中点即为MN的中点， 由中点坐标公式得，点  【解析】①由待定系数法即可求解； ②由，即可求解； 证明≌，求出直线CP的表达式为：，由得到点、，进而求解． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 26.【答案】证明：与都是等腰直角三角形，且， ，，， ，且， ∽ ①证明：如图1，设AC与BE相交于点G， ，， ， 又，由三线合一性质可得： ，， 从而， 由勾股定理可得， ， 又AE绕点E逆时针旋转，得到EF， ，， 同理可求得， ，， ∽ ， ， 即 ②解：若， ，， 由勾股定理可得：， 又∽， ，即， 又由①知， ，故G点与E点重合， 解：在菱形ABCD中，， ，， 则为等边三角形，， ， ， ，且四边形AEFG为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， 故  【解析】由与都是等腰直角三角形，又，，，可用两边对应成比例且夹角相等证出一对旋转相似三角形，即∽； ①根据等腰三角形的性质可得，，，根据勾股定理可求，进而可得，同理可得，证明∽，根据相似三角形的对应角相等可得，即可证； ②由勾股定理可得求出FC为，再根据∽，得到，结合①中，知G点和E点重合，再由比例关系求出AE； 由菱形性质可知为等边三角形，，结合可求出，根据三角形内角和定理可证明，再用两角对应相等判定相似得到∽，得出，即可得解． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，等边三角形判定与性质，旋转性质，深刻理解题意，寻找出正确的相似三角形是解本题的关键． 第1页，共1页 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