四川省眉山市东坡区苏洵中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年四川省眉山市东坡区苏洵中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.在式子，，，，中，是二次根式的有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3.方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是(    ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 4.下列计算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 6.将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 7.已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 8.关于x的一元二次方程的两根，，满足，则k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(    ) A. B. C. D. 10.对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 可由的图象平移得到 B. 对称轴是直线 C. 图象有最低点 D. 顶点坐标是 11.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为(    ) A. B. C. D. 12.如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当时，四边形EDFG周长的最小值为 其中真命题的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为______. 14.已知最简二次根式与可以合并，则的值为______. 15.将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为______. 16.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是用“<”号连接______. 17.已知，，则______. 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则关于x的不等式的解集为______. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： ； 20.本小题8分 用适当的方法解方程： ； 21.本小题8分 计算：； 若，求的值. 22.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 23.本小题8分 某商场经营一种成本为每千克40元的产品. 已知四月份该产品的销售量为500kg，经过适当调价后，6月份该产品的销量为720kg，求月份该产品销售的月平均增长率. 经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为500kg，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少10kg，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 24.本小题8分 中，，，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒 如图1，过点P作，交AB于D，若与的面积和是的面积的，求t的值； 点Q在射线PC上，且，以线段PQ为边向上作正方形在运动过程中，若设正方形PQNM与重叠部分的面积为8，求t的值． 25.本小题8分 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点. 若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为______. 若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； 是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上.若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由. 26.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． 求这个二次函数的解析式； 动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、被开方数能开方，A不是最简二次根式，故A错误； B、被开方数含分母，B不是最简二次根式，故B错误； C、被开方数含有能开方的因数，C不是最简二次根式，故C错误； D、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D是最简二次根式； 故选： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2.【答案】B  【解析】解：，，是二次根式，共3个． 故选： 二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 3.【答案】C  【解析】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③和④是一元二次方程， 故选： 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义．掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、，故本选项的计算结果错误； B、，故本选项的计算结果错误； C、与的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算结果错误； D、，故本选项的计算结果正确． 故选： 根据二次根式的运算法则计算即可． 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 5.【答案】A  【解析】解：根据题意得：， 解得：且 故选： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 6.【答案】D  【解析】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选： 先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 7.【答案】B  【解析】解：点在第四象限， ，， ， 方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8.【答案】C  【解析】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据根与系数的关系以及不等式的解法即可求出答案． 本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及不等式的解法，本题属于基础题型． 9.【答案】A  【解析】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， ， 化简整理得， 故选： 设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米，列出一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米得出等式是解题关键． 10.【答案】C  【解析】解：A、二次函数的图象可由的图象平移得到，故A不符合题意； B、二次函数的对称轴为直线，故B不符合题意； C、抛物线开口向上，故抛物线有最低点，故C符合题意； D、二次函数的顶点坐标为，故D不符合题意． 故选： 根据平移的性质可以判断A；根据抛物线解析式可以判断B，D；根据抛物线开口方向可以判断 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质． 11.【答案】D  【解析】解：由可知二次函数图象与x轴交于， 观察选项A和选项B的一次函数经过一、二、三象限，可得，， 若，，则二次函数开口方向向上，与x轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一、二、象限，可得，， 若，，则二次函数开口方向向下，与x轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． 故选： 先判断二次函数与x轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断k和b的正负，通过k和b的正负判断二次函数的开口方向和与x轴的交点位置即可求解． 本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系和二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 12.【答案】B  【解析】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②对称轴为，当时有， 解得，故此命题是真命题； ③，， ， 点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又抛物线开口向下， ，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接，与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当时，二次函数的顶点坐标为，则，C点坐标为，则，； 则， 四边形EDFG周长的最小值为，故此命题是假命题． 故选： ①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值，求出D、E、、的坐标即可解答． 本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 13.【答案】  【解析】解：方程是关于x的一元二次方程， 且， 解得： 故答案为： 根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键． 14.【答案】2  【解析】解：由题意得，， 解得，， 则， 故答案为： 根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可． 本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 15.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为， 故答案为： 根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可得到答案． 本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”． 16.【答案】  【解析】解：抛物线， 该抛物线开口向上，有最小值，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，对称轴是直线， 点、、分别是抛物线的三个点， ， 故答案为： 根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可知时的函数值与时的函数值相等，从而可以判断、、的大小关系，本题得以解决． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断、、的大小关系，利用二次函数的性质解答． 17.【答案】  【解析】解：当，时， ， 故答案为： 对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18.【答案】或  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 抛物线与x轴的另一个交点为， 根据函数图象可得不等式的解集为或 故答案为：或 根据对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，据此结合图象进行解答即可． 本题考查了二次函数与不等式组，抛物线与x轴的关系，抛物线与一元二次方程的关系，正确地理解题意是解题的关键． 19.【答案】解： ；   【解析】根据乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的除法运算法则以及零指数幂的运算法则求解即可； 根据积的乘方的逆运算将整理为，并利用完全平方公式计算，然后进行加减运算即可． 本题主要考查了二次根式混合运算、运用平方差公式进行运算、化简绝对值、零指数幂以及乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 20.【答案】解：， ， ， 则，， 解得：，； 由题意，， 或 ，  【解析】先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，进而可得，，再解即可； 依据题意，运用因式分解法计算可以得解． 本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程． 21.【答案】解： ； ， ， ， ， ，   【解析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解； 根据二次根式的性质化简a，根据完全平方公式得到，再整体代入计算即可得到答案． 本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键． 22.【答案】解：， 这里，，， ， 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 设方程的两个实数根为，， 则， ，即， 整理，得 解得， 的值为或  【解析】先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； 先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 23.【答案】解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，不合题意舍去， 答：月份该产品销售的月平均增长率为； 设销售该产品时每千克应涨y元， ， 解得：，， 当时，月销售成本为，不合题意舍去， 当时，月销售成本为，符合题意， ， 答：销售该产品时每千克应涨30元．  【解析】设月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决； 根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润数量即可列出方程，解方程即可． 此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键． 24.【答案】解：中，，， ， ，， 与的面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解之，得，； ，， ， ①如图1，当时，， 解得：，不合题意，舍去， ②如图2，当时，， 解得：不合题意，舍去，不合题意，舍去， ③如图3，当时，， 解得：，不合题意，舍去， 综上，t的值为或时，重叠面积为  【解析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； 由题意得，，，求得，①如图1，当时，②如图2，当时，③如图3，当时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，分类讨论思想是运用是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：， ，， 故答案为：； ，解得：，，， ， 点M在直线上， ，解得：， 的值为； 存在，理由如下： ， 直线恒过定点，则方程的衍生点M为， 根据根与系数的关系有，，即， ， 解方程后，根据定义即可求M点坐标； 求出方程的解，再分情况讨论，由题意分别求出m的值即可； ，直线恒过定点，则方程的衍生点M为，代入求值即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数根与系数的关系，结合题意理解定义，用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． 26.【答案】解：设抛物线解析式为， 把A、B、C三点坐标代入可得， 解得：， 抛物线解析式为； 点P在抛物线上， 可设， 过P作轴于点E，交直线BC于点F，如图1， 设直线BC的解析式为， ， 代入得， 解得， 直线BC解析式为， ， ， = = ， 当时，最大值为8，此时， 当P点坐标为时，的最大面积为  【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识．在中注意待定系数法的应用，在中用P点坐标表示出的面积是解题的关键． 由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； 过P作轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大值及P点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$