专题03 一元二次方程根的判别式、根与系数关系重难点培优专题训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题03 一元二次方程根的判别式、根与系数关系重难点培优专题训练 题型导引 题型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况 题型二：已知方程根的情况求参数或确定参数的取值范围 题型三：由一元二次方程根的判别式进行证明 题型四：由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 题型五：利用一元二次方程的根定义及根与系数关系求代数式的值 题型六：根的判别式与根与系数关系的综合 题型七：根的判别式与根与系数关系的几何应用 题型八：构造一元二次方程解题 知识要点精讲 知识点01 一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1.一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 知识点02一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 重难点题型训练 题型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．（内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：一元二次方程一般式为：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根．故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）对于实数、，定义运算“”：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据题目所给的定义对方程进行变形后求出的值，再判断根的情况即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ， 方程有两个相等的实数根，故选：． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是:_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，还涉及到一次函数的图象与性质．由直线经过第一、三、四象限，求得，，根据根的判别式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， 关于的方程， ∴， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：_______（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当时，找出．①当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将代入中，得出，由此得出②不正确；③将代入中，得出，由此得出③正确；④结合①可知当时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论． 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④．故答案为：①②④． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)原方程有两个相等的实数根；(2)原方程有两个不相等的实数根；(3)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3） 【详解】（1）解：原方程可化为， ， ∴原方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根． （3）解：原方程可化为． ，原方程无实数根． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①；②；③； ④；⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是_________（填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【答案】(1)B；(2)①②③⑤；(3)见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【详解】（1）解： ∴或 解得：，故选：B． （2）解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根，∴②符合题意； ③， 或， 分别解得，∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根，∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； （3）解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） 题型二：已知方程根的情况求参数或确定参数的取值范围 1．（辽宁省沈阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学模拟试题）若关于的方程无实数根，则的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的情况之间的关系是解题的关键． 根据关于的方程无实数根可得，解该一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：关于的方程无实数根， ，解得：，故选：． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和一元一次方程的解．同时考查了非负数的性质．先根据非负数的性质求出与的值，再分类讨论：当，方程变形为，此一元一次方程有解；当，，方程有两个实数解，得到且，然后综合两种情况即可得到实数的取值范围． 【详解】解：， ，， ，， 方程即为方程． 当，方程变形为，此一元一次方程的解为； 当，，解得， 即且时，方程有两个实数根， 综上所述实数的取值范围为．故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，，解得：且，故答案为：且． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得，故答案为：1． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知关于x的一元二次方程：有两个相等的实数根． (1)求k 的值． (2)并求出方程 的根． 【答案】(1)k的值为1或；(2)或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴，解得：，， 所以k的值为1或． （2）解：当时，方程为，解得； 当时，方程为；解得． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程 的解与的关系是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】k的取值范围为 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式． 根据方程有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得， 即当时，方程有两个不相等的实数根． 题型三：由一元二次方程根的判别式进行证明 1．（24-25九年级上·福建南平·期中）已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出即可得证． 【详解】证明：由题意可得：． ∵ ∴ ∴该方程总有两个不相等的实数根． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）关于x的方程； (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)请取一个合适的m值，并求此时方程的根． 【答案】(1)见详解；(2)当时，此时方程的两根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键． （1）先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出的值和方程的根． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根． （2）解：由（1）可取当时，则方程变为， 解得：，， 当时，方程的两根为，． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根； (2)若原方程有一个根大于5，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，，结合该方程有一个根大于5，可得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：在关于x的一元二次方程中，，， 是非负数， ， 无论m取何实数，原方程总有两个实数根； （2）解：， ， ，， 原方程有一个根大于5， ， ． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的方程（为实数，）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是负整数，且m是整数求出m的值即可． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，． ∵方程的两个实数根都是负整数，且是整数， ∴或． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析；(2)或2 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的解法，整除问题，求出一元二次方程的两根是解本题的关键． （1）当时，方程为一元一次方程.当时，方程为一元二次方程，根的判别式； （2）计算出方程的解，或，因为解是整数，即可算出的值． 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根． 综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即， ， 解得或， 又k为整数及方程的两个根都为整数， 或， 或2． 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，掌握根的判别式符号与根的关系是解题的关键； （1）计算判别式得，即可证明方程有实数根； （2）由菱形的性质，邻边相等，从而方程有两个相等的实数根，求得m的值，代入原方程，求解方程即可得菱形的边长． 【详解】（1）证明：， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：平行四边形是菱形， 邻边相等， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程：， 解得：， 菱形边长为． 题型四：由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是（　 　） A．10 B．17 C．26 D．33 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，利用根与系数的关系得到，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴，故选：D。 2．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（   ） A． B． C．9 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”求解即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴．故选：A． 3．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是__________． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ，故答案为：5． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则__________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， ．故答案为：． 5．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次方程的两根是，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系： （1）由根与系数的关系可得，再由代值计算即可； （2）根据，直接代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 6．（22-23九年级上·江西新余·期中）一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键； （1）利用根与系数的关系，可得出，即可． （2）把化为，再整体代入计算即可； （3）由，再整体代入计算即可； （4）由，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，； （2）； （3）； （4）． 题型五：利用一元二次方程的根定义及根与系数关系求代数式的值 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的两根，则的值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ∴，，即， ∴ ．故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，再将所求式子变形，代值求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ ，故选：A． 3．（18-19九年级·福建漳州·自主招生）设是方程的两实数根，则________． 【答案】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016，故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是________． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 ；故答案为：2029． 5．（22-23九年级上·江西萍乡·期中）设a、b是方程的两个实数根，求的值． 【答案】2021 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据是方程的两个实数根，推出，再利用整体代入的思想解决问题即可，熟知再一元二次方程中，，是解题的关键． 【详解】解：a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴，故答案为：2021． 6．（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义： （1）根据根与系数的关系得到，再由已知条件求出，进而求出，则； （2）根据一元二次方程解的定义得到，由根与系数的关系得到，再把所求式子变形为，进一步化简得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， ． 题型六：根的判别式与根与系数关系的综合 1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，，故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ，故④正确． 故正确的有①③④，故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 2．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的根等知识点，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是解题的关键． 由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而判定A；将代入方程M中，即可得出，等式两边同时除以36即可得出，从而判定B选项；根据方程M、N有相同的根，可得出，再结合，，即可得出，求出x的值即可得出C选项；根据题意，选择两方程的一个根，代入条件即可判断D选项． 【详解】解：A．方程M：的根的判别式，方程N：的根的判别式， ∴方程M有实数根，则方程N也有实数根，故该选项正确，不符合题意； B．若6是方程M的一个根，则有：，等式两边同时除以36即可得出，即也是方程N的一个根，故该选项正确，不符合题意； C．若方程M和N有一个相同的根， ∴， ∴， ∴， ∴或，故该选项符合题意； D．假设， 方程M的根为：， 若，则， 方程N的根为：， 若，则，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是________． 【答案】3个 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式．①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出以及，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解． 【详解】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由一元二次方程的根与系数的关系有，，， ， ， 这两个方程的根都为负根，①正确； ②由一元二次方程的根的判别式有： ，， ，， ，， ∵， ∴，②正确； ③由一元二次方程的根与系数的关系可得， 由、均为负整数，故，故， 同理可得：，得，即，故③正确， 故答案为：3个． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】利用判别式判断①，求出时的两个根，判断②，利用根与系数的关系，判断③，求出的值以及完全平方数的定义，判断④． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，， ∴， ∴当时，的两个根，，且，则：，故②错误； 若两个根为，，则：， ∴；， ∴；故③正确； ∵ ， 当时， ， 当为奇数时，不是整数， ∴的值不一定是完全平方数，故④错误； 故答案为①③. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，原方程都有实数根； (2)若该方程的两实数根为一直角三角形的两条直角边长，且，求值及该直角三角形的斜边． 【答案】(1)见解析；(2)，该直角三角形的斜边为 【分析】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式与根种类的对应关系以及根与系数关系是关键． （1）先计算，然后进行因式分解，判断，即可说明无论为何值，原方程都有实数根． （2）利用计算出代入即可求出的值，再利用斜边即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， 无论为何值，总有，即， 无论为何值，原方程都有实数根． （2）解：根据题意得， ， ，解得， ，， 斜边． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，且为整数，求的值． 【答案】(1)；(2)1或2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，注意方程根的定义的运用． （1）由方程根的个数，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系，用k表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围，再求其值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，即， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：由根与系数的关系知：，， ∵，满足， ∴， ∴， ∴， 又由（1）知， ∴， ∵k为整数， ∴k的值为1或2． 题型七：根的判别式与根与系数关系的几何应用 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到． 【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选：D． 2.（20-21九年级上·福建泉州·期中）如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（     　　） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋BC＝4，m＝AB×BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去），则BC＝，然后计算m的值． 解：∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝m， 即AB＋BC＝4，m＝AB×BC， ∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝3， 在Rt△ABE中，AE＝AD−DE＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB， ∴AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去）， ∴BC＝8−2AB＝， ∴m＝××＝．故选：A． 【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键． 如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为， 当时，，解得，， ∴， 设，， ∴，整理得，， 联立得，，整理得，， ∴，， ∴，解得，， ∴，解得，，故答案为：． 4.（20-21九年级上·四川眉山·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则_________．    【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，变形后代入求出的值，即可得出答案． 解：四边形是菱形， ，，，， ， ， 对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根， ，， ，， ， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， 即， 则，， 是边上的高， ， ， ．故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在等边△ABC中，是下方一动点，且，、是关于的方程的两实根，求的长度． （2）如图2，在△ABC中，，，，且，是关于的方程的两实根，若，试在△ABC内找一点，使到，，三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）延长到，使得，连接．由，可以推出，再利用根于系数关系即可解决问题； （2）根据已知结合一元二次方程根与系数的关系求得，，分别以为边作等边三角形，连接交于点，则点到的距离最小，即点是△ABC的费马点，进而勾股定理求得，证明，得出，接下来证明，即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接． ， ． 又， 是等边三角形， ，， ，即． 等边三角形中， ． 在和中， ，， ． ， ， ， ． 、是关于的方程，即方程的两实数根， ， ． （2），，且，是关于的方程的两实根，， ，即 ， ， 即 将代入，则；解得： 即， 如图所示，分别以为边作等边三角形，连接交于点，则点到的距离最小， ，， 在中， 与都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， （）， ， 在上取一点，使得． ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， （）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，费马点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且为方程的两根，试确定m与n的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)直角三角形；(2)当时，；当时，，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用、勾股定理的逆定理、圆周角定理等知识． （1）根据方程有两个相等的实数根得到，即可得到结论； （2）证明，根据方程有两个相等的实数根得到．由得到，则当时，；当时，． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ， 得， 为直角三形，； （2）∵ ∴， ∵； ∴， ∴四点共圆， ∵平分， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 即． ∴当时，； 当时，． 题型八：构造一元二次方程解题 1．（18-19九年级上·湖南娄底·期末）若a≠b，且则的值为（  ） A． B．1 C．.4 D．3 【答案】B 【详解】解：由得： ∴ 又由可以将a，b看做是方程 的两个根 ∴a+b=4，ab=1 ∴ 故答案为B. 【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解． 2．（19-20九年级·浙江杭州·）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（    ） A． B． C．2012 D．2011 【答案】A 【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值． 【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解， 方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0， 则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012， 又x1x2=（cd）2012-2012， 则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A． 【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴．故选A． 4．（2013·四川成都·一模）设实数s、t分别满足，并且st≠1，求________ 【答案】-5 【详解】试题分析：由题意得s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出结果． 把方程转化为 ∴s与是方程的两个根 ∴， ∴ 考点：一元二次方程根与系数的关系，代数式求值 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，；注意将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 5．（21-22九年级上·广东茂名·阶段练习）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式=________． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 6．（23-24九年级上·重庆·自主招生）若实数、，满足，，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ，故答案为：． 7．（22-23九年级上·四川泸州·期中）阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)关于x的方程的两个根是和1，则的值为 ． (2)已知实数m、n满足，且，求的值． (3)若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 【答案】(1)；(2)；(3)k的值 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可. （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得m、n可看作方程的两实数解，可得，即可求解； （3）关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，结合条件可得，利用根的判别式进行验证即可； 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，解得， ∴；故答案为：； （2）解：由题意得m、n可看作方程的两实数解， ∴ ∴ （3）解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得， 当时，原方程化为，则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解； 综上所述，k的值为． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（）；【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴，故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴正数的最小值为． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；②；(2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ；故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，，解得， ， ． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根的判别式、根与系数关系重难点培优专题训练 题型导引 题型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况 题型二：已知方程根的情况求参数或确定参数的取值范围 题型三：由一元二次方程根的判别式进行证明 题型四：由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 题型五：利用一元二次方程的根定义及根与系数关系求代数式的值 题型六：根的判别式与根与系数关系的综合 题型七：根的判别式与根与系数关系的几何应用 题型八：构造一元二次方程解题 知识要点精讲 知识点01 一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1.一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 知识点02一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 重难点题型训练 题型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．（内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）对于实数、，定义运算“”：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是:_____________________． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：_______（只填序号） 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①；②；③； ④；⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是_________（填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 题型二：已知方程根的情况求参数或确定参数的取值范围 1．（辽宁省沈阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学模拟试题）若关于的方程无实数根，则的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D．0 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25九年级上·全国·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_________． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知关于x的一元二次方程：有两个相等的实数根． (1)求k 的值． (2)并求出方程 的根． 6．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型三：由一元二次方程根的判别式进行证明 1．（24-25九年级上·福建南平·期中）已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个不相等的实数根． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）关于x的方程； (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)请取一个合适的m值，并求此时方程的根． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根； (2)若原方程有一个根大于5，求m的取值范围． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的方程（为实数，）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形的边长． 题型四：由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是（　 　） A．10 B．17 C．26 D．33 2．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（   ） A． B． C．9 D．1 3．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是__________． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则__________． 5．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次方程的两根是，求下列代数式的值． (1)； (2)． 6．（22-23九年级上·江西新余·期中）一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 题型五：利用一元二次方程的根定义及根与系数关系求代数式的值 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的两根，则的值为（    ） A．5 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 3．（18-19九年级·福建漳州·自主招生）设是方程的两实数根，则________． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是________． 5．（22-23九年级上·江西萍乡·期中）设a、b是方程的两个实数根，求的值． 6．（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值． 题型六：根的判别式与根与系数关系的综合 1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 2．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是________． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是________（填序号）． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，原方程都有实数根； (2)若该方程的两实数根为一直角三角形的两条直角边长，且，求值及该直角三角形的斜边． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，且为整数，求的值． 题型七：根的判别式与根与系数关系的几何应用 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 2.（20-21九年级上·福建泉州·期中）如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（     　　） A． B． C．3 D．2 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是_______． 4.（20-21九年级上·四川眉山·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则_________．    5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在等边△ABC中，是下方一动点，且，、是关于的方程的两实根，求的长度． （2）如图2，在△ABC中，，，，且，是关于的方程的两实根，若，试在△ABC内找一点，使到，，三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，，且关于x的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且为方程的两根，试确定m与n的数量关系，并说明理由． 题型八：构造一元二次方程解题 1．（18-19九年级上·湖南娄底·期末）若a≠b，且则的值为（  ） A． B．1 C．.4 D．3 2．（19-20九年级·浙江杭州·）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（    ） A． B． C．2012 D．2011 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 4．（2013·四川成都·一模）设实数s、t分别满足，并且st≠1，求________ 5．（21-22九年级上·广东茂名·阶段练习）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式=________． 6．（23-24九年级上·重庆·自主招生）若实数、，满足，，且，则的值为________． 7．（22-23九年级上·四川泸州·期中）阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)关于x的方程的两个根是和1，则的值为 ． (2)已知实数m、n满足，且，求的值． (3)若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$