精品解析：浙江省杭州市上城区开元中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

杭州市开元中学2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ） A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 3. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 4. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，和都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，斜边，，将绕点B按顺时针方向旋转，顶点C运动的路线长是（ ） A. B. C. D. 7. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A. 20秒 B. 25秒 C. 30秒 D. 40秒 8. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元 9. 苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A. 2.1米 B. 2.0米 C. 1.9米 D. 1.8米 10. 如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②；③；④，其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数与y轴的交点坐标为______． 12. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为______ 13. 陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小丽量得，则这个正多边形的边数为_____． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．　 15. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了_____． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 18. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留） 19. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下．小明和小亮各从中任意抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． 求小亮抽到标有数字卡片取胜的概率； 请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出绕点按顺时针方向旋转的； （2）在（1）的条件下，仅使用无刻度的直尺作出的外接圆圆心，请在图中标出点的位置，要求保留作图痕迹，痕迹用实线表示（不写作法），并直接写出圆心的坐标：______． 21. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 已知：如图，在半径为2的半圆中，半径垂直于直径，点与点分别在弦、上滑动并保持，但点不与、重合，点不与、重合． （1）求证：． （2）求四边形的面积． （3）设，写出与之间的函数关系式，求的取值范围． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点． （1）求、的值； （2）求三角形的面积； （3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 24. 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 杭州市开元中学2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1.试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.本卷答案必须做在答题卷（卡)相应的位置上，做在试卷上无效. 3.请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡)的相应位置上. 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式中，y是x的二次函数的是() 1 Ay=-3 B.y=2x-3 C.y=x2-3 D.y=Vx2-3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键。根据二次函数的定义：一般地，形如 y=m+br+C(a,b,C是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数进行分析即可. 1 【详解】解：A、y一3，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误； B、y=2x-3 ,是一次函数，不是二次函数，故该选项错误； C、y=x2-3 符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项正确： D、y=V父-3，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误： 第1页/共28页 命学科网命组卷网 故选：C 2.一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同.小明从中任取一球， 下列说法错误的是() A.摸到白球的可能性最大 B.摸到红球和黄球的可能性相同 1 1 C.摸到白球的可能性为2 D.摸到白球、红球、黄球的可能性都为3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键.根据可 能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可， 【详解】解：A.因为盒子里白球数量最多，所以摸到白球的可能性最大，该选项说法正确，不符合题意； B.因为盒子里红球和黄球数量相同，摸到红球和黄球的可能性相同，该选项说法正确，不符合题意： 10 1 C.因为盒子里共装有10个白球，5个红球，5个黄球，所以摸到白球的可能性为10+5+52，该选项 说法正确，不符合题意： 10 1 5 1 D.摸到白球的可能性为10+5+52，摸到红球、黄球的可能性均为10+5+54，故该选项说法错 误，符合题意。 故选：D ⊙0 ⊙0 3.已知 的半径为4，OP=3 ,则点P与 的位置关系是() ⊙0 A.点P在 ⊙0 ⊙0 内 B.点P在 上 C.点P在外 D.不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键. 通过比较点P到圆心O的距离OP与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可. 第2页/共28页 学科网 命组卷网 ⊙0 OP=33<4 【详解】解：， 的半径为4， ,且1 点P在 0 内 故选A. ⊙0 ABCD OB,OD∠BCD=110°∠BOD 4.如图， 是四边形 的外接圆，连接 ,若 ,则 的大小为( D B C A.1100 B1200 c1300 D1400 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键， 根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可. 【详解】解：“四边形 BCD ,'⊙0∠BCD=110° 内接于 ∴.∠A=180°-∠BCD=70° 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=140°. 故选：D 5.己知点A(-3,y),B(-2,乃)和C(4,)都在二次函数y=(x+旷(a<0)的图象上，则() A.出>y>为 B.>>为 C.2>为> D.为>>2 【答案】B 【解析】 第3页/共28页 6学科网 命组卷网 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由于中乃，乃是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二 次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点的坐标，再根据 抛物线开口向下，在x=一1的左边'随×的增大而增大，便可得出？%，乃的大小关系 【详解】抛物线y=a(x+)'(a<0) 对称轴为x=-1, C(4,) ∴C点关于x=-1的对称点（6） .a=-1<0, 在x=-1的左边y随x的增大而增大， .-6<-3<-2, 为>>⅓ 故选：B, Rt△AB 6.在 中，斜边AB=4,∠B=60° △ABC 60° 将 绕点B按顺时针方向旋转 顶点C运动的路 线长是() 元 2π 4π A.3 B.3 C.π D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本愿考查了直角三角形的性质，弧长公式，先根据直角三角形的性质，得BC=)AB=2,再根据 弧长公式即可、熟练掌握弧长公式是本题的关键. 【详解】解： Rt△ABC 中，斜边AB=4.∠B=60°∠A=300 第4页/共28页 命学科网 命组卷网 BC=AB=2 2 60°×22元 顶点C运动的路线长为180° Γ3， 故选：B, 7.一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离少（单位：米）与滑行时间（单位：秒） 之间的函数关系表达式为y=801-2 ,则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为() A.20秒 B.25秒 C.30秒 D.40秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，)取得最大值.先将函数关系 表达式化为y=801-21=-2(1-20+800,由飞机停止时，y取得最大值，即可得到答案 【详解】解：六y=80t-212=-2(-401+400-400)=-2(t-20)2+800 当=20 y ，取得最大值，即此时飞机滑行停止 故选：A. 8.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售 单价（元）之间满足函数关系式y=-5x+550 若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大， 该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？() 90 4500 80.4500 A. 元， 元 B. 元， 元 90 4000 804000 c. 元， 元 D. 元， 元 【答案】B 【解析】 【分析】设每月所获利润为w,按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可. 第5页/共28页 学科网命组卷网 【详解】解：设每月总利润为W, w=y(x-50) 依题意得： =(-5x+550)x-50) =-5x2+800x-27500 =-5(x-80)2+4500 -5<0 此图象开口向下，又之50 当x=80时 4500 时，”有最大值，最大值为 元. 故选：B, 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法 是解题的关键。 9.苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名.月亮门 因其寓意美好且形态优美，被广泛使用.图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为 BD CD ⊙0 2.4米，水平木条 和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在 上，则此月亮门的半径为() 77777 7777777777777 7777 图1 图2 A.2.1米 B.2.0米 C.1.9米 D.1.8米 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键 AN=NB=- 过O作ON⊥AB于N,过C作CM⊥ON于M,由垂径定理得 -12 米，再证四边形 第6页/共28页 6学科网 命组卷网 CDNM MN=CD=0.4 CM=DN=BD+BN=1.6 是矩形，则 米， (米)，设该圆的半径长为”米， 然后由题意列出方程求解. 【解答】解：过O作ON⊥AB于N,过C作CM⊥ON于M,如图2所示： M之 777777777777777777777777 图2 则N==号4B=12米 米，∠OND=∠CMN=90°， DC⊥AB, .∠CDN=90°， ∴.四边形CDNM是矩形， .MN=CD=0.4米，CM=DN=BD+BN=1.6(米)， 设该圆的半径长为”米， 根据题意得，ON-OM=0.4. P-12-2-1.6=04, r=2, 即此月亮门的半径为2米. 故选：B 1O如图，⊙0中，弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBD的中点，连接AF、BF、AC,AF交CD 第7页/共28页 6学科网 命组卷网 于M,过F作FH⊥AC,垂足为G,以下结论：①CF=DF;②∠CFH=∠BAF;③MF=FC:④ DE+AH BF+AF 其中成立的个数是() C 0 M A E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理，圆周角定理，根据圆心角、弧、弦 之间的关系，三角形内角和定理，圆周角定理逐项判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此 题的关键， 【详解】解：·F为CBD 的中点， .CF=DF,故①正确； .∠FCM=∠FAC， .∠ACF=∠ACM+∠MCF,∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC, .∠AME=∠FMC=∠FCG>∠FCM, FC>FM,故③错误： .AB⊥CD,FH⊥AC, .∠AEM=∠CGF=90°， .∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°， .∠CFH=∠BAF,故②正确： 第8页/共28页 可学科网丽组卷网 .∠AGF=90° .∠CAF+∠AFH=90°， :A丽的度数+CF的度数=180°， :C7的度数+AF的度数=180°， :AH+CF-AH+DF=CH+AF-AF+BF ,故④正确： 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1.二次函数y=(x-2+3与y轴的交点坐标为 【答案】(0,7) 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标.熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解答本题的关键. x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0. 根据x=0,求出y的值，即得函数少=(x-2)'+3与y轴交点坐标. 【详解】在y=(x-2+3中，当x=0时，y=(0-2}°+3=7. :.y=(x-2+3与y轴的交点坐标为(0,7) 故答案为： (0,7) 12.在一个不透明的袋子中装有6个白球，个黑球，这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个球 1 摸到白球的概率为3，则的值为 第9页/共28页 命学科网 6组卷网 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是学握随机事件A的概车P(4)F事件A可能出现的结果数 1 ÷所有可能出现的结果数.摸到白球的概率为3，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得. 61 【详解】解：根据题意，得：6+m3, 解得m=12, 经检验：m=12是分式方程的解， 故答案为：12 13.陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形 的一组相邻边，小丽量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为一 【答案】12拼十二 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识.熟练掌握等边对等角， 三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键， 由题意知，AB=BC,则∠BCA=∠BAC=15°，可求∠B=150°，设这个正多边形的边数为n,依题 意得， 150°n=180°(n-2) ,计算求解即可 【详解】解：由题意知，AB=BC, 第10页/共28页 6学科网 命组卷网 .∠BCA=∠BAC=15°， .∠B=180°-∠BCA-∠BAC=150°， 设这个正多边形的边数为n, 150°n=180°(n-2) 依题意得， 解得，n=12, 故答案为：12. 14.如图，抛物线y=m+c与直线y=mr+”交于两点1(-2P小B(5,g),则不等式 ax2-mx+c≤n 的解集是 【答案】-2≤x≤5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和 图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题 【详解】解：~抛物线y=+C与直线y=mx+n交于两点A(-2,p小B(5,q), 由图可得：不等式-mr+c≤ 的解集是2≤xs5 故答案为：-2≤x≤5」 15.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=5,水面宽AB=6,某天下雨后，水面宽度变为 8,则此时排水管水面上升了一 第11页/共28页 6学科网组卷网 【答案】1或7 【解析】 10 8 ① 【分析】根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为°，则有两种情况， 水面在水面平行的直径 OGOM⊥AB-M② 下方，过点作 ”于点； 水面在水面平行的直径上方，过点作 O作OM L AB于点M,过 点O作OH⊥CD于点H,根据垂径定理，勾股定理，即可求出. 【详解】连接CO .OA=5 ∴圆的直径为10 ① 水面在水面平行的直径下方 过点O作OM⊥AB于点M :.OM⊥CD且OM与CD交于点H .AB=6,CD=8 .AM=3,CH=4 ,在直角三角形 A0M中，40=AM2+M0 5-32+M02 第12页/共28页 命学科网命组卷网 .M0=4: 在直角三角形△C0H中，C02=CW+0I2 :53=42+0r .OH=3 ∴上升的距离为MH=OM-OH=4-3=1 H M ② 水面在水面平行的直径上方，过点O作OM1B千点M,过点O作H1D于点H .AB=6.CD=8 .AM=3,CH=4 ∴.在直角三角 △M0M中，M0=AM2+M0 .52=32+M02 .M0=4: 在直角三角形 COH中，C02=CH'+0H :53=42+0H2 .OH=3 ∴.上升的距离为：HM=OH+OM=3+4=7, 第13页/共28页 命学科网命组卷网 D 故答案为：1或7」 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是 下方和上方 16如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C,D两点，点B为⊙G上 一动点， CF LAE于R,则弦MB 的长度为 ⊙G FG ；当点E在的运动过程中，线段的长度 的最小值为 G E F B x D 【答案】 ①.2V5 ②.3-1#1+5 【解析】 【分析】连接AC,作GM⊥AC,连接AG,由CF⊥AE可知，点F在以AC为直径的圆M上移动， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出FM, MG 即可解答， 第14页/共28页 可学科网命组卷网 【详解】解：连接AC,作GM⊥AC,连接AG, F A D GO⊥AB, .:.OA=OB. G(0,)为圆心，半径为2， .AG=2,0G=1 在Rt△AG0中，AG=20G,0A=V22-1P=√5 :∠GA0=30,∠AG0=60°，AB=20A=2V5 .GC=GA=2. .∠ACG=∠CAG. .∠AGO=∠ACG+∠CAG. .∠ACG=∠CAG=30°， 4C=240=25,MG=GC=1 第15页供28页 6学科网6组卷网 AM=3 CF⊥AE, ·点F在以AC为直径的圆M上移动， 当点F在MG的延长线上时， FG的长最小，最小值为FM=FM-MG=V5-1, 故答案为2V3,V5-1 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用 的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题. 三.解答题（共8小题，共72分） 17.已知一个二次函数的图象经过点，0），B(2,0）,C(4,6),求这个二次函数的解析式 【答案】少=x2-3x+2 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解. 【详解】解：：二次函数的图象经过点A(,0）,B(2,0) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-(x-2)(a≠0) 将C(4,6)代入解折式可得：a(4-)×(4-2)=6 解得：a=1, ·二次函数的解析式为y=(x-(x-2)=x2-3x+2 18.如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心 ∠A0B=120°，￥ 径为m,求该扇形的弧长与面积.（结果保留π） 第16页/供28页 6学科网命组卷网 6m 3120° 6m B O77mT 4πm 12mm2 【答案】扇形的弧长为： :扇形的面积为： 【解析】 【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可. 120π×6 【详解】解：由题意得，扇形的弧长为：180 =4π(m） 120π×62 扇形的面积为： =12π(m2） 360 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和 扇形的面积公式. 19.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3，现将标有数字的一 面朝下，小明和小亮各从中任意抽取一张.计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜， 和为偶数则小亮胜. ()求小亮抽到标有数字3卡片取胜的概率： (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由。 1 【答案】(1)6：(2)这个游戏对双方不公平. 【解析】 【分析】(1)先画树状图展示6种等可能的结果数，找出小亮抽到标有数字3卡片取胜的结果数，然后根 据概率公式求解； (2)由(1)中的树状图，计算P(小明胜)和P(小亮胜)，然后通过比较两概率的大小判断该游戏对 双方是否公平. 第17页/共28页 6学科网命组卷网 【详解】(1)画树状图为： 开始 和3 共有6种等可能的结果数，其中小亮取胜的结果数为2，且小亮抽到标有数字3卡片取胜的结果数为1，所 2 以小亮抽到标有数字3卡片取胜的概率=6； (2)这个游戏对双方不公平.理由如下： 42 212、1 P(小明胜)=6=3，P(小亮胜)=6=3，由于33，所以这个游戏对双方不公平. 【点睛】本题考查了游戏得公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小， 概率相等就公平，否则就不公平. 20.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 6 5 3 2 12345678x (I)画出AABC 90°.△ABC 绕点按顺时针方向旋转的 △A'B'C P (2)在(1)的条件下，仅使用无刻度的直尺作出 的外接圆圆心，请在图中标出点的位置， 要求保留作图痕迹，痕迹用实线表示（不写作法），并直接写出圆心P的坐标： 第18页/共28页 6学科网 命组卷网 △A'B'C 【答案】(1)如图，所示 为所求： (2) 如图所示，点P为所求。 8 7 6 5 4 3 B 2 1 12345678x (4,3) 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转变换作图，三角形的外接圆与外心作图. A,B (1)利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点 即可得到△A'BC B'C.A'C (2)利用网格线的特点作线段 的中垂线，两条垂线的交点即为点P,根据坐标系即可得到坐标 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21.如图， OA=OB,MB交O0于点C,D,OE OE⊥AB 于点 半径，且 于点F. 0 B 第19页/共28页 6学科网 命组卷网 (1)求证：AC=BD: CD=10,EF=3⊙O (2)若 ,求的半径 【答案】(1) 证明：，OA=OB, ∴△AOB是等腰三角形， :OE⊥AB于点F, .AF BF, .0E。⊙0 OE⊥AB, 又 是的半径， ..CF=DF, .AF-CF=BF-DF, .AC=BD: 17 (2)⊙0的半径是3 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关 键. △AOB OE⊥AB (1)先证明 是等腰三角形，再结合 于点F,得出 F=BF因为OE是O0的半径， OE⊥AB,,CF=DF 得出 ,即可作答。 (2)由垂径定理得 CF=)CD=5,∠OFC=90 再运用勾股定理列式计算，即可作答， 第20页/共28页 6学科网6组卷网 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接OC, 0 A C D B OE⊥AB,CD0 为的弦 :cF=D=5,0rC-90m 2 :C0=CF2+0F, ⊙0 设的半径是”， 2=52+(-3. 17 r= 解得3， 17 .⊙0的半径是3 22.已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC,点E与点F分别在弦AB、AC上 滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合. 第21页/共28页 6学科网组卷网 B (1)求证：△BOE≌△AOF (2)求四边形AEOF的面积. (3)设 E=So=y,写出'与*之间的函数关系式，求的取值范围. 【答案】(1) 证明：BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC, .∠B=∠OAF=45°OA=OB 又AE=CF,AB=AC, ..BE=AF, .△BOE≌△AOF (2)2 -i+20<<2) 【解析】 【分析】(1)利用等腰三角形的性质及条件，即可证明△BOE≌△AOF: （2)适过△B0E2△A0F,得出S形ar=S0,即可解答， (3)根据题意利用园周角定理及勾股定理求出MB=AC=2V2,根据'=S,or=S边形r一Sm, 即可解答， 【小问1详解】 略 第22页/供28页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 解：由△BOE≌△AOF, S.08=S.4OF S四边形H0Or=S。AOE+S。AOr=SAOE+SBOE=SAOB= 0B.0A=2 2 【小问3详解】 解：连接EF, B .BC 为半圆O的直径， ∠BAC=90,且AB=AC=22 y=Sam=ss-及s=2-244F=225- y-x+20<x<22 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形面积公式、圆周角定理及勾股定理熟 练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键. 23.如图，已知抛物线y=-+2x+3与轴交丁点4，与'轴交于点N.其顶点为D.直线 1:y=c+l与抛物线y=-+2x+3交于A,C(2,m)两点. 第23页/共28页 6学科网6组卷网 B (1)求k、m的值： (2)求三角形ACD的面积： (3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值. 【答案】(1)1,3 (2)3 27 (3)8 【解析】 【分析】对于(1)，令y=0 求出点A的坐标，再代入一次函数关系式可求出k的值，然后将两个函数关 系式联立可求出m的值； 对于(2)，先求出点D的坐标，可得点B的坐标，即可解答： 对于(3)，设点P(a,-d+2a+3) 再表示出S4心，然后讨论极值即可。 【小问1详解】 当少0 时 .-x2+2x+3=0 解得=3，书=-1 A(-1,0) 点 y=k+1 ,直线 经过点A, 第24页/共28页 6学科网命组卷网 -k+1=0. 解得k=1, y=x+1 .一次函数关系式为 将两个函数关系式联立，得 y=-x2+2x+3 y=x+1 x=2 解得y=3, 点C(2,3) 所以m=3； 【小问2详解】 二次函数y=-t+2x+3=(2-2x+1+4-(x-1+4 D1,4) 点 时，=2 当1 BL,2) 点 所以Sm4-2×2-←训-3 【小问3详解】 设点Pa,-a+2a+3),则点B(a,a+D, :PE=-a+2a+3-(a+)=-a+a+2.-1<a<2 第25页/供28页 命学科网命组卷网 8m=5w+8m--(m-d+a+2+0-o以a+a+2)-d+a2) =a-+g. 1 27 q= 当2时，△ACP的面积最大值为8， B 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，将 不规则三角形的面积转化为两个规则三角形的面积和是解题的关键。 24.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC-∠CPB=60°· (1)判断△ABC的形状并证明你的结论： (2)当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由， (3)求证：PA+PB=PC 【答案】(1)△ABC是等边三角形， (1)△ABC是等边三角形. 第26页/共28页 6学科网 命组卷网 证明如下：在⊙O中， :∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， .∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC, 又.∠APC=∠CPB=60°， .∠ABC-∠BAC-60°， ∴△ABC为等边三角形： (2)当点P位于AB中点时，四边形PBO1是菱形. 如图1，连接OP. :∠AOB=2∠ACB=120,P是AB的中点， ∴.∠AOP-∠BOP-60° 又.OA=OP=OB, ∴，△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴.OA=AP-OB=PB, ∴.四边形PBOA是菱形： 图1 (3)如图2，在PC上截取PD=AP, 又∠APC=60° .△APD是等边三角形， ∴.ADAP=PD,∠ADP=60°，即∠ADC=120° 又，'∠APB=∠APC+∠BPC-120°， .∠ADC=∠APB, 在△APB和△ADC中， 第27页/共28页 6学科网 组卷网 ∠APB=∠ADC ∠ABP=∠ACD AP=AD .△APB≌△ADC(AAS), .'BP=CD. 又，PD=AP, .CP=BP+AP 图2 【解析】 【分析】(1)利用圆周角定理可得∠BAC-∠CPB,∠ABC-∠APC,而∠APC∠CPB=6O°，则可得 ∠BAC-∠ABC-60°，从而可判断△ABC的形状： (②)当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到 OA=AP=OB=BP即可得证； (3)在PC上截取PD=AP,则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC,证明BP=CD即可得证结 论。 【详解】略 【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理 和性质定理是解题关键， 第28页/共28页