精品解析：浙江省杭州市上城区开元中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

杭州市开元中学2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次函数的定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误； C、，符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项正确； D、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误； 故选：C． 2. 一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ） A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．根据可能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 因为盒子里白球数量最多，所以摸到白球的可能性最大，该选项说法正确，不符合题意； B. 因为盒子里红球和黄球数量相同，摸到红球和黄球的可能性相同，该选项说法正确，不符合题意； C. 因为盒子里共装有10个白球，5个红球，5个黄球，所以摸到白球的可能性为，该选项说法正确，不符合题意； D. 摸到白球的可能性为，摸到红球、黄球的可能性均为，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 4. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 5. 已知点，和都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在的左边随的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴点关于的对称点， ∵， ∴在的左边随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 6. 在中，斜边，，将绕点B按顺时针方向旋转，顶点C运动的路线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长公式，先根据直角三角形的性质，得，再根据弧长公式即可．熟练掌握弧长公式是本题的关键． 【详解】解：中，斜边，，， ， 顶点C运动的路线长为， 故选：B． 7. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A. 20秒 B. 25秒 C. 30秒 D. 40秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，取得最大值．先将函数关系表达式化为，由飞机停止时，取得最大值，即可得到答案． 【详解】解： 当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止 故选：A． 8. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元 【答案】B 【解析】 【分析】设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】解：设每月总利润为， 依题意得： ，此图象开口向下，又， 当时，有最大值，最大值为元． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 9. 苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A. 2.1米 B. 2.0米 C. 1.9米 D. 1.8米 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 过O作于N，过C作于M，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程求解． 【解答】解：过O作于N，过C作于M，如图2所示： 则米，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，（米）， 设该圆的半径长为r米， 根据题意得，， ∴， ∴， 即此月亮门的半径为2米． 故选：B． 10. 如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②；③；④，其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理，圆周角定理，根据圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理，圆周角定理逐项判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的中点， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴的度数的度数， ∴的度数的度数， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数与y轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标．熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解答本题的关键．x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0 ． 根据，求出y的值，即得函数与y轴交点坐标． 【详解】∵在中，当时，， ∴与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为______ 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．摸到白球的概率为，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：12． 13. 陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小丽量得，则这个正多边形的边数为_____． 【答案】##十二 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键． 由题意知，，则，可求，设这个正多边形的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 设这个正多边形的边数为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．　 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图可得：不等式的解集是， 故答案为：． 15. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴， ∵为圆心，半径为2， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为；． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 18. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留） 【答案】扇形的弧长为：；扇形的面积为： 【解析】 【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可． 【详解】解：由题意得，扇形的弧长为：． 扇形的面积为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式． 19. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下．小明和小亮各从中任意抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． 求小亮抽到标有数字卡片取胜的概率； 请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 【答案】（1）；（2）这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】（1）先画树状图展示6种等可能的结果数，找出小亮抽到标有数字3卡片取胜的结果数，然后根据概率公式求解； （2）由（1）中的树状图，计算P（小明胜）和P（小亮胜），然后通过比较两概率的大小判断该游戏对双方是否公平． 【详解】（1）画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中小亮取胜的结果数为2，且小亮抽到标有数字3卡片取胜的结果数为1，所以小亮抽到标有数字3卡片取胜的概率=； （2）这个游戏对双方不公平．理由如下： P（小明胜）==，P（小亮胜）==，由于，所以这个游戏对双方不公平． 【点睛】本题考查了游戏得公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出绕点按顺时针方向旋转的； （2）在（1）的条件下，仅使用无刻度的直尺作出的外接圆圆心，请在图中标出点的位置，要求保留作图痕迹，痕迹用实线表示（不写作法），并直接写出圆心的坐标：______． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转变换作图，三角形的外接圆与外心作图． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点即可得到； （2）利用网格线的特点作线段的中垂线，两条垂线的交点即为点P，根据坐标系即可得到坐标． 【小问1详解】 解：如图，所示为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点P为所求． ． 21. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径是 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 22. 已知：如图，在半径为2的半圆中，半径垂直于直径，点与点分别在弦、上滑动并保持，但点不与、重合，点不与、重合． （1）求证：． （2）求四边形的面积． （3）设，写出与之间的函数关系式，求的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及条件，即可证明； （2）通过，得出，即可解答； （3）根据题意利用圆周角定理及勾股定理求出，根据，即可解答． 【小问1详解】 证明：为半圆O的直径，为半径，且， ，， 又， ， ； 【小问2详解】 解：由， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 为半圆O的直径， ，且， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形面积公式、圆周角定理及勾股定理熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点． （1）求、的值； （2）求三角形的面积； （3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 【答案】（1）1,3 （2）3 （3） 【解析】 【分析】对于（1），令求出点A的坐标，再代入一次函数关系式可求出k的值，然后将两个函数关系式联立可求出m的值； 对于（2），先求出点D的坐标，可得点B的坐标，即可解答； 对于（3），设点，再表示出，然后讨论极值即可． 【小问1详解】 当时，， 解得， ∴点. ∵直线经过点A， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点. 所以； 【小问2详解】 二次函数， ∴点. 当时，， ∴点. 所以； 【小问3详解】 设点，则点， ∴，， ∴， 当时，的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，将不规则三角形的面积转化为两个规则三角形的面积和是解题的关键． 24. 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 【答案】（1）△ABC是等边三角形， （1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形， 如图1，连接OP． ∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点， ∴∠AOP=∠BOP=60° 又∵OA=OP=OB， ∴△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴OA=AP=OB=PB， ∴四边形PBOA是菱形； （3）如图2，在PC上截取PD=AP， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB． 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证； （3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD即可得证结论． 【详解】略 【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市开元中学2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ） A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 3. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 4. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，和都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，斜边，，将绕点B按顺时针方向旋转，顶点C运动的路线长是（ ） A. B. C. D. 7. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ） A. 20秒 B. 25秒 C. 30秒 D. 40秒 8. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元 9. 苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A. 2.1米 B. 2.0米 C. 1.9米 D. 1.8米 10. 如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②；③；④，其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数与y轴的交点坐标为______． 12. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为______ 13. 陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小丽量得，则这个正多边形的边数为_____． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．　 15. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了_____． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 18. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留） 19. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下．小明和小亮各从中任意抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． 求小亮抽到标有数字卡片取胜的概率； 请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出绕点按顺时针方向旋转的； （2）在（1）的条件下，仅使用无刻度的直尺作出的外接圆圆心，请在图中标出点的位置，要求保留作图痕迹，痕迹用实线表示（不写作法），并直接写出圆心的坐标：______． 21. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 已知：如图，在半径为2的半圆中，半径垂直于直径，点与点分别在弦、上滑动并保持，但点不与、重合，点不与、重合． （1）求证：． （2）求四边形的面积． （3）设，写出与之间的函数关系式，求的取值范围． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点． （1）求、的值； （2）求三角形的面积； （3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 24. 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB=PC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $