5.3 一元一次方程的应用 同步练习 2024—2025学年北师大版七年级数学上册

5.3 一元一次方程的应用 一、选择题： 1.足球比赛的记分为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某队打了场比赛，负场，共得分，那么这个队胜了(    ) A. 场 B. 场 C. 场 D. 场 2.某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本元；按原价的九折出售，那么每件盈利元，则这种衬衫的原价是(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3.一个长方形的周长为，这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程(    ) A. B. C. D. 4.某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩(    ) A. 不盈不亏 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 盈利元 5.某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分个则剩个；每人分个则差个；问有多少个苹果？设有个苹果，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.在做科学实验时，老师将第一个量简中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，请根据图中给出的信息，可得正确的方程是(    ) A. B. C. D. 7.宜宾某机械厂加工车间有名工人，平均每名工人每天加工大齿轮个或小齿轮个．已知个大齿轮和个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为 A. B. C. D. 8.如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是(    ) A. B. C. D. 9.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过吨，每吨水费元；超过吨，每吨加收元，小明家今年月份用水吨，共交水费为元，根据题意列出关于的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.将正整数至按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.我国古代问题跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则根据题意列方程为______． 12.甲比乙大岁，年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是          ． 13.如果一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的倍，它们的和是，那么这个两位数是_______． 14.某商场以每件元的价格购进某品牌的衬衫件，按标价的八折销售，若商场销售完这批衬衫共获利元，则每件衬衫标价应为________元． 15.在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”内容为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的倍，共有盏灯，请你算出塔的顶层有_________盏灯． 16.如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，其中点、点同时出发，经过______秒，点、点分别到原点的距离相等． 17.某学校个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某班共得分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜          场比赛． 18.人民路有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场折．乙超市购物不超过元，不给予优惠；超过元而不超过元，打折；超过元，其中的元仍打折，超过元的部分打折．假设两家超市相同商品的标价都一样 当标价总额是______元时，甲、乙两家超市实付款一样． 19.文具店销售某种笔袋，每个元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：如果你再多买一个就可以打折，价钱比现在便宜元，小华说：那就多买一个吧，谢谢。根据两人对话可知，小华结账时实际付款_____元． 20.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折出售后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为______元． 三、解答题： 21.学校“百变魔方”社团准备购买，两种魔方，已知购买个种魔方和个种魔方共需元，购买个种魔方和个种魔方所需款数相同． 求这两种魔方的单价； 结合社员们的需求，社团决定购买，两种魔方共个其中种魔方不超过个某商店有两种优惠活动，如图所示．                  请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 22.甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为千米．甲队步行速度为千米时，乙队步行速度为千米时．甲队出发小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络不停顿，他跑步的速度为千米时． 乙队追上甲队需要多长时间？ 联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？ 从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为千米？ 23.某企业已收购毛竹吨，根据市场信息，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．由于条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月天内将这批毛竹全部销售，现将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好用天完成． 求精加工和粗加工的天数； 该企业总共获得的利润是多少元？ 24.某市区居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级如下表所示： 月用水量吨 水价元吨 第一级 吨以下含吨 第二级 吨---吨含吨 第三级 吨以上 例：某用户的月用水量为吨，按三级计量应缴交水费为：元 如果甲用户年月的用水量为吨，则甲需缴交的水费为___元； 如果乙用户年月的用水量为吨，水价要按两级计算，则乙用户该月应缴交水费多少元？用含的代数式表示，结果尽量化简； 如果丙用户年月应缴交水费元，则丙用户该月用水多少吨？ 25.已知是最大的负整数，是的相反数，，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． 求、、的值，并在数轴上标出点、、． 若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ 在数轴上找一点，使点到、、三点的距离之和等于，请求出所有点对应的数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【解答】 解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：，即这个队胜了场． 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这种衬衫的原价是元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：设这种衬衫的原价是元， 依题意，得：， 解得：． 故选C． 3.【答案】  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长长方形的宽，根据此列方程即可． 【解答】 解：由题意长方形的长为，则宽是， 根据等量关系：长方形的长长方形的宽， 列出方程得：， 故选B． 4.【答案】  【解析】解：设赢利的衣服的成本为元，则， 解得， 设亏损的衣服的成本为元，， 解得元， 总成本为元， ， 这次买卖中他是盈利元． 故选：． 分别算出盈利衣服的成本和亏损衣服的成本，让两个售价相加减去两个成本的和，若得到是正数，即为盈利，反之亏本． 此题考查一元一次方程在实际问题中的应用，得到两件衣服的成本是解决本题的突破点． 5.【答案】  【解析】解：设有个苹果， 由题意得，． 故选B． 设有个苹果，根据小朋友的人数是一定的，列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 6.【答案】  【解析】解：设大量筒中水的高度为， 由题意得：． 故选：． 关键描述语是大小量筒是相同水量．等量关系为：大量筒中水的体积小量筒中水的体积．注意量筒中水的体积底面积高． 考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是能准确理解个大齿轮和个小齿轮配成一套，据此正确列出方程设需安排名工人加工大齿轮，安排名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮个或小齿轮个，个大齿轮和个小齿轮配成一套，可列成方程求解． 【解答】 解：设需安排名工人加工大齿轮，安排名工人加工小齿轮， 根据题意得：． 故选B． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找好等量关系，列出方程本题中等量关系为：三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，而一个果冻加上一块巧克力的质量等于克，所以设巧克力的质量为，则果冻的质量为，列一元一次方程解答即可． 【解答】 解：设巧克力的质量为，则果冻的质量为， 根据题意得：， 解得：， 所以一块巧克力的质量为克． 故选A． 9.【答案】  【解析】【分析】 根据题意把吨水分为吨和吨两部分，根据每户用水不超过吨，每吨水费元；超过吨，每吨加收元，求出这两部分分别需要多少元，加在一起等于总钱数，据此即可列出相应的方程． 【解答】 解：由题意可得， ， 即， 故选：． 【点评】 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第七列数，即可确定值，此题得解． 【解答】 解：设中间数为，则另外两个数分别为、， 三个数之和为． 根据题意得：、、、， 解得：，舍去，，． ， 不合题意，舍去； ， 不合题意，舍去； ， 三个数之和为． 故选D． 11.【答案】  【解析】解：设快马天可以追上慢马， 依题意，得：． 故答案为：． 设快马天可以追上慢马，根据两马的速度之差快马出发的时间慢马的速度慢马提前出发的时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12.【答案】岁  【解析】【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程即可． 设乙现在岁，则年前甲为岁，乙为岁， 【解答】 解：设乙现在岁，则年前甲为岁，乙为岁， 由题意得：， 解得：， 即乙现在的年龄是岁． 故答案为：岁． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用． 设十位数字为，则个位数字为，得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：设十位数字为，则个位数字为， 依题意，得， 解得：， 这个两位数为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，设标价为元，利用标价的八折乘以件数减去进价乘以件数等于获利，求出结果即可． 【解答】 解：设标价为元，根据题意得： ， ， ， ， 解得： 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 根据题意，设顶层的红灯有盏，则第二层有盏，依次第三层有盏，第四层有盏，第五层有盏，第六层有盏，第七层有盏，总共盏，列出等式，解方程，即可得解． 【解答】 解：设顶层的红灯有盏，由题意得： ， ， ； 答：塔的顶层是盏灯． 故答案为：． 16.【答案】或  【解析】【分析】 考查数轴表示数的意义，用两点在数轴上所表示的数，来表示两点之间的距离，是正确解答的关键． 设时间为秒，表示出点、点所表示的数，进而分情况表示他们到原点的距离，列方程求解即可． 【解答】 解：设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点所表示的数为，点所表示的数为， 当点是的中点时，有，解得，， 当点与点重合时，有，解得，， 因此，或， 故答案为：或． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【解答】 解：个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为， 设赢了场，则， 解得：． 故答案是：． 18.【答案】  【解析】解：设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样． 当一次性购物标价总额恰好是元时， 甲超市实付款元， 乙超市实付款元． ， ． 根据题意得， 解得：． 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样． 故答案为：． 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样．先求出当一次性购物标价总额恰好是元时两个超市实付款，比较后可得出，再根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小华购买了个笔袋，根据原单价购买数量打九折后的单价购买数量节省的钱数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价单价购买数量，即可求出结论． 【解答】 解：设小华购买了个笔袋， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小华结账时实际付款元． 故答案为：． 20.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查一元一次方程的应用首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．依据题意建立等量关系，商品标价进价  【解答】 解：设售货员应标在标签上的价格为元， 依据题意 可求得：   故答案为． 21.【答案】解：设种魔方的单价为元，种魔方的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：种魔方的单价为元，种魔方的单价为元． 设购进种魔方个则购进种魔方个， 根据题意得：活动一需付款：； 活动二需付款：， 则：， 当时， 解得：； 当时，则，方案一更划算； 时，，两种方案费用一样， 当时，则，方案二更划算 综上所述：当时，选择活动一购买魔方更实惠；当时，选择两种活动费用相同；当时，选择活动二购买魔方更实惠．  【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及解一元一次方程 设种魔方的单价为元，种魔方的单价为元，根据“购买个种魔方和个种魔方共需元，购买个种魔方和个种魔方所需款数相同”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进种魔方个则购进种魔方个，根据两种活动即可得出关于的代数式，求出它们的差等于时的的值，即可讨论得出选择哪种活动更优惠． 22.【答案】解：设乙队追上甲队需要小时， 根据题意得：， 解得：． 答：乙队追上甲队需要小时． 设联络员追上甲队需要小时， ， ， 设联络员从甲队返回乙队需要小时， ， ， 联络员跑步的总路程为 答：他跑步的总路程是千米． 要分三种情况讨论： 设小时两队间间隔的路程为千米，则 当甲队出发不到，乙队还未出发时，甲队与乙队相距． 由题意得，解得． 当甲队出发小时后，相遇前与乙队相距千米， 由题意得：， 解得：． 当甲队出发小时后，相遇后与乙队相距千米， 由题意得：， 解得：． 答：小时或小时或小时后两队间间隔的路程为千米．  【解析】【试题解析】 设乙队追上甲队需要小时，根据乙队的路程甲队的路程可列出方程，解出即可得出时间； 先计算出联络员所走的时间，再由路程速度时间即可得出联络员走的路程． 要分种情况讨论：当甲队出发不到，乙队还未出发时，甲队与乙队相距；当甲队出发小时后，相遇前与乙队相距千米；当甲队出发小时后，相遇后与乙队相距千米；分别列出方程求解即可． 此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是弄清追及问题中，每个运动因素所走的时间、路程、相对速度，难度较大． 23.【答案】解：设粗加工的天数为天，则精加工的天数为天， 根据题意得：， 解得：，． 答：粗加工的天数为天，精加工的天数为天． 元． 答：该企业总共获得的利润是元．  【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程或列式计算是解题的关键． 设粗加工的天数为天，则精加工的天数为天，根据总质量粗加工质量精加工质量即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 根据总利润粗加工的利润精加工的利润代入数据即可得出结论． 24.【答案】 乙用户年月的用水量为吨，水价要按两级计算， 乙用户该月应缴交水费：元， 即乙用户该月应缴交水费元； ， 设丙用户该月用水吨， ， 解得，， 答：丙用户该月用水吨．  【解析】【分析】 根据表格中的数据可以解答本题； 根据题意和表格中的数据可以解答本题； 根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得丙用户该月用水多少吨． 本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 【解答】 解：如果甲用户年月的用水量为吨， 则甲需缴交的水费为：元， 故答案为：； 见答案 见答案 25.【答案】解：是最大的负整数，即， 是的相反数，即， ， 所以点、、在数轴上位置如图所示： 设运动秒后，点可以追上点， 则点表示数为，点表示的数为， 依题意得：， 解得：． 答：运动秒后，点可以追上点； 设点表示的数为，则 当在点左侧时，，解得：； 当在之间时，，解得：，故舍去； 当在之间时，，解得：； 当在点右侧时，，解得：，故舍去； 综上可得，数轴上存在一点，使点到、、三点的距离之和等于，所有点对应的数是或．  【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及与数轴有关的计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离是解题的关键． 根据整数、相反数、绝对值的概念求出、、的值，然后在数轴上找出对应的点并标出即可； 设运动秒后，点可以追上点，根据题意可列出方程，求出的值即可； 根据数轴上两点间的距离求法，分四种情况进行计算：当在点左侧时，可求出点表示的数为；当在之间时，可求出点表示的数为，不符合题意舍去；当在之间时，可求出点表示的数为；当在点右侧时，可求出点表示的数为不符合题意舍去；最后综合所有结果即可． 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$