精品解析：浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试1班数学试题

北仑中学2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式，结合函数的奇偶性，以及函数零点的特征，函数值的正负区间，即可判断选项. 【详解】函数的定义域，且，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，排除D， 当，，则函数值，即原点右侧开始的函数值是正数，排除B， 时，，即，存在满足不等式，所以当时，函数的零点都是变号零点，并不恒为正数，排除C. 故选：A 3. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解． 【详解】令， 因为，所以， 即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 所以在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 4. 已知角，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 5. 如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示： 根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 6. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 7. 已知，则角所在的区间可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，排除B，只有C答案满足，故选C. 点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可排除A和D，当时，可求出与所求矛盾，排除B. 8. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值. 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. “虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ） A. B. C. 是该方程的根 D. 是该方程的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果. 【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则， 而，故，选项A正确； 对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确； 对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误； 对于D，，而，代入方程得，， 是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确. 故选：ABD. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）． A. 该函数的解析式为 B. 该函数图象的对称轴方程为， C. 该函数的单调递增区间是， D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解. 【详解】由题图可知，，周期， 所以，则， 因为当时，，即， 所以，，即，， 又，故， 从而，故A正确； 令，，得，，故B错误； 令，， 得，，故C正确； 函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 可得到，故D正确． 故选:ACD 11. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ） 参考数据： A. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D. 这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【解析】 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ， 当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误； 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足:，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：3. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 14. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求角A； （2）若的面积为，周长为15，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式化简计算即可； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理建立方程计算即可. 【小问1详解】 因为，． 由正弦定理得， 则， 即． 在中，，故． 因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得． 由余弦定理得，则． 又，所以， 解得． 16. 如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1. （1）在四面体中，求顶点到底面的距离； （2）如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 【答案】（1） （2）12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求解； （2）利用数形结合法得到几何体，再求表面积和体积. 【小问1详解】 解：设点到底面的距离为， 则， 即，得； 【小问2详解】 如图所示： 将正方体按照题设的方法截去八个“角”后 其有12个顶点，24条棱，共14个面， 其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为. 17. 已知函数. （1）求的值域； （2）求在上所有实数根的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦型函数的性质可求值域； （2）利用与有4个交点，利用正型函数的对称性可求所有实数根之和.. 【小问1详解】 ， 因为的值域为，所以的值域为. 【小问2详解】 由，得， 画出在上的图象如图， 与有4个交点，4个交点中有两对交点均关于对称， 令，解得， 故4个实数根之和为. 18. 如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. （1）当时，用，表示，； （2）若，求实数的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 若，则， 因为，，， 则， 所以. 【小问3详解】 ）由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）存在，，理由如下： 设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【解析】 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑中学2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知角，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 7. 已知，则角所在的区间可能是 A. B. C. D. 8. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. “虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ） A. B. C. 是该方程的根 D. 是该方程的根 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）． A. 该函数的解析式为 B. 该函数图象的对称轴方程为， C. 该函数的单调递增区间是， D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ） 参考数据： A. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D. 这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足:，则______________. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 14. 若，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求角A； （2）若的面积为，周长为15，求． 16. 如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1. （1）在四面体中，求顶点到底面的距离； （2）如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 17. 已知函数. （1）求的值域； （2）求在上所有实数根的和. 18. 如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. （1）当时，用，表示，； （2）若，求实数的值； （3）求的取值范围. 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $