精品解析：河南省郑州外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

郑州外国语学校2024-2025学年高一上期期中考试试卷 数学 （120分钟150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】集合， 所以. 故选：B 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据函数的解析式列出不等式，解出即可得结果. 【详解】因为，所以，且． 因此的定义域为， 故选：D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C. 【详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故排除B、D； 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 故选：A 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A 6. 函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值判断函数是上的单调增函数，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】对任意的实数都有， ，即， ，，函数是上的单调函数， 函数是上的单调增函数，， 即，解得， 即不等式的解集为． 故选：. 7. 霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（    ）（，结果四舍五入取整） A. 20天 B. 21天 C. 22天 D. 23天 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据同一函数对应法则、定义域相同判断；B应用分离常量法求值域判断；C根据条件间的推出关系，结合特殊值判断；D应用基本不等式求函数最值，注意等号成立条件判断. 【详解】A：由、，且它们的定义域均为，是同一函数，对； B：由，易知其值域为，错； C：对于，若，显然不成立，充分性不成立； 对于，则，必要性成立，对； D：由，又， 而上式中时等号成立，显然等号不成立，错. 故选：AC 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A由韦达定理可判断选项正误；BD由基本不等式可判断选项正误；C由A选项分析利用二次函数知识可判断选项正误. 【详解】对于A，因的解集为， 则的解为与1，由韦达定理， 则，两式相除，得， 故，则A错误； 对于B，由基本不等式，，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间是______. 【答案】（也可以写作） 【解析】 【分析】利用复合型对数函数的定义域求得的定义域，再利用二次函数与复合函数的单调性即可得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数在其定义域内为减函数， 所以由复合函数单调性知，的单调递增区间是. 故答案为：. 13. 已知函数，其中，为奇函数，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性可得到结果. 【详解】因为为奇函数，则，所以 则，即， ， 故答案为：. 14. 已知，若对任意，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由及题意，可得，然后由单调性及一次函数单调性可得答案. 【详解】由题可得，又注意到在上单调递增， 在上单调递增，，则在R上单调递增. 则 得，由，则. 则关于x的一次函数在上单调递增， 要使恒成立，则， 即，解得：. 结合，可得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 解答下列问题. （1）设，，用a，b表示； （2）解关于x的不等式：． 【答案】（1） （2） 当，解集为；当，解集为；当，解集为． 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质可得答案； （2）分类讨论与的大小可解不等式. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ，即， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为． 16. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【小问1详解】 函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”. （1）写出二次函数的一个“跟随区间”； （2）求证：函数不存在“跟随区间”； （3）已知函数有“4倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）证明：，设， 可设或， 因为在和上单调递增， 若是函数的“跟随区间”， 则，则是的两个不等且同号的实根， 又，所以无实数根， 所以函数不存在“跟随区间”； （3） 【解析】 【分析】（1）求得值域，可得，进而可得有两个非负根，求解即可； （2）假设，利用单调性可得，进而可得是的两个不等且同号的实根，判断方程有无解即可； （3）函数有“4倍跟随区间”，则可得是方程的两个不等且同号的实根，计算求解即可. 【小问1详解】 因为，所以值域为，所以“跟随区间”， 又在上单调递增，所以， 从而有两个非负根，解得或， 所以二次函数的一个“跟随区间”为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的定义域为， 因为函数有“4倍跟随区间”， 则，所以或， 所以在上单调递增， 因为函数有“4倍跟随区间”， 则有，所以是方程的两个不等且同号的实根， 即有两个不等且同号的实根， 所以，得 ，， 所以 ， 当且仅当时，取得最大值. 当时符合的条件， 所以取得最大值时，的值为. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；本题根据函数的单调性合理转换是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2024-2025学年高一上期期中考试试卷 数学 （120分钟150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 6. 函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（    ）（，结果四舍五入取整） A. 20天 B. 21天 C. 22天 D. 23天 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间是______. 13. 已知函数，其中，为奇函数，若，则_______． 14. 已知，若对任意，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 解答下列问题. （1）设，，用a，b表示； （2）解关于x的不等式：． 16. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”. （1）写出二次函数的一个“跟随区间”； （2）求证：函数不存在“跟随区间”； （3）已知函数有“4倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $