宁夏银川市永宁县上游高级中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

高三数学试卷 第 1页（共 3 页） 永宁县上游高级中学 2024-2025 学年第一学期月考(二) 高三年级数学试卷 班级： 姓名： 学号： ：仿 时间:120 分钟 分值：150 分 命题教师:赵冬奎 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题只有一个正确答案． 1．若集合  | 3A x x  ，  | 3 1,B x x n n   N ，则 A B （ ） A． B． 3,6,9 C． 2,5,8 D． 1,2,5,8 2.若扇形的面积为 3 π 8 ､半径为 1，则扇形的圆心角为（ ） A. 3 π 2 B. 3 π 4 C. 3 π 8 D. 3 π 16 3.若 2 1 sin2 2 1 2sin      ，则 tan （ ） A． 1 3 B． 1 C． 1 3 或 1 D． 1 3  4．已知实数 1a  ，函数   4 , 0, 2 , 0, x a x x f x x      若 (1 ) ( 1)f a f a   ，则 a 的值为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 1 4 D． 1 4  5．设 A，B 为两个事件，已知 2 3 1( ) , ( ) , ( | ) 5 5 2 P A P B P A B   ，则 ( | )P A B （ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 3 5 D. 2 5 6. 已知函数   1 ln xf x x   ，则  f x 在区间  2, 0 3 a a a      上存在极值的一个充分不必要 条件是（ ） A. 2 ,1 3       B. 20, 3       C. 10, 3       D. 1 ,1 3       7.已知函数    3cos 0 6 f x x         ，若 0 3 f       ，  f x 在 4, 3 9        内有最小值，没有最大 值，则的最大值为（ ） A．19 B．13 C．10 D．7 8.已知函数  f x 满足    ln 0xf x x f x   （其中  f x 是  f x 的导数），若 1 2ea f        ，  eb f ，  2ec f ，则下列选项中正确的是（ ） A． 4 2c b a  B． 2 4b c a  C． 2 4a b c  D． 4 2a c b  二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分． 9．某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的 8 名同学 所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A. 这组数据的众数为 1 B. 这组数据的极差为 2 C. 这组数据的平均数为 2 D. 这组数据的 40%分位数为 1 10.已知定义域在 R 上的函数  f x 满足：  1f x 是奇函数，且    1 1f x f x     ，当  1,1x  ，   2 1f x x  ，则下列结论正确的是（ ） A.  f x 的周期 4T  B. 5 32 4f       C.  f x 在 5, 4  上单调递增 D.  2f x 是偶函数 高三数学试卷 第 2页（共 3 页） 11. 函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，则（ ） A. 该图像向右平移 π 6 个单位长度可得 3sin2y x 的图象 B. 函数� = � � 的图像关于点 π ,0 6      对称 C. 函数� = � � 的图像关于直线 5π 12 x   对称 D. 函数� = � � 在 2π π, 3 6      上单调递减 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分． 12.已知 0a  ， 0b  ， 43 1a b   ，则 1 3b a  的最小值为___________. 13．  tan30 tan 70 sin10   ___________. 14.设函数      1 e exf x x   ，   lng x x ax  ，其中 aR ．若对任意的正实数 1x ， 2x ， 不等式    1 2f x g x 恒成立，则 a 的最小值为___________. 四、解答题:本题共 5 小题，共计 77 分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题 13 分） ABC 的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c， 已知 cos cos2a b bB A c   ． （1）求 tan A； （2）若 17a  ， ABC 的面积为2 2，求 ABC 的周长． 16．（本题 15 分）植物迷宫源自于西方国家，在西方国家十分盛行，发展到现在，已经是西方 园林植物文化的代表之一．目前植物迷宫的发展已经遍布世界各地，最大的、最长的、最复杂的 等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主打的景区，吸引游客的一项重要手段．某乡镇为 发展旅游业，欲打造植物迷宫，现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款征询 90 名村民代表的意见（每人 可选一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例为 2 :1，得到相关统计数据如表： 支持蔬菜迷宫 支持粮食迷宫 中立（两种均可） 人数 45 30 15 （1）根据村民代表的意见，利用分层随机抽样的方法抽取 12 名村民代表，再从这 12 人中随机 抽取 4 人，记其中支持粮食迷宫的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望． （2）在 90 名村民代表中，蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如表，其中 a， b为正 整数，且 3 28a b  ． 男村民代表 女村民代表 蔬菜种植能手 40 10 粮食种植能手 a 2b 现从这 90 名村民代表中任选一名去参与迷宫设计讨论，记事件M 为“选到的为女村民代表”， 事件 N为“选到的为粮食种植能手”．若事件M 与事件 N相互独立，求 a， b的值． 17.（本题 15 分）已知   3sin 2 2 3sin cos 3 4 4 f x x x x                       (1)求 3 f      的值； (2)若锐角 满足   3 3 f   ，求 sin2 的值. 18.（本题 17 分）已知函数   1 lnf x ax x   ， a R ． (1)讨论函数  f x 在区间  1,e 的极值； (2)若函数  f x 在 1x  处取得极值，对  0,x   ，   2f x bx  恒成立，求实数b的取值范围． 19.（本题 17 分）若函数  f x 在区间 I 上有定义，且 x I  ，  f x I ，则称 I 是  f x 的一个 “封闭区间”． (1)已知函数   sinf x x x  ，区间   0, 0I r r  且  f x 的一个“封闭区间”，求 r的取值集合； (2)已知函数     33ln 1 4 g x x x   ，设集合   P x g x x | ． （i）求集合 P中元素的个数； （ii）用b a 表示区间  ,a b a b 的长度，设m为集合 P中的最大元素．证明：存在唯一长度 为m的闭区间D，使得D是  g x 的一个“封闭区间”． 第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 上游高级中学 2024--2025 学年第一学期第二次月考 高三年级数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A A B A B C ACD BC ABC 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．【答案】C，【详解】依题得    | 3 0,9A x x   ，则  2,5,8A B  ．故选：C. 2.【答案】B 3.【答案】A 【解析】因为 2 1 sin 2 2 1 2sin      ， 所以 2 1 sin 2 1 2sin     2 2 2 2 sin 2sin cos cos cos sin                 2sin cos cos sin cos sin           sin cos tan 1 cos sin 1 tan             ，即 tan 1 2 1 tan      ，解得 1tan 3   . 故选：A. 4．【详解】由题意，函数   4 , 0 2 , 0 x a x x f x x      ，当 1a  时，由 (1 ) ( 1)f a f a   可得 1 14 2a  ，即 2 2 12 2a  ， 解得 1 2 a  ；当 1a  时，由 (1 ) ( 1)f a f a   可得 1 (1 )4 2a a a   ，即 2 2 2 12 2a a  ，此时方程无解， 综上可得，实数a的值为 12 .故选：A. 5．【答案】B，【解析】由 3( ) 5 P B  ，得 3 2( ) 1 5 5 P B    ，显然 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B  ， 因此 2 3 2 1( | ) 5 5 5 2 P A B   ，所以 1( | ) 3 P A B  ．故选：B 6. 【答案】A，【详解】     2 1 ln lnx xf x f x x x     ， 当 1x  时，    0,f x f x  单调递减，当 0 1x  时，    0,f x f x  单调递增， 因此 1x  是函数的极大值点，要想在在区间  2, 0 3 a a a      上存在极值， 只需 2 11 1 3 3 a a a      ，显然四个选项中，只有 2 1 3 a  能推出 1 1 3 a  ， 但是 1 1 3 a  推不出 2 1 3 a  ，故选：A 7.【答案】B【详解】由 0 3 f       ，得 3 6 2 k      ， kZ，解得 3 1k   ， kZ， 由  f x 在 4, 3 9        内有最小值，无最大值，可得 1 2 4 3 2 4 9 3 4            ， 解得 9 27 2 2   ，所以的最大值为 13.故选:B． 8.【答案】C，【详解】因为    ln 0xf x x f x   （ 0x  ），所以    1ln 0f x x f xx   ，所以[ ( ) ln ] 0f x x   ， 令 ( ) ( ) ln ( 0)g x f x x x  ，则 (0, )  x ， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上递增， 因为 1 220 e e e   ，所以 1 22(e ) (e) (e )g g g  ， 所以 1 1 2 22 2(e ) ln e (e) ln e (e ) ln ef f f  ，所以 1 221 (e ) (e) 2 (e ) 2 f f f  ，所以 1 2 2 a b c  ，所以 2 4a b c  二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．【答案】ACD，【解析】数据从小到大排列为 1，1，1，1，2，2，4，4． 对于 A，该组数据的众数为 1，故 A 正确；对于 B，极差为4 1 3  ，故 B 错误； 对于 C，平均数为 1 4 2 2 4 2 2 8       ，故 C 正确； 对于 D， 8 40% 3.2  ，这组数据的 40%分位数为第 4 个数 1，故 D 正确．故选：ACD. 10.【答案】BC，【解析】由于  1f x 是奇函数，所以    1 1f x f x     ，则    = 2f x f x  又    1 1f x f x     ，则    2 4f x f x   ，所以        4 8 8f x f x f x f x           ， 所以  f x 的周期为 8，A错误，， 25 1 1 31 2 2 2 4 f f                             ，故 B 正确， 根据函数的性质结合  1,1x  ，   2 1f x x  ，作出函数图象为： 由图象可知：  f x 在 5, 4  上单调递增，C 正确，由于  f x 的图象不关 于 2x  对称，所以  2f x 不是偶函数，D 错误故选：BC 11. 【答案】ABC【详解】由图象知， 3A  ，函数  f x 的周期 π π4 π 3 12 T        ，则 2π 2 T    ，则    3sin 2f x x   ，由 π 3 12 f       得 π π2 2 π, 12 2 k k    Z，而 π 2   ，则 π0, 3 k   ，因此   π3sin 2 3 f x x      .对于 A， 函数  y f x 图象向右平移 π 6 个单位长度，得 π 3sin2 6 f x x      ，即 3sin2y x 的图象，故 A正确， 对于 B， π π π3sin 0 6 3 3 f                ，则  f x 的图象关于点 π ,0 6      对称，故 B正确； 对于 C， 5π 5π π3sin 3 12 6 3 f                 ，则函数  f x 的图象关于直线 5π 12 x   对称，故 C正确,对于 D， 当 2π π, 3 6 x       时，  π2 π,0 3 x    ，当 π π2 3 2 x    ，即 5π 12 x   时，  f x 取得最小值，所以函数  y f x 在 2π π, 3 6      上不单调，故 D错误.故选:ABC. 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 27，【详解】 1 1 4 43 3 3 3 12 9 15 2 4 9 27b b a ab a a b ab                   … ，当且仅当 4 9ab ab  ，即 1 9 a  ， b＝6时，等号成立，故 1 3b a  的最小值为 27。 13．【答案】 3 3 ，   sin30 sin70tan30 tan70 sin10 ( )sin10 cos30 cos70            (sin30 cos70 cos30sin70 )sin10 cos30 cos70         sin100 sin10 2sin10 cos10 3 33 3sin 20sin 20 2          .故答案为： 3 3 . 13. 1 e 。【详解】依题意，当 1 20, 0x x  时，不等式    1 2f x g x 恒成立，等价于    min 1 2f x g x ， 对于  f x ，当0 1x  时， 1 0x   ， e e<0x  ，   0f x  ，当 1x 时， 1 0x   ， e e 0x   ，   0f x  ， 当且仅当 1x  时，  min 0f x  ，当 0x  时，   ln 0g x x ax   ，即   ln 0xa x x   ，令   ln xh x x ，   2 1 ln xh x x   ， 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 当0 ex  时，   0h x  ，  h x 单调递增；当 ex 时，   0h x  ，  h x 单调递减；    max ln e 1e e e h x h    ， 1 e a  ， a 的最小值为 1 e . 四、解答题:本题共 5 小题，共计 77 分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】【小问 1详解】因为 cos cos2a b bB A c   ，所以 sin cos 2sin cos sin sinA B B A B C   ． 又  sin sin sin cos cos sinC A B A B A B    ，所以 3sin cos sinB A B  ． 因为sin 0B  ，所以 1cos 3 A   ．又  0,πA ，所以 2 2sin 3 A  ， tan 2 2A   ． 【小问 2详解】 ABC 的面积 n1 2 2 2 2 si 3 AS bc bc   ，则 6bc  ． 由 2 2 2 2 2c 2 3 s2 oa b c bc b c bcA      ，得  2 2 4 25 3 b c a bc    ， 所以 5b c  ，故 ABC 的周长为5 17 ． 16.【解答】解：（1）由题知支持蔬菜迷宫、支持粮食迷宫、中立的人数之比为3 : 2 :1， 所以随机抽取的 12人中，支持蔬菜迷宫、支持粮食迷 宫、中立的人数分别为 6，4，2， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， 则 4 8 4 12 14( 0) 99 CP X C    ， 3 1 8 4 4 12 224( 1) 495 C CP X C    ， 2 2 8 4 4 12 56( 2) 165 C CP X C    ， 1 3 8 4 4 12 32( 3) 495 C CP X C    ， 4 4 4 12 1( 4) 495 C P X C    ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 14 99 224 495 56 165 32 495 1 495 所以 14 224 56 32( ) 0 1 2 3 4 99 495 165 495 E X           1 4 495 3  ； （2）因为在 90名村民代表中，男、女村民代表的比例为 2 :1， 所以女村民代表有 30名，则 30 1( ) 90 3 P M   ， 2( ) 90 a bP N  ， 2( ) 90 45 b bP MN   ， 若事件M 与事件 N相互独立，则 ( ) ( ) ( )P M P N P MN ， 即 1 2 3 90 45 a b b   ，得 4a b ，又 3 28a b  ，所以 16a  ， 4b  17.【答案】(1)接由题意得：   3sin 2 2 3sin cos 3 4 4 f x x x x                       3sin 2 2 3sin cos[ ( )] 3 4 4 x x x                 sin 2 2 3sin cos 3 4 4 x x x                       sin 2 3sin 2 3 2 x x               sin2 cos cos 2 sin 3cos2 3 3 x x x   1 3sin 2 cos 2 2 2 x x  sin(2 )3 x   ，故 sin(2 ) 0 3 3 3 f            (2) (0, ) 2   ，   3 3 f   ，   3sin(2 ) 3 3 f      ， 42 ( , ) 3 3 3      又 3 3sin(2 ) 3 3 2     ， 2 42 ( , ) 3 3 3      ， 2 3 6cos(2 ) 1 3 3 3               sin2 sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 3 3 3 3 3 3                                   3 1 6 3 3 3 2 3 2 3 2 6       . 18.解析(1)在区间  0,  上，   1 1axf x a x x     ，当 0a  时，   0f x  恒成立，  f x 在区间  1, e 上单 调递减，则  f x 在区间  1, e 上无极值；当 0a  时，令   0f x  得 1x a  ，在区间 10, a       上，   0f x  ，函数  f x 单调递减，在区间 1 , a      上，   0f x  ，函数  f x 单调递增，若 1 1 e a  ，即 11 e a   ，则  f x 在区 间  1, e 上极小值 1 lnf aa       ，若 1a  或 10 e a  ，即 1 1 a  或 1 e a  ，则  f x 在区间  1, e 上无极值 (2)因为函数  f x 在 1x  处取得极值，所以  1 0f   ，解得 1a  ，经检验可知满足题意 由已知   2f x bx  ，即 1 ln 2x x bx    ，即 1 ln1+ x b x x   对  0,x   恒成立， 令   1 ln1 xg x x x    ，则   2 2 2 1 1 ln ln 2x xg x x x x       ，当  20,ex 时，   0g x  ；当  2e ,x  时，   0g x  所以  g x 在  20,e 上单调递减，在  2e , 上单调递增，所以    2 2min 1e 1 e g x g   ，即 2 11 e b   . 19.【详解】（1）由题意，  0,x r  ，    0,f x r ，   1 cos 0f x x    恒成立，所以  f x 在  0, r 上单调 递增，可得  f x 的值域为 0, sinr r ，因此只需    0, sin 0,r r r  ， 即可得 sinr r r  ，即  sin 0 0r r  ，则 r的取值集合为    *2 1 π,2 πk k k    N ． （2）（i）记函数        33ln 1 1 4 h x g x x x x x x        ， 则                    2 2 2 4 9 1 4 1 9 1 4 3 4 3 11 9 1 1 1 4 4 1 4 1 4 1 x x x x x x x x x h x x x x x x x                      ， 由   0h x  得 1 0x   或 1 3 x  ；由   0h x  得 10 3 x  ； 所以函数  h x 在  1,0 和 1 , 3      上单调递增，在 10, 3       上单调递减． 其中  0 0h  ，因此当   11,0 0, 3 x         时，   0h x  ，不存在零点； 由  h x 在 10, 3       单调递减，易知  1 0 0 3 h h       ，而   11 ln 2 0 4 h    ， 由零点存在定理可知存在唯一的 0 1 ,1 3 x      使得  0 0h x  ；当  1,x  时，   0h x  ，不存在零点． 综上所述，函数  h x 有 0和 0x 两个零点，即集合 P中元素的个数为 2． （ii）由（i）得 0m x ，假设长度为m的闭区间  0,D a a x  是  g x 的一个“封闭区间”  1a   ， 则对  0,x a a x   ，    0,g x a a x  ，当 1 0a   时，由（i）得  h x 在  1,0 单调递增，      0 0h a g a a h     ，即  g a a ，不满足要求； 当 0a  时，由（i）得  h x 在  0 ,x  单调递增，        0 0 0 0 0h a x g a x a x h x        ， 即  0 0g a x a x   ，也不满足要求；当 0a  时，闭区间  00,D x ，而  g x 显然在  1,  单调递增，      00g g x g x   ，由（i）可得    0 0 0 0g h   ，    0 0 0 0g x h x x x   ，    00,g x x D   ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为m的闭区间  0,D m ，使得D是  g x 的一个“封闭区间”．