北京市化工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京工大附中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的根是(    ) A. B. ， C. D. ， 3.将抛物线的图象向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解方程，则方程可变形为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是(    ) A. 点G B. 点H C. 点I D. 点J 6.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，且正方形绕点O旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为(    ) A. 2 B. C. 1 D. 无法确定 7.在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(    ) A. 10m B. 15m C. 20m D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.在函数中，自变量x的取值范围是______. 10.不等式的解集为______. 11.抛物线与x轴的交点坐标为______. 12.若m、n是一元二次方程的两个根，则______. 13.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边BC上，则__________用含的式子表示 14.如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，已知前k行共有210个点，则k的值为______. 15.如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集为______. 16.如图是二次函数的图象的一部分；图象过点，对称轴为，给出四个结论：①；②；③其中正确的是______填序号 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解方程： 四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 计算： 19.本小题8分 解方程： 20.本小题8分 化简： 21.本小题8分 已知m是方程的一个根，求代数式的值. 22.本小题8分 如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为 画出旋转后的图形； 点的坐标是______；点的坐标是______； 的形状是______. 23.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值. 24.本小题8分 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅盖高锅口直径与锅盖直径视为相同，建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C：，把锅盖纵断面的抛物线记为： 求锅深OD的长； 如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径； 如果将一个底面直径为3dm，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由. 25.本小题8分 在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 若对于，，有，求t的值； 若对于，，都有，求t的取值范围. 26.本小题8分 四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转，得到线段CE，连接DE，过点B作交DE于F，连接 依题意补全图1； 直接写出的度数； 连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明. 27.本小题8分 为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为 Ⅰ列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 4 9 Ⅱ描点：请将表格中的描在图2中； Ⅲ连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； 如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；用含m，n的式子表示 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为______； ②将点B坐标代入中解得______；用含m，n的式子表示 【应用】已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2.【答案】D  【解析】解：， ， 则或， 解得，， 故选： 利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 3.【答案】B  【解析】解：抛物线先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得：，即； 故选： 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 4.【答案】B  【解析】解：， 则， ， 故选： 利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：与关于某点成中心对称， 对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心． 故选： 关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质． 6.【答案】C  【解析】解：设AB与交于点E，BC与交于点F， 四边形ABCD是正方形， ， ，， ≌ 面积面积， 四边形EBFO面积面积． 正方形ABCD的边长为2， 所以正方形ABCD的面积为4， 则面积正方形ABCD面积 故选： 设AB与交于点E，BC与交于点F，证明≌，则面积面积，由此可得四边形EBFO面积面积． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解． 7.【答案】C  【解析】解：A、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，则直线经过一，二，四象限，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，则直线经过一，二，三象限，故此选项不符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，则直线经过一，三，四象限，故此选项符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，则直线经过二、三，四象限，故此选项不符合题意； 故选： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致． 此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 8.【答案】B  【解析】解：根据题意知，抛物线经过点、、， 则 解得， 所以 故选： 将点、、分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案． 考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离． 9.【答案】  【解析】解：由题意可知： 解得： 故答案为： 根据函数关系即可求出x的取值范围． 本题考查自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用分式的有意义条件以及分式有意义条件，本题属于基础题型． 10.【答案】  【解析】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得： 故答案为： 根据解一元一次不等式的步骤对不等式进行求解即可． 本题考查解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 11.【答案】或  【解析】解：当时，， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或 根据函数与方程的关系求解． 本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：、n是一元二次方程的根， 故答案为： 根据根与系数的关系得出结论． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 故答案为： 根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，利用三角形的内角和定理求得，即可求得 本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键． 14.【答案】20  【解析】解：由题知， 前1行点的总数是：； 前2行点的总数是：； 前3行点的总数是：； …， 所以前n行点的总数是：… 因为前k行共有210个点， 所以， 解得或， 因为k为正整数， 所以 故答案为： 根据所给图形，依次求出前n行点的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现前n行点的总数是是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：根据图象可得关于x的不等式的解集是： 故答案为： 根据图象关于x的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键． 16.【答案】①  【解析】解：①图象与x轴有两个交点， ， 即，正确； ②对称轴为直线， ，故②错误； ③时y有最大值， 由图象可知，故， ③错误． 故答案为：①． 由抛物线的开口向下知，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到，由对称轴为直线可以判定②错误； 由图象与x轴有交点，可以推出，即，①正确；由时y有最大值，由图象可知，③错误．然后即可作出选择． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17.【答案】解：方程两边都乘以，得 ， 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 原方程的根是  【解析】本题考查解分式方程的能力．观察可得方程的最简公分母为，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 解分式方程一定注意要验根． 18.【答案】解：原式   【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算法则计算即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19.【答案】解：， 则或， ，  【解析】根据本题方程的特点，利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 20.【答案】解：   【解析】先算括号里面的，再算乘法即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 21.【答案】解：由题意可得：， ， 原式   【解析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 本题主要考查一元二次方程的解、整式的加减混合运算，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 22.【答案】等腰直角三角形  【解析】解：作出点A、B旋转后的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示： 根据图可知，点的坐标是；点的坐标是 故答案为：； 连接，根据旋转可知，，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 先作出点A、B旋转后的对应点，，顺次连接即可； 根据旋转后的图形得出点和点的坐标即可； 连接，根据旋转性质即可得出的形状即可． 本题主要考查了旋转作图，三角形形状的判定，解题的关键是作出旋转后对应点的坐标． 23.【答案】证明：一元二次方程， ， 该方程总有两个实数根． 解：一元二次方程， 解方程，得， ， 该方程的两个实数根的差为3，   【解析】证明一元二次方程的判别式大于等于零即可； 用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键． 24.【答案】解：由抛物线：得：， ； 炒菜时锅的水位高度是1dm， ， 如图①，过点G作轴交抛物线于点E，F， 当时，， 解得：，， ，， ， 此时水面的直径为； 锅盖不能正常盖上．理由如下： 如图②，作轴，分别过点H、L作y轴的平行线交抛物线于点J、K， 圆柱形器皿的底面直径为3dm， 点H，L的横坐标分别为，， ，， ，， ，，，， ， 圆柱形器皿的高度为， 锅盖不能正常盖上．  【解析】根据抛物线解析式求得点D的坐标，即可求得答案； 由题意得，过点G作轴交抛物线于点E，F，再求得点E，F的坐标即可求得答案； 作轴，分别过点H、L作y轴的平行线交抛物线C2于点J、K，根据题意求得点H，L的横坐标，再求得点H，L，J，K的纵坐标，进而可得HJ的长度，比较HJ的长度与圆柱形器皿的高度即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的实际应用，解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解． 25.【答案】解：对于，，有， ， ， 对称轴为直线， ，， ，， 当，， 离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ， 当，， 离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的左侧侧， 即 综上分析，或  【解析】根据二次函数的性质求得对称轴即可， 根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧或左侧，再根据对称性即可解答． 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 26.【答案】解：图形如图所示： 结论： 理由：连接 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ， 结论； 理由：作，交FB的延长线于点H， 由得 ，， ， ， ，， ， ≌， ，， ，   【解析】根据要求作出图形即可． 利用圆周角定理解决问题即可． 结论；作，交FB的延长线于点H，证明≌，推出，，推出，，可得结论． 本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27.【答案】    【解析】解：描点连线绘制函数图象如下： 抛物线过点O，故设抛物线的表达式为：， 将、代入上式得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：，； 方案一： 点； 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 则； 故答案为：，； 方案二： 点， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：； 故答案为：，； 对于二次函数：， 由得：， 解得：， 则距线段AB的距离的， 当时，则； 当时，同理可得：， 综上， 描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； 方案一：点；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； 对于二次函数：，由得：，解得：，则距线段AB的距离的，即可求解． 本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$