特训04 图形的相似 解答压轴题（六大模块，江苏精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训04 图形的相似 解答压轴题（六大模块，江苏精选） 目录： 模块1：动态几何（旋转、翻折等） 模块2：动点问题；动点与方程 模块3：二次函数与相似三角形 模块4：圆与相似三角形 模块5：情景探究题 模块6：数学活动、情景探究等综合应用 模块1：动态几何（旋转、翻折等） 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，已知边长为6的正方形纸片，点G、H分别是边与上的点，连接，将正方形纸片沿折叠，使点B的对应点M落在边上，的对应线段交于点E． (1)当点E为中点时 ①若，则的大小为______； ②若，则线段的长度为______；线段的长度为______； (2)记，四边形的面积为S，请写出S关于x的函数表达式，并求出S的最小值． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； (3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 模块2：动点问题；动点与方程 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； (4)直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 模块3：二次函数与相似三角形 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值； (3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积． 9．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 10．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 模块4：圆与相似三角形 11．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）如图，⊙O的直径弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连接交⊙O于点，连接交于点，连接，． (1)若，求的长； (2)若，． ①求与之间的函数表达式； ②的最大值 ． 模块5：情景探究题 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 13．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）综合与实践 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且， 则下面是小明、小红的部分思路和方法， 小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…． 小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…； 根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______． 【变式拓展】 （2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】 （4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____． 14．（2024·江苏扬州·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，连接，；求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，连接，，、、三点在一条直线上，与交于点； ①求的大小； ②若且，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，点为的中点，交于点，连接，若，且为，求的长． 模块6：数学活动、情景探究等综合应用 15．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图①，内接于，，点在上．求证：． 小明和小红在解决该问题时，有两种不同的添加辅助线的方式： 请选择其中一种作法，完成证明： （2）如图②，内接于，是的直径，，点在上．求证：． （3）如图③，内接于，是的直径，，点在上．则线段，，之间的等量关系是． 16．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 18．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作例：如图1，，以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，在沿着平移3个单位长度得到最终图形，记作；或沿着平移4个单位长度得到最终图形，记作． (1)如图1，求证． (2)如图2，当为直角三角形时，经过变换后得到，经过变换后得到，求证：四边形为菱形． (3)如图3，为等腰直角三角形，，分别经过变换得到，J、L、N、R分别为的内心，O、P、Q分别为的中点，①求证：四边形为正方形；②求证：Z、W分别为的中点；③若，则__________． (4)如图3，是否有可能使？如果能，请写出初始图形以及变换过程，如果不能，请说明理由． 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)【观察发现】与的位置关系是___________； (2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由； (3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由； (4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 20．（2024·江苏南京·一模）数学的思考 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 (1)如图，请说明； 数学的表达 (2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； (3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； (4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 图形的相似 解答压轴题（六大模块，江苏精选） 目录： 模块1：动态几何（旋转、翻折等） 模块2：动点问题；动点与方程 模块3：二次函数与相似三角形 模块4：圆与相似三角形 模块5：情景探究题 模块6：数学活动、情景探究等综合应用 模块1：动态几何（旋转、翻折等） 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形，则，由旋转的性质可得，证明得到，进而求出，证明得到,则； （2）过点F作交延长线于H，延长交于M，设,则四边形是矩形，则，同理可得，则,则，同理可得，即：解方程即可； （3）如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形是矩形；再证明可得，即；设，则,由勾股定理可得，最后根据二次函数的性质即可解答. 【解析】（1）解：如图所示：过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴ （2）解：过点F作交延长线于H，延长交于M，设，则四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴, ∴， 同理可得：， ∴，即：， ∴，解得：或（舍去） 经检验：是原方程的解， ∴； （3）解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最大值8，则有最大值 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，已知边长为6的正方形纸片，点G、H分别是边与上的点，连接，将正方形纸片沿折叠，使点B的对应点M落在边上，的对应线段交于点E． (1)当点E为中点时 ①若，则的大小为______； ②若，则线段的长度为______；线段的长度为______； (2)记，四边形的面积为S，请写出S关于x的函数表达式，并求出S的最小值． 【答案】(1)①；②， (2)，最小值为 【分析】（1）①根据正方形的性质以及折叠的性质，即可求解；②证明，可得，从而得到，继而得到；在中，由勾股定理可得，过点G作于点K，则，然后在中，由勾股定理即可求出，即可； （2）设，则，由折叠的性质得：，在中，由勾股定理可得，，再根据，可得，设，则，，然后根据，可得，然后根据梯形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解． 【解析】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点E为中点，， ∴， ∴，解得：， ∴； ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图，过点G作于点K，则， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴∴S的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； (3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)是定值， (3)3 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形判定与性质、相似三角的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，综合性较强，属于压轴题，解题关键是正确作出辅助线，综合运用相似三角形的性质解决问题． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或4或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得； （2）先确定当时，点在上，点在上，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先确定当时，点在上，点在上，再过点作于点，然后证出，根据相似三角形的性质可得，利用三角形的面积公式求解即可得； （4）分①当点在上，点在上，即时，过点作于点；②点与点重合时；③当点运动到停止运动，点运动到中点时，利用相似三角形的性质和矩形的性质求解即可得． 【解析】（1）解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，动点分别从点同时出发，运动速度均为， ∴如图，当时，点在上，点在上， ∴，， ∴，即， ∴， 解得． （3）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则当时，点在上，点在上， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴的面积为， 所以当时，与之间的函数关系式为． （4）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则分以下三种情况： ①如图，当点在上，点在上，即时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，点与点重合时， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点运动到停止运动，点运动到中点时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时， 综上，的值为或4或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的几何应用等知识，较难的是题（4），正确分类讨论是解题关键． 模块2：动点问题；动点与方程 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； (4)直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值． 【答案】(1)当时，，当时，； (2)的值为或； (3)的值为或或； (4)点关于直线的对称点落在边上时的值为或． 【分析】（1）由题意得，，则当时，，当时，； （2）分两种情况讨论，一是当时，，则，所以，求得，二是当时，，则，可证明，则，求得； （3）由点为的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，且时，则，二是当，且时，则，三是当，且时，则，四是当，且时，则解方程求出相应的符合题意的值即可； （4）当点落在上时，由勾股定理求得，则，于是得(，求得． 【解析】（1）解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点与点重合时，则， 解得：， 当点与点重合时，则， ∵当点到达点时，两点同时停止运动， 当时，， 当时，； （2）解：当时，如图1，，则， ， ， 解得：， 当时，如图2，则， ， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． （3）解：∵点为的中点，， ， ， 当，且时，如图3， 则， 解得：， 当，，且时，如图4， 则， ， 解得：， 当，，且时，如图5， 则 解得：， 当，且时，如图6， 则， ， 解得：不符合题意，舍去， 综上所述，的值为或或． （4）解：当点落在上时，如图7， ，，， ， ， ， ， 解得：， 当点落在上时，如图8， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上，点关于直线的对称点落在边上时的值为或． 【点睛】此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 模块3：二次函数与相似三角形 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③ (2)线段的长度是定值 (3) 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【解析】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值； (3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可． 【解析】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴点F的纵坐标为2， 把代入得： ， 解得：，， ∴的横坐标为， 此时； 当时，过点F作轴于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：或（舍去）， 此时； 综上，或； （3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理得：， ∴当取最小值时，的值最小， 显然点在直线上运动， 作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即取得最小值， ∵点B关于直线对称的对称的点是点，， ∴， 设直线的解析式是：， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式是：， 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是， ∴， 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∵N是对角线与的交点， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 9．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据待定系数法求解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，分别求出，，，再利用勾股定理列方程求解即可； ②证明，分别求出，，，根据相似三角形的性质可求出，则，再根据列方程求解即可． 【解析】（1）解：把代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点D的坐标， （2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，   点P的横坐标为t， ， 与x轴相切， ， ， ， 对称轴为直线， ， 在中，， ， 设，且， 原方程可化为， 解得或（舍）， ， 解得：或（舍）， 当时，， ， ②解：如图：   ， ， ， ， ， ， ， ， 当的时，， ， 设直线的解析式为， 把B，C代入得， 解得， 直线的解析式为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合，涉及待定系数法求解析式，对称性，勾股定理，垂径定理，直线与圆相切，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是综合运用以上知识． 10．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】(1)①，；②或 (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）当时，二次函数为．令，则可求出点，令，则可求出点，，采用待定系数法即可求出直线的函数解析式； ②过点作平行于轴的直线，交线段于点，根据点A，B，C的坐标即可求得，从而，设，则点，根据即可求得a的值，从而解答； （2）设点D的坐标为，点的坐标为， 由直线与不重合，得到且，且，，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，证得，得到，从而，因此，化简即可得到，从而点的坐标为，根据待定系数法求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，令，得到，由点的横坐标为t，得到，从而，为定值． 【解析】（1）解：当时，二次函数为． ①令， ， ∴点C的坐标为， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得 直线的函数表达式：． ②过点作平行于轴的直线，交线段于点， ∵，，， ∴，， ∴， 由面积是面积的4倍，得． 设，则点 解得或， ∴或． （2）解：∵二次函数， 令，则， ∴， 令，则，解得，， ∴， 设点D的坐标为，点的坐标为， ∵直线与不重合， 且，且，， ∵，点， ∴， 过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G， ∴， 设交y轴于点H， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ． 点的坐标为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， ，解得， 点的横坐标为t， ， ，为定值． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 模块4：圆与相似三角形 11．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）如图，⊙O的直径弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连接交⊙O于点，连接交于点，连接，． (1)若，求的长； (2)若，． ①求与之间的函数表达式； ②的最大值 ． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理和勾股定理求得线段，，，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）①利用相似三角形的判定与性质得到与的关系，利用等高的三角形的面积等于它们底的比的性质得到与的关系，最后代入运算即可得出结论； ②利用（1）和（2）①的结论，相似三角形的判定与性质求得，，计算的值，再利用的性质解答即可得出结论． 【解析】（1）解：连接，，如图， 的直径弦于点， ，， ， ，， ， ，． ，． 为的直径， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ； （2）解：①四边形为圆的内接四边形， ， 由（1）知：， ， ， ． 与为等高的三角形， ， ， ． 与之间的函数表达式为． ②由（1）知：，， ， ． 由（1）知：， ， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． ， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，完全平方公式，反比例函数的应用等知识，解决问题的关键根据相似表示出相关线段的长． 模块5：情景探究题 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】（1）先证明为等边三角形，根据三角形的外接圆，得到垂直平分，为直径，垂径定理得到，进而得到，圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到进而得到； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，可得，即可求解． 【解析】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的外接圆，点D在延长线上， ∴垂直平分，为直径， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∴； 故答案为：； （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， 当点在上时，如图：在上截取， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在上时，如图，延长至点，使， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上：或 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，以及截长补短的辅助线方法是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）综合与实践 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且， 则下面是小明、小红的部分思路和方法， 小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…． 小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…； 根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______． 【变式拓展】 （2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】 （4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）证明，得出，，得出，根据等腰三角形判定得出，求出结果即可； （2）延长，过点B作，交的延长线于点G，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据，得出，即可得出答案； （3）过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案； （4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，根据，，得出与间距离为， 与间距离为，从而得出与间的距离为，设，，证明，得出，求出，，求出，得出，证明，得出，即可得出，求出的最大值为，得出的最大值为，从而得出与间的距离最大值． 【解析】解：（1）小明的方法：延长到点G，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红的方法：过点B作交延长线于点G，如图所示： 则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长，过点B作，交的延长线于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）点P即为所求作的点，如图所示： 过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案， 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴与间距离为，与间距离为， ∴与间的距离为， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∵， ∴的最大值为， ∴与间的距离最大为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，尺规作角和垂直平分线，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 14．（2024·江苏扬州·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，连接，；求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，连接，，、、三点在一条直线上，与交于点； ①求的大小； ②若且，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，点为的中点，交于点，连接，若，且为，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3） 【分析】（）利用证明即可； （）由和均为等腰直角三角形，可得，进而得出，即可求得答案； 过点作于，于，过点作于，可证得，设 ，可得 ，，， ，再利用勾股定理建立方程求得，，再根据即可求得答案； （）连接，先证得，得出， ，进而可得，推出，进而得到，由，即可求解． 【解析】（）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （）①解：∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； ②解：如图，过点作于， 于，过点作于，则 ，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，(舍 去)， ∴， ， ∴； （）解：如图，连接，， ∵，， ，                                                                                                   ∴ 和均为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握等腰直角三角形性质等相关知识，合理添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 模块6：数学活动、情景探究等综合应用 15．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图①，内接于，，点在上．求证：． 小明和小红在解决该问题时，有两种不同的添加辅助线的方式： 请选择其中一种作法，完成证明： （2）如图②，内接于，是的直径，，点在上．求证：． （3）如图③，内接于，是的直径，，点在上．则线段，，之间的等量关系是． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）小明的做法：在上截取，连接，可得，证明是等边三角形，可证明，得出，则结论得证； 小红的做法：延长至点，使得，连接．证明是等边三角形，再证，则结论得证； （2）可得出，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，得出，根据可证得，得出，则结论得证； （3）过点作交于点，得出，证明，得出，可得出结论； 【解析】解：（1）小明的做法： ， ， 如图①，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ； 小红的做法： 延长至点，使得，连接． ， ， ，． ， 又， 是等边三角形，即． ，即． ． ． （2）如图②，是的直径， ， ， ， 过点作交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）如图③， 若是的直径，， ，，，， 过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键． 16．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 【答案】（1）①见解析，②见解析； （2）见解析； （3）见解析 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点． 【解析】解：[实践操作] （1）①如图， 点即为所求作的点； ②如图， 点即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点即为所求的点． 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键． 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)理由见解析； (3)理由见解析． 【分析】（）设纸较长边的长为，较短边长为，易求得第一次折痕长为，根据第次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导即可； （）延长相交于点，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明，进而可求得，即可证得结论． 【解析】（1）设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）点是的中点，理由如下：由（）得， 设，， 由折叠使得点和点重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； （3）如图，延长相于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质． 18．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作例：如图1，，以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，在沿着平移3个单位长度得到最终图形，记作；或沿着平移4个单位长度得到最终图形，记作． (1)如图1，求证． (2)如图2，当为直角三角形时，经过变换后得到，经过变换后得到，求证：四边形为菱形． (3)如图3，为等腰直角三角形，，分别经过变换得到，J、L、N、R分别为的内心，O、P、Q分别为的中点，①求证：四边形为正方形；②求证：Z、W分别为的中点；③若，则__________． (4)如图3，是否有可能使？如果能，请写出初始图形以及变换过程，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②见解析；③4 (4)能，初始图形以及变换过程见解析 【分析】（1）根据位似变换证明，且位似比为，即与的相似比为，根据三角形相似比的性质可得，设，则，再根据平移的性质可得，由，即可证明结论； （2）根据位似变换证明，且相似比为，得到，由平移的性质推出，进而得到，得到，从而得到，即，由，推出，证明四边形是平行四边形，再证明，得到，进而得到，即可证明四边形为菱形； （3）①由平移的性质得：，得到，由，得到，由位似变换得到，推出，即可证明四边形是平行四边形，得到，；由是等腰直角三角形，得到是等腰直角三角形，即，推出，结合证明，得到，结合，得到，推出，由，求出，易证平行四边形是矩形，再根据，求出，得到是等腰直角三角形，推出，进而得到，即可证明矩形是正方形；②连接，设交于点X，交于点U，交于点Y，交于点M，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形，点O是中点，可得，进而得到，由①知，即，进而得到，易证四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，，根据，进而得到，由，推出，得到，同理得，推出，即可证明结论；③由②知，由，可得，在根据L、N、R分别为的内心，得到分别为的半径，即可求出结果； （4）分别经过变换得到，此时点重合，点重合，点重合，连接，根据位似变换及平移的性质得到，且都是等腰直角三角形，根据J、L、N分别为的内心，可得点三点共线，点三点共线，且，再根据P、Q分别为的中点，得到，推出，易证四边形，四边形为平行四边形，得到，同理（3）②可证四边形是矩形，得到，再根据结合，得到，进而得到，即可证明，推出，由，得到，，即可证明结论． 【解析】（1）解：以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为， ，且相似比为， ， 设，则， 由平移的性质可得， ， ； （2）证明：根据题意得：，且相似比为， ， 由平移的性质得到， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ，为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形为菱形； （3）证明：①O、P、Q分别为的中点， 由平移的性质得：， ， ， ， ， ， 由位似变换得到， ， ， 四边形是平行四边形， ，； 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，即， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 矩形是正方形； ②如图，连接，设交于点X，交于点U，交于点Y，交于点M， L、N分别为的内心， ， ， ， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形，点O是中点， ， ， 由①知，即， ， ， 四边形是矩形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点； 同理：， ， 点是的中点； ③由②知， ， ， L、N、R分别为的内心， 分别为的半径， ； （4）解：能， 如图，分别经过变换得到，此时点重合，点重合，点重合，连接， 由位似变换及平移的性质得到，且都是等腰直角三角形， J、L、N分别为的内心， 点三点共线，点三点共线，且， P、Q分别为的中点， ， ， 四边形，四边形为平行四边形， ， 同理（3）②可证四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了位似、平移的性质、相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，四边形综合问题等知识，相似三角形对应边成比例是易错点． 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)【观察发现】与的位置关系是___________； (2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由； (3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由； (4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4)，理由见解析． 【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可； （2）连接，，由可知点B、、C在以为直径，E为圆心的圆上，则，由翻折变换的性质可得，证明，可得结论； （3）连接，，，延长至点H，求出，，可得，然后证明，可得，进而得到即可解决问题． （4）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根据相似三角形的判定和性质求出，，再根据勾股定理列式即可得出结论． 【解析】（1）解：∵在菱形中，， ∴由翻折的性质可知，， 故答案为：； （2）解：， 理由：如图，连接，，      ∵为中点， ∴， ∴点B、、C在以为直径，E为圆心的圆上， ∴， ∴，由翻折变换的性质可知， ∴， ∴； （3）解：结论：； 理由：如图，连接，，，延长至点H，    由翻折的性质可知， 设，， ∵四边形是菱形， 是对角线， ∴， 又由折叠变换的性质可得 ∴ ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ∵，点B、、C在以为直径，E为圆心的圆上， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：结论：， 理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，    设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，则有， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 20．（2024·江苏南京·一模）数学的思考 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 (1)如图，请说明； 数学的表达 (2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； (3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； (4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析； (2)点坐标为，见解析； (3)点坐标为，见解析； (4)见解析． 【分析】（）设与圆于点，连接，根据外角性质，得到即可； （）设点，求出，根据和两点间的距离，列出等式即可求解； （）连接并延长，交于点，连接，证明，再根据性质即可求解； （）延长，交于点，根据第（）问，可知，则在右图中构造，然后左图以为圆心，为半径画弧，交于点即可． 【解析】（1）解：如图，设与圆于点，连接， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设与直线交于点，设直线与轴交于点，过作轴于点， ∵点，， ∴，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 由题意得：， ∴， ∴，即重合， ∴， 设直线的表达式是， ∴，解得：， ∴直线的表达式是， ∵点在直线上， ∴设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴点坐标为； （3）解：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，， ∴同理解析式为， 当时，, ∴点， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴点坐标为 ； （4）如图： 延长，交于点， 同（）理得，设， 以为直径画半圆，过作的垂线交半圆于点， 易证， ∴， 然后以为圆心，为半径画弧，交于点， ∴即为所求． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，三角形外角性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$