精品解析：河南省新乡市英才学校2024-2025学年上学期九年级数学期中测试卷

新乡市英才学校2024-2025学年上期 九年级数学期中测试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 3. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的解和定义求出m的值．根据一元二次方程（有一根为0得到，结合一元二次方程的定义，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵一元二次方程有一根为0， ∴， 解得，， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 【详解】解：∵在中，，，， ∴绕点O逆时针旋转后得到，点在第二象限， ∴； 当绕点O顺时针旋转后得到，点在第四象限， ∴． 故选：B． 6. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A. x(x－1)＝90 B. x(x－1)＝2×90 C. x(x－1)＝90÷2 D. x(x＋1)＝90 【答案】A 【解析】 【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90． 【详解】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程． 7. 已知抛物线上三点，，，则，，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线y=x2+2x， ∴对称轴为：x=-1， 且抛物线开口向上， ∵A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3）， ∴B离对称轴最近，A次之，C最远， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征，函数的增减性等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质．连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D， 当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或−1时y的符号，进而判断得出答案． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x＝＝， ∴3b＝2a，则a＝b， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项④正确； ②由图象可得出：当x＝1时，y＜0， ∴a＋b＋c＜0，故选项②正确； ③抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac＞0，则4ac−b2＜0， 故选项③错误； ⑤当x＝−1时，y＝a−b＋c＞0， ∴b−b＋c＞0， ∴b＋2c＞0，故选项⑤正确； 故正确的有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得， 又∵，即m≠0， ∴m的取值范围是且 故答案为：且 12. 某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为，由题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，2021年的投资资金为，2022年的投资资金为，然后根据题意列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意正确的列方程． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 14. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．若正方形的边长为6，，则的长是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，，根据全等三角形的判定，即可证明，得到，再根据勾股定理列方程，解方程即得答案． 【详解】解：设， 绕点A顺时针旋转得到， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理列方程是解题的关键． 15. 如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________． 【答案】（36，0） 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再求出三角形OAB的周长，再研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当平移一个三角形的周长12个单位，利用10除以3求余数1，说明三个循环直角回坐标轴上，第10次绕直角旋转没动即可求出． 【详解】∵点A(－3，0)，B(0，4)， ∴AB=， ∴△OAB的周长=3+4+5=12， 由原图到图③，旋转一个周期，相当于向右平移了12个单位长度，每三个图旋转一个周期直角回到坐标轴上， 10÷3=3…1， 由于⑨直角顶点到⑩位置没动， 三角形④的直角顶点的坐标为（12，0），象这样平移三次直角顶点是（12×3，0），即（36，0）， 则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）． 故答案为：（36，0）． 【点睛】本题考查图形旋转规律探索题涉及点的坐标，勾股定理，三角形周长，旋转与平移关系，掌握点的坐标的求法，勾股定理的应用，会求三角形周长，会用旋转与平移关系解释旋转规律是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 【答案】（1），1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 19. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】（1）次函数的表达式为，对称轴为直线 （2）最大值为8，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 20. 如图，中，，，是由绕按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是由绕按顺时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据菱形的性质，得到，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是由绕按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 21. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： （1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，理由： 把代入得： ， ∵， ∴羽毛球能越过球网． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先求解抛物线的对称轴与顶点坐标，再设设抛物线的关系式为，再代入，即可得到答案； （2）把代入可得，再比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，当时，，当时，， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据表格中的数据可知，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为； 设抛物线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为． 【小问2详解】 略 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出100件，市场调查反映； 如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元（x为正整数），每星期的利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并指出自变量x的取值范围. （2）求每星期的利润y的最大值. （3）直接写出x在什么范围内，每星期的利润不低于5000元. 【答案】（1）y=(60-30x)(100+20x)=-20x2+500x+3000(1≤x≤30且x为整数)； （2）y最大值=6120； （3）当5≤x≤20且x为整数时，y≥5000. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据每星期利润等于每件的利润×销售量得到y与x的关系式； （2）把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案； （3）求出y=5000时，x的值，利用二次函数的性质可得每周利润不低于5000元时x的范围即可得． 试题解析： （1）y=(60-30x)(100+20x)=-20x2+500x+3000(1≤x≤30且x为整数)； （2）y=-20(x-12.5)2+6125 ∵1≤x≤30且x为整数 ∴x=12或13，y最大值=6120； （3）(3)当y=5000时,有−20x2+500x+3000=5000， 解得：x1=5,x2=20， 则5⩽x⩽20且x为正整数时，y⩾5000. 点睛：本题主要考查二次函数的应用以及一元二次方程的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键. 23. 【问题解决】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】（2）如图2，若点是正方形外一点，，，，求的长． 【答案】 （1）思路一：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的思路画出图形，利用旋转的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，易得，，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长即可； 【详解】（1）略 （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ，，， 在中，， ，， ， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市英才学校2024-2025学年上期 九年级数学期中测试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 5. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A. x(x－1)＝90 B. x(x－1)＝2×90 C. x(x－1)＝90÷2 D. x(x＋1)＝90 7. 已知抛物线上三点，，，则，，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 12. 某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为，由题意可列方程为______． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 14. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．若正方形的边长为6，，则的长是__________． 15. 如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2）． 17. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 19. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 20. 如图，中，，，是由绕按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 21. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： （1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出100件，市场调查反映； 如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元（x为正整数），每星期的利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并指出自变量x的取值范围. （2）求每星期的利润y的最大值. （3）直接写出x在什么范围内，每星期的利润不低于5000元. 23. 【问题解决】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】（2）如图2，若点是正方形外一点，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $