精品解析：山西省运城市实验中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年第一学期八年级期中学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在，，，，0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）五个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：是整数，为有理数；是无理数；是整数，为有理数；是分数，为有理数；0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）为无限不循环小数，为无理数， 因此无理数有2个， 故选：B． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 12，13，5 B. ，， C. 60，80，100 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，如果较小的两个数的平方的和等于最大的数的平方，则能作为直角三角形三边长，逐项判断即可． 【详解】解：A，，12，13，5能作为直角三角形三边长，不合题意； B，，，，能作为直角三角形三边长，不合题意； C，，60，80，100能作为直角三角形三边长，不合题意； D，，，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； 故选D． 3. 如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果．若图中目标的位置表示为，则下列各目标位置表示正确的是（ ） A. 目标的位置为 B. 目标的位置为 C. 目标的位置为 D. 目标的位置为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键．根据题中坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出逐项判断即可． 【详解】A、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； B、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； C、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； D、目标的位置为，故本选项正确，符合题意； 故选择：D 4. 下列各式计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．根据二次根式的计算法则及二次根式的性质逐一计算即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 下列各图能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：解：A、C、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，B选项符合函数的概念， 故选：B． 6. 下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与它的边长之间的关系 B. 用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C. 小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各项的函数解析式，再逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，正方形的面积与它的边长之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B中，用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C中，小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； D中，汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系是，不是正比例函数关系； 故选：C． 7. 根据表中的数据估计的十分位上的数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键．根据题意得出，可知，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的十分位上的数字是， 故选：C． 8. 下列一次函数的图象中，经过点，并且满足随的增大而减小的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象的性质作答即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点，并且满足随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限．且过点， 故选：A． 9. 若点与点关于某条直线对称，则这条直线是（） A. 轴 B. 轴 C. 过点且垂直于轴的直线 D. 过点且平行于轴的直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是坐标与图形变化对称，点的坐标，掌握轴对称的性质及平面直角坐标系内点的特点是解题的关键． 【详解】解：点，点， 轴， 设中点为， 则点坐标为，即， 点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称， 即这条直线是过点且平行于轴的直线， 故选：D． 10. 如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出、及之间的关系是解答此题的关键．先根据勾股定理得出，可得，从而得出，再由，可得，求和，由勾股定理得出，再求解即可． 【详解】解：中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键． 12. 年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于年月日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据，两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点的坐标为． 故答案为： 13. 如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 14. 如图，边长为5的正方形中两个相对的顶点A和恰好落在数轴上，以A为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点．若点A表示的数为，则点表示的数为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点表示的数为； 故答案为． 15. 如图，在中，，平分，过点作垂线，与交于点，与的延长线交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由勾股定理可得，设，由勾股定理可得，从而列出方程，求得，可得，最后由等腰三角形的判定即可求解． 详解】解：， ， ，， ， ， ， 设， 中，，中，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： ………………………第一步 ① ………………………第二步 ………………………第三步 任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是（将正确答案的序号填在横线处）； A．B． 任务二：以上解答步骤中，第步开始出现错误，具体错误是； 任务三：请直接写出正确的运算结果． 【答案】（1） （2） （3） （4）任务一：A；任务二：一；计算时，没有将“2”平方；任务三： 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并即可； （2）先进行二次根式的除法运算，再化简即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）根据二次根式混合运算的法则进行分析并计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ； 【小问4详解】 任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是 故选：A； 任务二：以上解答步骤中，第一步开始出现错误，具体错误是计算时，没有将“2”平方； 故答案为：一；计算时，没有将“2”平方； 任务三： ． 17. 每年12月2日为全国交通安全日，近期某班组织交通安全主题班会．同学们了解到在处理交通事故时，警察叔叔通常依据经验公式来估测车辆行驶的速度，从而判断是否违章．公式中的表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：）．某路段一起交通事故的调查中，测得，若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速（参考数据：）． 【答案】肇事汽车超速 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，理解题意，求出该汽车的速度是解答的关键．根据所给的数据和经验公式求出该汽车的车速，再跟限速比较即可得出结论． 【详解】解：将代入，得， 即； ， ； ； 故肇事汽车超速 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出； ②填空：与关于 对称； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）①见解析；②轴 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）①将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； ②根据图形判断即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【小问1详解】 解：①为所求作的三角形，如图所示： ②与关于x轴对称； 【小问2详解】 解：如图，为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 19. 某小区图书馆面向会员和非会员采用两种收费方式，借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系如图所示，其中非会员的借阅费对应，会员的借阅费对应，办理会员卡需花费20元，并可享受免费借阅5本的优惠． （1）非会员借阅一本图书的费用为元； （2）当借用数量超过5本时，请直接写出两种方式借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系式； （3）若借阅图书的数量为45本，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 【答案】（1）3； （2）；； （3）选择会员的借阅方式更省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是会用待定系数法求函数关系式． （1）由函数图像求解即可； （2）用待定系数法求函数关系式即可； （3）将分别代入函数关系式求解，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：由函数图像可得，非会员借阅一本图书的费用为（元）； 【小问2详解】 解：设非会员借阅费用的函数表达式为：， 将代入可得：，解得， 非会员借阅费用的函数表达式为：； 设会员借阅费用的函数表达式为：， 将代入可得： ，解得， 会员借阅费用的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时，代入，可得； 代入，可得； ， 选择会员的借阅方式更省钱. 20. 如图，已知一次函数的图象分别交轴轴于点，，一次函数的图像经过点，并与轴交于点． （1）求，，三点的坐标； （2）计算的面积． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把代入，，求得点B坐标，把代入，得，解得，求得点A坐标，将点代入中，得，从而得出点C坐标； （2）先求出，，再用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，， ． 把代入，得， 解得， 将点代入中，得， 把代入中，得， 解得． ； 【小问2详解】 解：，，． ，， ． 21. 学科实践 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆． 测量数据 通过测量得到：，，，，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求所需篱笆的总长（接口处忽略不计）； （2）若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用． 【答案】（1）； （2）5760元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是： （1）在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形周长公式计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后根据求出种植三色堇的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，，由勾股定理得 ． ； 答：所需篱笆的总长是． 【小问2详解】 解：在中，，，， ，， ． 是直角三角形，其中． ； 元． 答：种植三色堇区域的费用总共需要5760元． 22. 阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； （3）将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把，，代入函数关系式进行计算，再描点、连线画出函数图象即可； （2）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （3）根据函数平移的规律即可解答． 【小问1详解】 解：（1）当时，， 当时，， 当时，， 列表： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 连线，画出函数图象； 【小问2详解】 解：答案不唯一，例如： 相同点：两个函数图象都与轴交于点；都与轴交于点， 不同点：函数的图象是具有公共端点的两条射线组成，函数的图象是一条直线；函数不经过第三象限，而函数经过第三象限． 【小问3详解】 解：将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为， 故答案为： 23 综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期八年级期中学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在，，，，0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）五个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 12，13，5 B. ，， C. 60，80，100 D. ，， 3. 如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果．若图中目标的位置表示为，则下列各目标位置表示正确的是（ ） A. 目标的位置为 B. 目标的位置为 C. 目标的位置为 D. 目标的位置为 4. 下列各式计算结果正确是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图能表示是函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与它的边长之间的关系 B. 用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C. 小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系 7. 根据表中的数据估计的十分位上的数字是（ ） A. B. C. D. 8. 下列一次函数的图象中，经过点，并且满足随的增大而减小的是（） A. B. C. D. 9. 若点与点关于某条直线对称，则这条直线是（） A. 轴 B. 轴 C. 过点且垂直于轴的直线 D. 过点且平行于轴的直线 10. 如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 12. 年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于年月日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____． 13. 如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为_____． 14. 如图，边长为5的正方形中两个相对的顶点A和恰好落在数轴上，以A为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点．若点A表示的数为，则点表示的数为_____． 15. 如图，在中，，平分，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： ………………………第一步 ① ………………………第二步 ………………………第三步 任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是（将正确答案的序号填在横线处）； A．B． 任务二：以上解答步骤中，第步开始出现错误，具体错误是； 任务三：请直接写出正确的运算结果． 17. 每年12月2日为全国交通安全日，近期某班组织交通安全主题班会．同学们了解到在处理交通事故时，警察叔叔通常依据经验公式来估测车辆行驶的速度，从而判断是否违章．公式中的表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：）．某路段一起交通事故的调查中，测得，若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速（参考数据：）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出； ②填空：与关于 对称； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 19. 某小区图书馆面向会员和非会员采用两种收费方式，借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系如图所示，其中非会员的借阅费对应，会员的借阅费对应，办理会员卡需花费20元，并可享受免费借阅5本的优惠． （1）非会员借阅一本图书的费用为元； （2）当借用数量超过5本时，请直接写出两种方式借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系式； （3）若借阅图书的数量为45本，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 20. 如图，已知一次函数的图象分别交轴轴于点，，一次函数的图像经过点，并与轴交于点． （1）求，，三点坐标； （2）计算的面积． 21. 学科实践 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆． 测量数据 通过测量得到：，，，，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求所需篱笆总长（接口处忽略不计）； （2）若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用． 22. 阅读与思考 下面是小文在公众号中读到一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； （3）将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 23. 综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$