专题1.4 不等式与复数（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题1.4 不等式与复数 【新高考专用】 题型一 不等式性质及其应用 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数满足且，则的取值范围是 ． 题型二 基本不等式与最值 5．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 6．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 7．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 题型三 基本不等式中的恒成立问题 9．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 10．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 题型四 二次不等式及其参数问题 13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 16．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是 . 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题 17．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 20．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 题型六 复数的四则运算 21．（2024·四川·一模）已知为虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·安徽安庆·三模）若复数z的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 24．（2024·广东广州·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则 . 题型七 复数的几何意义 25．（2024·福建·三模）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2024·安徽·一模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 . 28．（2024·江苏南通·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为 . 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．5 D．13 3．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）若，其中，是实数，是虚数单位，则对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 7．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东佛山·一模）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题 12．（2024·河北·模拟预测）已知复数，设，若复数在复平面内对应的点为，点关于实轴的对称点为，则的值为 . 13．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 14．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16．（2024·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； (2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 17．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 18．（2024·全国·模拟预测）设函数 ． (1)求的解集； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 19．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 不等式与复数 【新高考专用】 题型一 不等式性质及其应用 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【解答过程】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A. 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 ① 填序号 【解题思路】根据充分条件的判定一一分析即可. 【解答过程】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件； ②当时， ； ③当，时，满足，有 ； 故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①， 故答案为：①. 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数满足且，则的取值范围是 ． 【解题思路】由已知条件结合不等式的性质即可求解． 【解答过程】因为实数满足且， 设，则， 得，故， 又因为， 所以． 故答案为：． 题型二 基本不等式与最值 5．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 【解题思路】由，利用基本不等式即可求. 【解答过程】，，又，且， ， 当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13. 故选：A. 6．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【解题思路】利用，结合基本不等式可求和的最小值. 【解答过程】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 7．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 8．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 【解题思路】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故答案为：. 题型三 基本不等式中的恒成立问题 9．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为25. 故选：B. 10．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 11．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【解题思路】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可. 【解答过程】因为、为正实数，所以， 所以由，可得， 又，当且仅当，即时取等号， 因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【解题思路】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【解答过程】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故答案为：． 题型四 二次不等式及其参数问题 13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 14．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解. 【解答过程】由题意，二次不等式的解集为， 则等价于，即，即， 当时，不能推出， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 【解题思路】由一元二次不等式的解集与方程根的关系可求出，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以，所以， 由，得， 即，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 16．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【解题思路】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【解答过程】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为：. 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题 17．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【解答过程】当时，恒成立；当时，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故选：B. 18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【解答过程】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【解题思路】变形得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到. 【解答过程】， 因为，所以问题等价于在上恒成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为：. 20．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【解答过程】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 题型六 复数的四则运算 21．（2024·四川·一模）已知为虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解. 【解答过程】因为 故选：B. 22．（2024·安徽安庆·三模）若复数z的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的运算和复数相等计算即可. 【解答过程】令，且，， 则 因为 根据复数相等有，解得：，． 所以. 故选：D. 23．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 【解题思路】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的乘法计算即可. 【解答过程】， . 故答案为：. 24．（2024·广东广州·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则 . 【解题思路】根据题意化简出，利用复数的除法运算，即可得答案. 【解答过程】由复数满足， 化简得. 故答案为：. 题型七 复数的几何意义 25．（2024·福建·三模）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限. 【解答过程】由题设， 则对应点为在第三象限. 故选：C. 26．（2024·安徽·一模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的四则运算法则可求，进而可得共轭复数在复平面内对应的点所在的象限. 【解答过程】由，可得， 所以，所以. 所以复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 故选：C. 27．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 . 【解题思路】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可. 【解答过程】由题意得，，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（2024·江苏南通·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为 . 【解题思路】利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得所对应的点的坐标，进一步可得答案. 【解答过程】由已知，，所以所对应的点为， 此点在实轴上，所以，解得. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【解答过程】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 2．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．5 D．13 【解题思路】先化简的表达式，然后求得的模. 【解答过程】， 所以. 故选：B. 3．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 4．（2024·全国·模拟预测）若，其中，是实数，是虚数单位，则对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】依题意可得，根据复数相等的充要条件求出，，再根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】因为，所以，即，其中，是实数， 所以，即， 则，在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 5．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可. 【解答过程】 （当且仅当，时取等号）. 故选:C. 6．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【解答过程】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 7．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由存在量词命题的否定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得求参数范围判断④. 【解答过程】①由，即同号，故；由，即同号，故， 所以是的充要条件，正确； ②因为，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，错误； ③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题， 命题“，”的否定是“，”，正确； ④由题设，解得或，正确. 故选：C. 8．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值. 【解答过程】因为关于的实系数二次不等式的解集为， 所以是一元二次方程的根， 所以，解得，所以，所以， 所以 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案. 【解答过程】由题意可得，则， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，，故D错误； 故选：AC. 10．（2024·广东佛山·一模）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 【解题思路】对于A，根据基本不等式可得，进而求解即可判断；对于B，根据基本不等式可得，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得，进而结合即可判断；对于D，结合题意可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18，故A正确； 对于B，由，当且仅当且时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 对于C，由于，所以有， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【解答过程】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2024·河北·模拟预测）已知复数，设，若复数在复平面内对应的点为，点关于实轴的对称点为，则的值为 . 【解题思路】根据条件，利用复数的运算，得到，从而有，，即可求解. 【解答过程】因为，则，所以点， 得到，所以， 故答案为：. 13．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【解题思路】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【解答过程】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 14．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 【解题思路】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【解答过程】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【解题思路】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【解答过程】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 16．（2024·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； (2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 【解题思路】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果. 【解答过程】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油， 所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； （2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 且，所以选择第二种加油方案比较经济划算. 17．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由得， 当且仅当时等号成立， 所以； （2）由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 18．（2024·全国·模拟预测）设函数 ． (1)求的解集； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）分区间讨论去掉绝对值号求解即可； （2）求出的最小值，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）当时，，恒成立，则； 当时，，，即， 解得； 当时，不成立，则． 综上，不等式的解集为． （2）令， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即的值域为． 所以不等式恒成立，可转化为恒成立， 即，解得， 即实数的取值范围为． 19．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【解题思路】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【解答过程】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$